基于虛擬陣列擴展的改進加權空間平滑算法

孫志國, 柏喬森, 白永珍, 孫溶辰

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達方向(direction of arrival,DOA)估計是陣列信號處理領域的一個重要分支,經典的波達方向估計方法,如多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法[1]和基于旋轉不變性的信號估計(estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法[2]等,均假設目標信源為點信源,信號的能量被視為集中在離散的一個或多個角度[3]。但在現實復雜的通信環境中,信號的傳播由于障礙物的阻擋產生反射或折射,導致信號能量在空間中擴散,最終到達接收端時呈現一定范圍的角度擴展,若采用基于傳統點信源模型的估計算法會導致估計性能的嚴重惡化。對于這種空間分布式信源[4-5],由于信號在一定角度范圍內具有特定的統計分布特性,因此可以通過另一個估計參數擴展角度來描述信號的空間分布特性。相干分布源[6]的空間擴散特性可由確定性角信號密度函數描述,在已知角信號密度函數類型的前提下,文獻[7]提出一種基于MUSIC的分布信號參數估計(distributed signal parameter estimator,DSPE)算法,該算法通過多維參數搜索得到目標信源的中心方位角,具有良好的估計精度,但是計算復雜度也比較高。文獻[8]提出一種針對分布式信源模型的ESPRIT算法,利用均勻線陣的旋轉不變性構造估計矩陣,然后通過特征分解得到估計參數。文獻[9]提出一種基于傳播算子的方法,該方法避免了特征分解,具有較好的實時性。

當信號源之間相干時,協方差矩陣的秩小于信源數,導致傳統的空間譜估計算法失效。如何恢復協方差矩陣的秩,正確估計出信源的數目,是相干信源估計中的一個重要問題。空間平滑算法是一種有效的解決信源相干問題的方法[10-11],該算法能有效分辨信號的入射角度,但是以犧牲陣列孔徑和估計精度為代價的[12]。2003年,王布宏等提出一種加權空間平滑(weighted spatial smoothing,WSS)算法,該算法利用子陣輸出的自相關和互相關信息,具有更好的角度分辨力和更低的信噪比門限,但是其角度估計精度受加權因子的優劣影響較大[13]。文獻[14]提出了改進WSS (improved WSS,IWSS)算法,該算法通過兩次空間平滑,獲得了較好的解相干性能和估計精度。文獻[15]提出一種二次WSS (main WSS,MWSS)算法,該算法的核心思想是對加權矩陣進行空間平滑,以此獲得權值更準確的加權矩陣,從而提高對相干信源的估計精度。文獻[16]提出一種增強的空間平滑技術，該方法利用單個子陣列的協方差矩陣和不同子陣的互協方差矩陣，相比傳統空間平滑技術的解相平相干能力更好。文獻[17]提出一種基于特征空間多重信號分類的空間平滑估計算法,提高了小能量信號的成功估計概率。文獻[18-20]考慮到計算復雜度的問題,提出針對相干信源的快速算法。2018年,Inoue等提出一種利用克羅內克子空間的估計算法[21],該算法將入射信號的自相關和互相關都視為虛擬源信號,在不改變陣元數的前提下,可以處理更多的相干信號。2020年,Fang等提出一種采用改進的稀疏表示方法的相干信號DOA估計算法[22],利用設計的權值向量增強信號的稀疏性,從而確定信號的入射角度,該算法在低信噪比環境下具有良好的估計性能。Jin和Zhang提出一種改進的二維Toeplitz矩陣重構算法[23],實現了二維相干信源的角度估計。同年,Dakulagi等利用Toeplitz矩陣的聯合對角化結構[24],構造了一個無需信源數先驗信息的代價函數,通過修正后的導向矢量代替導向矢量的投影權重來重構信號子空間與噪聲子空間的功率譜。2021年,Fathtabar等提出一種針對寬帶相干信源的DOA估計算法[25],該算法無需信源數和角度預估計等先驗知識。為了解決脈沖噪聲背景下相干源的角度估計問題[26],Gong和Guo提出一種基于無限范數歸一化預處理和稀疏表示的估計算法。為了提高相干信源在低信噪比條件下的估計性能,Wu等提出一種基于協方差矩陣恢復的無網格DOA估計算法[27]。

