基于魯棒精確微分器的分數階滑模制導律設計

陸浩然, 鄭 偉, 常曉華

(1. 國防科技大學空天科學學院, 湖南 長沙 410073; 2. 北京宇航系統工程研究所, 北京 100076)

0 引 言

制導律是影響導彈制導精度的關鍵因素之一,導彈根據實時獲取的制導信息,通過制導律生成制導指令,導引導彈飛向目標,制導律的性能一定程度上決定了導彈對目標的毀傷效果。

比例導引及其變形形式是目前研究與應用最為廣泛的制導律[1-3]。但由于日益增強的目標機動能力,日益復雜的戰場干擾環境,以及對制導性能的更高追求,以比例導引為代表的經典制導律越來越難以滿足作戰需求。

為了提高制導律的魯棒性,或滿足落角等一系列終端約束,現代控制方法越來越多地被應用于制導問題的研究,形成了現代制導律的研究分支。常見的現代制導律主要有最優制導律[3-5]、微分對策制導律[6-7]、滑模制導律等。最優制導律通常采用線性二次型狀態調節器設計,可在約束終端視線角的同時實現性能指標最優(如能量最優)。微分對策制導律是一種博弈制導律,其認為目標以“最優策略”機動,其實質是解決雙邊最優的問題。然而，最優制導律與微分對策制導律均需要精確獲得大量信息,否則其最優性難以保證,且魯棒性較差,難以獲得實際工程應用。

滑模制導律具有對擾動的魯棒性以及快速動態響應特性,是近年來的熱點研究問題。特別地，滑模面跟蹤誤差有限時間收斂的終端滑模制導律,更是學者研究的重點。Zhang等[8]基于終端滑模面推導了有限時間收斂的制導律,使制導律具有較高的實用意義。Song等[9]基于非奇異快速終端滑模控制和自適應控制理論,提出了帶有終端角度約束的自適應非奇異快速終端滑模制導方法。Kumar等[10]設計了有限時間收斂的非奇異終端滑模制導律,在保證制導精度的同時可以滿足碰撞角約束。Hu等[11]提出了一種帶有碰撞時間約束的終端滑模制導律。Zhao等[12]考慮二階自動駕駛儀特性,提出了一種反饋連續終端滑模制導方法,該制導方法可以保證控制動作的連續性。楊芳等[13]基于改進的超螺旋算法,提出了一種非奇異快速終端滑模制導律,并采用參數自適應方法補償未知干擾。Zhou等[14]提出了一種改進的非奇異快速終端滑模制導方法,該方法采用了一種雙冪次趨近律,提升了制導律的全局收斂性,并設計了擴張狀態觀測器以進行目標機動補償。

滑模制導律的一個主要缺點是由于系統延遲與慣性的存在,可能會導致出現抖振現象,為工程實現帶來了困難。因此,如何減弱或消除滑模抖振,一直是滑?？刂蒲芯康闹攸c。常用的消除滑模抖振的方法有邊界層法[15]、高階滑模[16]法、智能控制[17]法、觀測器法[18]等。分數階滑?？刂剖墙陙硌芯康囊粋€熱門方向,由于分數階微積分獨特的“記憶性”,分數階滑模控制可以有效提升系統的控制性能,這為抑制滑模抖振提供了新思路。Zhang等[19]從收斂率的角度分析了分數階線性滑模面減弱抖振的原理。Golestani等[20]設計了分數階終端滑模制導律,但并未對其收斂性進行證明。劉清楷等[21]設計了三維分數階滑模制導律,采用自適應趨近律避免在靠近滑模面時產生較大抖振,但其設計的制導律并非有限時間收斂的制導律。周慧波[22]利用分數階微積分理論,設計了分數階滑模制導律,并分析了分數階線性滑模制導律在穩定域和制導性能方面的優勢。目前，對于分數階滑模制導律的研究成果較少,值得開展進一步研究。

