關于結點電壓法的教學探討

史 強 程鴻韻 楊 冰 王秋國

聊城大學物理科學與信息工程學院 山東聊城 252000

“電路”課程是電子、電氣等電類專業必修的一門專業基礎課程，通過學習使學生掌握電路的基本理論知識、基本分析方法和初步實驗技能，為進一步學習后續課程打下基礎。結點電壓法是“電路”課程中重要的，也是常用的和有效的電路分析方法之一。然而，在多年的教學過程中，筆者發現很多學生運用結點電壓法分析電路時，不能正確列寫電路方程，其主要原因是沒有真正理解結點電壓方程的實質，而是機械的套用結點電壓方程的標準形式，從而列出錯誤的方程。因此，本文針對教學中出現的常見問題進行了詳細分析，并給出了解決的辦法；同時利用電源等效變換方法對結點電壓法的教學給予探討，并對結點電壓方程標準形式的解釋進行改進，實現了對教學效果的提高。

1 結點電壓法

在具有n個結點的電路中，任意選擇其中一個結點為參考結點，其余(n-1)個結點與該參考結點之間的電壓稱為結點電壓。利用這(n-1)個結點電壓與元件VCR特性表示出各支路電流，再將這些支路電流代入(n-1)個結點的KCL方程中，就得到變量為(n-1)個結點電壓的獨立的電壓方程，通過方程組求得各結點電壓，進而得到所需的電壓和電流，這就是結點電壓法。

獨立結點k的電壓方程的標準形式為：

Gk1un1+Gk2un2+…+Gkkunk+…+Gk(n-1)un(n-1)=iskk

(1)

式中Gkk為自電導，等于與此結點相連的所有支路的電導之和，總為正值；Gki(k≠i)為互電導，等于結點k與結點i之間的所有支路電導之和，總為負值；iskk為流入結點k的所有電流源電流的代數和[1-2]。為方便列寫方程，標準形式方程左側可以看成兩部分組成，一部分是獨立結點電壓項，即Gkkunk，為獨立結點k的結點電壓與其自電導的乘積；另一部分是與獨立結點k相鄰的結點電壓項，即方程左側剩余部分Gk1un1+…+Gk(k-1)un(k-1)+Gk(k+1)un(k+1)…+Gk(n-1)un(n-1)，為與獨立結點k相鄰的結點電壓與其自電導乘積之和。

2 常見問題分析

在對結點電壓法教學過程中，學生常出現的問題有：

(1)標準形式方程右側為電流的代數和，常常被認為是簡單的相加。其實正負號的選取與電流的參考方向有關，流入結點的電流取正號，流出結點的電流取負號。

(2)按照上面對標準形式方程的解釋，方程右側iskk為流入結點k的所有電流源電流的代數和。無電阻(電導)與之串聯的電流源稱為無伴電流源，如果與結點相連的支路中存在非無伴電流源支路時，容易列出錯誤的方程，這是教學中一種非常常見的錯誤。

圖1

對于含獨立源支路，又可分為四種情況：

當含獨立源支路為無伴電流源支路時，電流源的電流可直接列寫方程。如圖1中結點1和參考結點0之間的支路，列寫結點1的電壓方程時is1可直接參與列寫方程，不會出現錯誤。

當含獨立源支路為無伴電壓源支路時，即無電阻(電導)與之串聯的電壓源時，該支路的電阻為零，電導為無窮大，支路的電流無法通過支路電壓去表示，則結點的電壓方程列寫就遇到困難。當遇到這種情況時，解決的方法有三種：

一是增設無伴電壓源支路的電流。把此電流作為附加變量列入方程，同時增補一個結點電壓與無伴電壓源電壓之間的約束關系方程。如圖1所示，無伴電壓源us3兩端結點④和⑤在列寫方程時，可以增設電壓源us3的電流i2作為附加變量，如圖2所示，圖2為圖1等效變換后的電路。同時需增補一個方程，即us3與結點電壓之間的關系方程。結點④和⑤的電壓方程及增補方程如下：

-G4un3+(G4+G5)un4=G5us2+i2

(2)

G6un5-G6un6=βi-i2

(3)

un4-un5=us3

(4)

二是廣義結點(超結點)法[4]。如圖1中所示，如果將無伴電壓源us3兩端結點④和⑤作為一個廣義結點(超結點)，如圖1、圖2中虛線圓所示。在這個廣義結點上，以流出為正，列寫廣義KCL方程，注意使用的結點電壓依然是具體的結點電壓un4或un5，則方程為：