本文在相干分布式信源模型下,提出一種基于虛擬陣列擴展的WSS (virtual WSS,VWSS)算法。由于空間平滑需要劃分子陣,導致陣列孔徑損失以及可估計信源數目減少,本文通過共軛虛擬陣列擴展增大陣列孔徑,從而彌補空間平滑造成的影響,并且將Toeplitz矩陣重構算法和改進的加權空間平滑算法進行結合,提高算法的估計精度。首先通過Toeplitz算法進行預估計,并根據協方差矩陣的結構對構建的加權矩陣平滑處理,使加權因子更加準確,然后利用改進加權空間平滑算法得到中心DOA的估計值,從而進一步提高對相干信源的估計性能。通過仿真實驗,驗證了該算法對相干信源具有更高的分辨能力和估計精度。

1 陣列信號模型

1.1 相干分布源模型

如圖1所示的均勻線陣,具有M個陣元,相鄰陣元間距為d?？紤]有K個相干分布式信源入射到陣列中,并且滿足遠場窄帶的假設,其中θi和σi(i=1,2,…,K)分別表示第i個分布式信源的中心方位角和角度擴展。在t時刻,陣列接收信號[7]可以表示為

(1)

圖1 線性陣列結構Fig.1 Linear array structure

對于相干分布式信源,其角信號密度函數[7]可以表示為

(2)

(3)

因此,信號模型可以進一步簡化為

x(t)=Bs(t)+n(t)

(4)

式中:B為分布源陣列流型[28],表示為

B=[b(θ1,σ1),b(θ2,σ2),…,b(θK,σK)]

(5)

其中,

(6)

高斯分布是相干分布式信源中最常見的一種分布形式[29-30],其角信號密度函數可以表示為

(7)

1.2 共軛虛擬陣列

利用共軛陣列擴展的方法,在虛擬域上構造一個增廣的虛擬陣列。

如圖2所示,真實陣元的位置為U1={nd|0≤n≤M-1},虛擬陣元的位置為U2={md|-M+1≤m≤-1},則經過擴展后的陣元位置為U=[U2,U1],陣元的總數變為N=2M-1。

圖2 虛擬陣列結構Fig.2 Structure of virtual array

定義第n個真實陣元的信號接收矢量為

xn(t)=bns(t)+nn(t)

(8)

式中:bn表示第n個陣元的導向矢量;nn(t)表示第n個陣元接收的噪聲,n=0,1,…,M-1。

通過共軛陣列擴展的方式構造虛擬陣列,則第-n個虛擬陣元的信號接收矢量表示為

(9)

合并真實陣元和虛擬陣元的信號接收矢量,則總的陣列接收信號為

x(t)=[x-M+1(t),x-M(t),…,x0(t),…,xM-1(t)]=

(10)

其中,

(11)

式(10)即為擴展共軛陣列的接收數據模型,由圖2可以看出,加入虛擬陣元之后,陣列孔徑相應增加。

2 算法原理

2.1 空間平滑算法

空間平滑算法是應對相干信號的經典方法,其核心思想是:將均勻線陣分成L個子陣,然后對所有子陣的自協方差矩陣求平均,從而使得平滑后得到的協方差矩陣的秩等于信號源的個數。

若每個子陣包含m(m>K)個陣元,且子陣個數滿足L=N-m+1(L≥K), 分別計算每個子陣的自協方差矩陣,然后進行算術平均得到前向平滑的陣列協方差矩陣Rf：

(12)

式中:Fk=[0m×(k-1)|Im|0m×(N-k-m+1)]。

前后向空間平滑(forward-backward spatial smoothing, FBSS)算法是在陣列前向平滑的基礎上,同時考慮了均勻線陣的旋轉不變性。因此,定義FBSS協方差矩陣為

(13)

文獻[14]提出的WSS算法,其核心思想是通過兩次不同的方法劃分原陣列,保證第一次劃分的子陣數等于第二次劃分的子陣的陣元數,因此第一次劃分的子陣陣元數等于第二次劃分的子陣數。具體實現步驟如下。