本文針對帶有碰撞角度約束的大機動目標攔截問題開展了研究，建立了二維平面內導彈與目標的相對運動模型,基于分數階滑?？刂评碚撛O計了分數階雙冪次滑模面,在此基礎上設計了有限時間收斂的分數階終端滑模制導律,并基于Lyapunov理論證明了其穩定性。分數階雙冪次滑模面的引入可使本文設計的制導律相比于現有分數階滑模制導律具有更快的收斂速度。同時，為了提高制導律攔截強機動目標的制導性能,提出了一種基于魯棒精確微分器的目標機動加速度估計方法,以實現對目標機動的觀測補償。最后，通過與相關制導律的對比仿真,驗證了本文設計的制導方法具有良好的動態特性和制導性能。

1 分數階微積分簡介

1.1 分數階微積分算子

分數階微積分將微分和積分兩種運算進行了結合,并通過統一的分數階算子表示[23]:

(1)

式中:t0和t分別為分數階微積分的下限和上限;α為分數階微積分的階次,可取為任意的實數或復數;Re(·)代表實部。在本文的研究過程中,限定階次α為實數。從其定義式(1)可以看出,當α>0時,分數階微積分算子表示微分;當α<0時,分數階微積分算子表示積分。

1.2 分數階微積分定義

對于分數階微積分的定義,目前被廣泛接受的有3種:Riemann-Liouville(RL)定義、Grunwald-Letnikov(GL)定義和Caputo(C)定義。下面分別對3種分數階微積分定義進行介紹[24-25]:

定義 1RL型分數階微積分的形式為

(2)

定義 2GL型分數階微積分的形式為：

(3)

(4)

定義 3C型分數階微積分的形式為

(5)

式中:m的取值方式與RL型相同。

由上述分數階微積分定義可知,分數階微積分在計算時要用到所有的歷史數據,即其具有“記憶性”。將其引入滑模設計中,由于其“記憶性”的作用,當系統狀態遠離滑模面時，收斂速度大;當系統狀態靠近滑模面時，收斂速度較小,可以使滑模面更平滑地收斂,達到減小抖振的效果。

1.3 分數階微積分的性質

分數階微積分具有以下性質[24-25]:

(1) 交換律

Dα(Dβf(t))=Dβ(Dαf(t))

(6)

值得注意的是,“先積分再微分”與“先微分再積分”的計算結果并不是相同的,當α>0時,有

(7)

(8)

因此,對于同時存在分數階積分和微分的情況,不能隨意地使用交換律。

(2) 結合律

Dα(Dβf(t))=Dα+βf(t)

(9)

Dα(D-βf(t))=Dα-βf(t),α>0;β>0

(10)

(3) 線性性質

Dα(λf(t)+μg(t))=λDαf(t)+μDαg(t)

(11)

2 相對運動建模

圖1 彈目相對運動幾何關系示意圖Fig.1 Geometric relationship illustration of relative motion between missile and target

彈目相對運動關系可表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

對式(12)和式(13)求導,可得

(16)

(17)

式中:ur和uq分別為導彈在視線方向和視線法向的加速度;wr和wq分別為目標在視線方向和視線法向的加速度。其表達式為

wr=aTsin(q-θT)

(18)

ur=aMsin(q-θM)

(19)

wq=aTcos(q-θT)

(20)

uq=aMcos(q-θM)

(21)

通常而言，導彈無法對相對速度進行有效控制,因此制導問題只關注彈目視線角的變化,式(17)即為制導問題研究的彈目相對運動模型。

3 基于魯棒精確微分器的目標機動估計

對于目標機動加速度較小的情況,依靠滑模制導律的魯棒性即可對其進行克服。然而對于強機動目標,單純依賴滑模魯棒性會造成劇烈抖振,此時需要采用一定的手段進行目標機動估計補償。在目標機動估計方法中,觀測器方法由于具備結構簡單、無需建立目標機動模型等優點,受到了廣泛應用。本文基于魯棒精確微分器估計目標機動狀態。

(22)

文獻[27]設計了n-1階魯棒精確微分器:

(23)

(24)