G4(un4-un3)un1+G6(un5-un6)+G5(un4-us2)-βi=0

(5)

整理可得：

(G4+G5)un4+G6un5-G4un3-G6un6=G5us2+βi

(6)

式中(G4+G5)un4+G6un5為廣義結點中內部結點電壓與其自電導乘積之和；-G4un3-G6un6為與廣義結點相鄰的結點電壓與其自電導乘積之和。方程(6)與標準形式的電壓方程(1)在形式上是完全一致的。不難看出，方程(6)就是方程(2)和(3)相加所得。

顯然，對比上述三種解決方法，對于無伴電壓源支路的處理，最簡單的辦法為靈活選擇參考結點，即以無伴電壓源的兩個結點之一作為參考結點去處理。

圖2

對于含受控源支路：把受控源看作獨立源一樣對待，由于增加了控制量這一附加變量，因此需要增補控制量與結點電壓之間的關系方程。如圖1中結點⑤列寫電壓方程時，受控電流源的βi直接參與列寫方程，同時要增補控制量i與結點電壓之間的關系方程[6]。

對于導線支路：由于導線支路可以等效為電壓為0的無伴電壓源支路，所以解決方法同無伴電壓源支路情況。如圖1中結點①和⑥之間的支路，等效后變為圖2所示。

3 對iskk解釋的改進

結合以上分析，針對支路為非無伴電流源支路時，筆者發現出現錯誤的原因在于沒有真正理解結點電壓方程的實質是KCL的體現，而是機械地按照標準形式方程的解釋去列寫方程，但是，如果把iskk的解釋“流入結點k的所有電流源電流的代數和”改進為“流入結點k的所有無伴電源電流的代數和”，則可避免出現錯誤，提高列寫方程的準確度。即對于支路的三種情況(含獨立源支路、含受控源支路和導線支路)，解決的方法為：先進行電源等效變換轉換為無伴電源支路或/和純電導支路，再列寫標準形式電壓方程。若是無伴電流源支路，其電流可直接參與列寫方程；若是無伴電壓源支路，按照改進的解釋可增補其電流為附加變量參與列寫方程，同時增補相應方程；對于純電阻(電導)支路的電阻可直接參與列寫方程，其中導線支路可以等效為us=0的無伴電壓源支路，則可轉換為含獨立源支路情況[7]。

按照上述分析，對圖1所示電路，列寫結點電壓方程時，首先對于非純電阻(電導)支路要進行電源等效變換，再列寫標準形式方程。等效變換后如圖2所示。需要附加變量i1，i2，i，故需增補3個方程，列寫的結點電壓方程如下：

G1un1-G1un2=is1+i1

(7)

-G1un1+(G1+G3)un2-G3un3=is2

(8)

un3=us1

(9)

-G4un3+(G4+G5)un4=G5us2+i2

(10)

G6un5-G6un6=βi-i2

(11)

-G6un5+(G6+G7)un6=-i1

(12)

增補方程為：

G4(un3-un4)=i

(13)

un4-un5=us3

(14)

un1-un6=0

(15)

根據以上討論，結點電壓法的解題步驟歸納如下：

(1)利用電源等效變換將所有支路轉換為無伴電源支路或/和純電導支路；

(2)選定參考結點，其余結點對參考結點的電壓即為結點電壓，同時標定其余n-1個獨立結點；

(3)對n-1個獨立結點，以結點電壓為未知量，列寫結點電壓方程(KCL)；

(4)求解上述方程，得到n-1個結點電壓；

(5)通過結點電壓求各支路電流等其他電量。

同時要注意：

(1)結點電壓的參考極性是以參考結點為負；

(2)自電導取正，互電導取負；

(3)不直接相鄰的結點之間的互電導為零；

(4)方程右側流入結點的電流取正，流出結點的電流取負；

(5)對于受控源支路，把受控源看作獨立源一樣進行處理，同時增補控制量與結點電壓之間的關系方程。

結語

本文針對結點電壓法教學中出現的幾種常見問題進行了詳細分析，同時利用電源等效變換對結點電壓法教學給予探討。為了使學生理解結點電壓法的實質，從而正確列寫結點電壓方程，在教學過程中對結點電壓方程標準形式右側的iskk的解釋“流入結點k的所有電流源電流的代數和”改進為“流入結點k的所有無伴電源電流的代數和”，即對于含獨立源支路、含受控源支路和導線支路，先進行電源等效變換轉換為無伴電源支路或/和純電導支路，再列寫標準形式電壓方程，可以提高列寫方程的準確度，從而實現對教學效果的提高。