(1) 第一次平滑,劃分子陣的陣元數目為m, 子陣個數為L=N-m+1,并且m,L>K。采用FBSS算法:

(14)

式中:R1為平滑后的協方差矩陣,用來求加權矩陣W,即W=(R1)*;J是與R同維數的置換矩陣;(·)*表示共軛。

(2) 第二次平滑,取子陣陣元數為L,子陣數為m,滿足m=N-L+1,利用第一次平滑所求的加權矩陣W對m2個自、互相關矩陣應用WSS算法可得

(15)

式中:wij表示加權矩陣W第i行第j列的元素。

2.2 基于虛擬陣列擴展的VWSS算法

通過Toeplitz矩陣重構方法進行預估計,以圖2中虛擬陣列擴展后第一個陣元為參考陣元,定義接收數據的互相關矩陣:

(16)

式中:k=1,2,…,N;x1,xk分別表示第一個陣元和第k個陣元的接收數據;B(1),B(k)分別對應陣列流型矩陣的第1行和第k行。將式(16)定義的所有互相關函數組成互相關矢量可得

r=[r11,r12,…,r1N]=B(1)RS[BH(1),BH(2),…,BH(N)]

(17)

式中:r包含所有入射信源的信息,由r張成一個Toeplitz矩陣,可以保證入射信源信息無丟失,其結構如下:

(18)

構造加權矩陣并進行平滑處理,構造加權矩陣W：

W=(B·B)+

(19)

(20)

利用平滑處理后的加權矩陣WS,對前后向陣列協方差矩陣Rij進行加權,得到新的協方差矩陣Rm wf：

(21)

式中:wsij表示加權矩陣WS中第i行第j列的元素。

采用傳播因子算法(propagation method, PM)進行分布源的中心DOA估計。PM無需特征值分解,因此復雜度較低,具體步驟如下:

將分布源方向矩陣B分塊:

(22)

式中:B1是K×K維的矩陣;B2是(N-K)×K維的矩陣,兩個矩陣之間存在一個線性算子,可以表示為

B2=PcB1

(23)

(24)

定義矩陣P為

(25)

根據式(22)～式(25)可得

(26)

分別用Pa和Pb表示P的前N-1和后N-1行;用Ba和Bb表示B的前N-1和后N-1行。式(26)可以表示為

(27)

則存在以下關系：

(28)

(29)

式中:λk表示Φ的第k個特征值。估計出相干分布源中心DOA后,同樣用傳播算子估計出分布源的角度擴展：

[PH,-IN-K]B=QHB=0

(30)

根據式(30)構建空間譜函數:

(31)

(32)

本文算法的基本步驟可歸納總結為:

(1) 利用共軛虛擬陣列擴展技術構造新的信號模型;

(2) 通過Toeplitz矩陣重構方法對目標方位進行預估計;

(3) 根據預估計值建立加權矩陣W,并通過式(20)對加權矩陣進行平滑處理;

(4) 通過式(21)構造協方差矩陣Rmwf;

(5) 采用PM估計信源的中心POA和角度擴展。

3 算法仿真及性能分析

本節對FBSS算法、IWSS算法、MWSS算法以及本文算法進行比較,并分析了4種算法的解相干能力,估計精度和計算復雜度。實驗中均設置均勻線陣的陣元數為8,子陣陣元數為5,陣元間距為半波長,空間分布方式為高斯分布,假設信源之間完全相干,仿真實驗結果均由300次蒙特卡羅實驗得出。

定義均方根誤差(root mean square error， RMSE)作為衡量估計精度的指標,RMSE的計算公式如下:

(33)

實驗 1算法的解相干性能對比

設置快拍數為100,信噪比變化范圍為-10 dB至20 dB,變化間隔為5 dB,假設空間中存在兩個相干分布源,信號入射中心DOA為30°和40°,角度擴展分別為1°和2°,仿真實驗結果如圖3所示。

圖3 不同算法的分辨成功率Fig.3 Resolution success rate of different algorithms

根據圖3可知,信噪比越高,每個算法的分辨成功率越高。其中IWSS-PM算法和MWSS-PM算法的解相干能力相同,都高于FBSS-PM算法。而本文算法由于具有更大的陣列孔徑,并且充分利用的子陣的自相關與互相關信息,因此分辨成功率明顯高于其他算法,在低信噪比時也有不錯的解相干性能。