式中:δ是一個大于0的小量;Tu為任意大于0的切換時間。

文獻[26]已證明,只要魯棒精確微分器的增益系數ki使得矩陣

是赫爾維茨的,則魯棒精確微分器是穩定的,且在固定時間內收斂。

Yn=τXn+(1-τ)Yn-1

(25)

式中:Xn為第n次采樣時的濾波器輸入;Yn為第n次采樣時的濾波器輸出;τ為濾波器時間常數。

圖2 目標加速度估計流程圖Fig.2 Diagram of target acceleration estimation process

4 分數階終端滑模制導律

4.1 制導律設計

(26)

選取分數階滑模面為

(27)

式中:0<α<1;k1>0;k2>0;p1,q1為正奇數,且q1

選擇分數階趨近律：

D1-α(S)=-k3Sq2/pp2-k4Sp2/q2-k5sign(S)

(28)

式中:k3>0；k4>0；k5>0；p2,q2為正奇數,且q2

設計滑模制導律：

(29)

式中:目標機動加速度wq可通過第3節設計的目標機動估計方法得到。

4.2 穩定性證明

選取Lyapunov函數:

(30)

對式(30)求導得

(31)

根據文獻[27],當-1<α<1時,有

sign(Dα(sign(S)))=sign(S)

根據式(31),易得

sign(S)[sign(-k3|S|q2/p2)sign(S)+sign(-k4|S|p2/q2)sign(S)+sign(-k5)sign(S)]=

[sign(-k3|S|q2/p2)+sign(-k4|S|p2/q2)+sign(-k5)][sign(S)]2<0

(32)

由式(28)可知

-k3Dα(Sq2/p2)-k4Dα(Sp2/q2)

(33)

由RL型分數階微積分的定義可得

(34)

式中:t0為初始時刻,tr表示滑模面收斂時刻,有tr≥t0,則有0<(t-τ)α≤(tr-t0)α。

因此,有

(35)

同理,

(36)

因此,有

(37)

又因為S(tr)=0,對式(37)兩邊同時積分可得

(38)

由于滑模面S在區間[t0,tr]上連續,由積分中值定理可知,存在ξ1,ξ2∈[t0,tr]使得

(39)

(40)

因此有

(41)

有

(42)

因此有

(43)

綜上所述,系統狀態可在有限時間收斂到滑模面上。

當系統狀態收斂到滑模面之后,根據式(27)有

(44)

對式(44)同時進行分數階積分,得

-k1D-α(x1q1/p1)-k2D-α(x1p1/q1)

(45)

由于0<α<1,根據分數階微積分的定義可知

(46)

因此,式(45)變為

(47)

由RL型分數階微積分的定義可得

(48)

(49)

因此,式(47)變為

(50)

以tf表示狀態變量收斂到0的時刻,即x1(tf)=0。對式(50)求積分,得

(51)

由于0<(t-τ)1-α≤(tf-tr)1-α,式(51)可寫為

(52)

由于滑模面S在區間[tr,tf]上連續,由積分中值定理可知,存在ξ3,ξ4∈[tr,tf]使得

(53)

由式(53)可得

(54)

由式(54)可知,狀態變量可在有限時間內收斂到0。至此,本文所提制導律的穩定性及有限時間收斂性得證。

5 仿真結果及分析

設置導彈位置x=0 m,y=0 m,速度為V=1 000 m/s;目標位置xt=1 000 m,yt=500 m,目標速度Vt=900 m/s;導彈與目標的彈道傾角為θ=θt=10°;目標作余弦機動at=40 cos(πt/4);設置終端期望碰撞角qd=0°。為了對本文提出的制導律性能進行分析,在無偏差條件下采用式(29)所示的分數階終端滑模制導律(fractional order terminal sliding-mode guidance, FOTSG)、文獻[28]所提出的整數階終端滑模制導律(integer order terminal sliding-mode guidance, IOTSG):