實驗 2不同信噪比條件下的算法性能

設置快拍數為300,信噪比變化范圍為-10 dB至10 dB,假設空間中存在3個相干分布式信源,入射角度分別為-30°,-10°和40°,角度擴展分別為1°,3°和2°。圖4為信噪比對4種算法估計精度的影響。

圖4 不同算法RMSE隨信噪比變化Fig.4 RMSE of different algorithms varies with signal to noise ratio

根據圖4可知,信噪比增加,4種算法的估計精度均有提升,本文算法相比于其他3種算法的RMSE更低,說明其估計精度更高,在低于0 dB的信噪比條件下也能較好地估計目標方位,RMSE小于3°,抗噪魯棒性較強。

實驗 3不同快拍數條件下的算法性能

設置信噪比為-10 dB,入射角度分別為-30°,-10°和40°,角度擴展分別為1°,3°和2°,總陣元數為8,快拍數變化范圍為300～1 000,圖5為快拍數對4種算法估計精度的影響。

圖5 不同算法RMSE隨快拍數變化Fig.5 RMSE of different algorithms varies with snapshots

由圖5可知,在信噪比不變的情況下,快拍數增加,4種算法的測向精度隨之提升。在快拍數量一定時,本文算法的RMSE明顯小于其他算法,具有更優的估計精度。

實驗 4角度擴展對算法性能的影響

設置信噪比為0 dB,快拍數為300,入射角度分別為-30°,-10°和40°,陣元數為8,角度擴展變化范圍為1°至10°,圖6表示了角度擴展對4種算法估計精度的影響。

圖6 不同算法RMSE隨角度擴展變化Fig.6 RMSE of different algorithms varies with spread angular

由圖6可知,4種算法的估計精度均隨擴展角度的增大而降低。其中,IWSS-PM算法和MWSS-PM算法受角度擴展的影響較大,FBSS-PM算法的估計精度最低,本文所提算法的估計精度隨角度擴展變化曲線平穩,由于通過共軛陣列擴展,增大了陣列孔徑,并對加權矩陣進行修正,有效降低了信號多徑的影響,因此受角度擴展影響較小。

實驗 5計算復雜度比較

假設真實陣元總數為M,通過共軛虛擬陣列擴展后的陣元總數為N=2M-1,快拍數為T,真實子陣的陣元數為m1,則子陣個數為L1=M-m+1,經過共軛虛擬擴展后的子陣陣元為m2=2m1,則子陣個數為L2=N-m2+1,計算復雜度如表1所示。

表1 計算復雜度

設置信噪比為-10 dB,空間中存在3個相干分布源,入射角度分別為-30°,-10°和40°,角度擴展分別為1°,3°和2°,設置信噪比為0 dB,子陣列的陣元數為4。圖7表示了4種算法在不同陣元時的計算復雜度。

圖7 不同算法計算復雜度對比Fig.7 Computational complexity comparison of different algorithms

如圖7所示,FBSS-PM算法只進行了空間平滑處理,因此計算復雜度最低;IWSS-PM算法計算了權值,復雜度略高于FBSS-PM算法;而MWSS-PM算法由于進行了二次加權平滑,所以計算復雜度比前兩種算法更高;本文算法基于MWSS-PM算法,擴展了陣列孔徑,同時增加了Toeplitz矩陣重構方法的預估計,提高了估計精度,但是卻增加了計算的復雜度,運行時間是4種算法中最長的。

4 結 論

針對相干信源,現有的空間平滑類算法陣列孔徑損失嚴重,在低信噪比時估計性能較差。本文在相干分布源模型下,提出一種基于虛擬陣列擴展的VWSS算法,來彌補子陣劃分造成的陣列孔徑損失,并充分利用子陣的自相關和互相關信息,更有效地建立加權矩陣的權值,提高了角度估計精度。計算機仿真結果證明,本文算法具有更好的估計性能,在低信噪比時具有較好的魯棒性,并且受角度擴展的影響較小,但是計算復雜度相比傳統算法更大,因此運行時間更長。