以及文獻[29]所提出的分數階終端滑模制導律(DOTSG2)：

進行對比仿真,分析3種制導律的制導性能。設置DOTSG1制導律參數為:k1=2,k2=4,k3=0.6,k4=0.6,k5=0.05,p1=p2=7,q1=q2=5,α=0.1;設置IOTSG制導律參數為:k6=3,γ=0.5,β1=2,η=0.6;設置DOTSG2制導律參數為:k7=3,β2=0.8,ε=0.2,α1=0.5,p=7,q=5。假設導彈可以測量彈目距離和視線角信息,采用本文所述的基于魯棒精確微分器的目標機動加速度估計方法對目標機動進行觀測補償,設置Tu=0.8 s,δ=0.1,魯棒精確微分器系數參見文獻[31],設置低通濾波器的時間常數為τ=0.5 s,仿真結果如圖3～圖14所示。

圖3 導彈目標運動軌跡圖Fig.3 Diagram of motion trajectory of missile and target motion

圖4 彈目距離隨時間變化圖Fig.4 Distance between missile and target change with time

圖5 滑模面隨時間變化圖Fig.5 Sliding surface change with time

圖6 加速度指令隨時間變化圖Fig.6 Acceleration command change with time

圖7 視線角隨時間變化圖Fig.7 Line-of-sight angle change with time

圖8 視線角速率隨時間變化圖Fig.8 Line-of-sight angular rate change with time

圖9 視線角估計值隨時間變化圖Fig.9 Estimated value of line-of-sight angle change with time

圖10 視線角速率估計值隨時間變化圖Fig.10 Estimation value of line-of-sight angle rate change with time

圖11 視線角加速度估計值隨時間變化圖Fig.11 Estimation value of line-of-sight angular acceleration change with time

圖12 彈目距離估計值隨時間變化圖Fig.12 Estimation value of relative distance between missile and target change with time

圖13 彈目距離變化率估計值隨時間變化Fig.13 Estimation value of change rate of distance between missile and target change with time

圖14 目標機動加速度估計值隨時間變化圖Fig.14 Estimation value of target maneuver accelation change with time

從以上仿真結果可知,魯棒精確微分器可以對彈目距離、彈目距離變化率、視線角、視線角速率、視線角加速度等狀態實現準確估計。利用本文提出的目標機動狀態估計方法可以快速準確地觀測補償目標機動加速度。本文設計的DOTSG1脫靶量為0.012 m,終端碰撞角為0.035°;IOTSG脫靶量為0.125 m,終端碰撞角為0.012°;DOTSG2脫靶量為0.18 m,終端碰撞角為0.021°。相比于IOTSG和DOTSG2,DOTSG1具有更快的收斂速度、更高的制導精度,且明顯抑制了滑模抖振以及IOTSG出現的制導律奇異現象的發生。以上仿真驗證了本文設計的制導律具有良好的動態特性。

為驗證制導律的抗干擾能力,加入如表1所示的正態分布測量偏差,進行500次打靶仿真,得到的仿真結果如圖15～圖18所示。

表1 測量偏差表Table 1 Measurement deviation

圖15 脫靶量散點圖Fig.15 Scatter plot of miss distance

圖16 脫靶量直方圖Fig.16 Histogram of miss distance

圖17 終端視線角散點圖Fig.17 Scatter plot of terminal line-of-sight angle

圖18 終端視線角直方圖Fig.18 Histogram of terminal line-of-sight angle

由以上仿真結果可得,脫靶量平均值為0.246 m,且脫靶量均在0.6 m以內;終端視線角平均值為0.013°,且絕大多數終端視線角的絕對值誤差在3°范圍內。

綜上所述,本文提出的分數階終端滑模制導方法是有效的,具有較高的魯棒性,且相比于整數階制導律與現有的分數階制導律，具有更好的動態性能。

6 結 論

本文針對帶碰撞角度約束的制導問題,提出了一種分數階終端滑模制導律,通過理論證明了制導律的有限時間收斂性。同時，提出了一種基于魯棒精確微分器的目標機動加速度估計方法,實現了對目標機動加速度的估計補償。仿真結果表明,本文所提的制導方法和加速度估計方法均具有較高的精度,可有效抑制抖振和滑模面奇異現象,同時對于目標機動以及量測誤差具有較高的魯棒性。