考慮競爭失效的視情維修和備件訂購聯合策略優化

趙 斐, 李 鑫, 張 建

(1. 東北大學秦皇島分校管理學院, 河北 秦皇島 066004; 2. 東北大學工商管理學院, 遼寧 沈陽 110819;3. 中車唐山機車車輛有限公司, 河北 唐山 063000)

0 引 言

在現代工業產品的可靠性研究中,系統失效通常是由產品的內在原因(如使用退化、磨損、疲勞等)和外部因素(如隨機沖擊、應力過載等)綜合作用而造成的。為此,系統從使用到失效的壽命過程是內因退化失效模式與外部沖擊失效模式相互競爭的結果[1-4]。例如,雷達轉向系統在實施作戰任務時完成監控偵查,失效原因一方面是由使用造成的磨損退化積累,另一方面是遭敵打擊后瞬時損傷,從而將此過程視為單部件系統競爭失效過程[5]?，F有研究主要從兩個角度定義隨機沖擊與退化之間的關系:一是隨著系統運行,退化量不斷增加,系統抗沖擊能力逐漸減弱,使其更易受到隨機沖擊的影響;二是隨機沖擊會加速退化過程,導致出現突變性的加速退化情形,或增加退化速率。針對前者,有研究分析了隨機沖擊對系統退化量的影響,每次隨機沖擊時退化量瞬時增加[6-8]。然而,Lyu等[9]構建了考慮可變退化率的可靠性模型,假定當沖擊數達到特定值時,退化速率發生變化;Nezakati等[10]針對負載共享的k-out-of-n: F系統,在考慮相依競爭失效基礎上進行可靠性分析;Sun等[11]基于非線性維納過程研究了退化過程對隨機沖擊的影響以及隨機沖擊對退化率的影響。Bian等[12]分別構建了基于累積沖擊模型和極端沖擊模型的可靠度函數。

不完美維修(imperfect maintenance, IPM)活動常應用于實踐中以延長系統役齡,文獻[13]用改善因子隨維修頻率遞減的函數表示IPM對系統役齡的影響;Guo等[14]引入殘余退化量模型,表征IPM活動改善系統健康狀態能力逐漸減弱的趨勢;也有研究基于剩余壽命預測提出了考慮IPM的視情維修優化模型[15-16];Pei等[17]采用維納過程建立系統多階段退化過程模型,表征IPM活動對退化過程的影響。因此，在實際生產過程中，IPM活動更為適用,而且考慮其對系統退化量和退化率的雙重影響尤為重要。

沖擊閾值常用于判斷系統在極端沖擊下是否發生沖擊失效,一旦超過沖擊閾值,則導致系統失效[18-21]。在現有考慮競爭失效的視情維修研究中,根據極端沖擊與系統總退化量的相關性,將極端沖擊閾值分為單一固定閾值和多階段固定閾值[22-23]。文獻[7]定義了單一硬失效閾值,用于判斷當部件受到外界沖擊時沖擊是否有效,即是否造成系統退化量疊加;Che等[24]考慮了基于單一沖擊的閾值情形。也有研究提出不同類型的沖擊并進行建模,An等[25]同時考慮失效沖擊閾值和一般沖擊閾值,判斷系統是否失效;Hao等[26]以海上橋梁的鋼筋混凝土墩柱為例,同時考慮不斷的腐蝕過程和由船舶碰撞引起的隨機沖擊損傷,根據沖擊振幅區分無害沖擊和有害沖擊,分析有害沖擊對故障率和故障閾值的影響,分別通過極端沖擊模型和δ-沖擊模型構建沖擊閾值與沖擊幅值的關系。以上針對沖擊閾值的研究中,多假定閾值是固定不變的,未考慮閾值的隨機性和不確定性特征,導致了一定的局限性。

系統維修活動離不開備品備件的保障,而維修決策活動又會產生對備件的需求,顯然維修方案的制定與備件管理緊密相關,為此,聯合優化維修策略和備件訂購策略尤為重要?，F有預防性維修(preventive maintenance, PM)與備件訂購聯合優化的研究僅考慮了累積退化,忽略了隨機沖擊對系統失效的影響,限制了聯合決策模型應用[27-30]。然而,考慮到隨機沖擊對系統退化和失效的直接影響,即每次沖擊后勢必增加失效率,導致對備件的需求程度變高。因而,針對競爭失效系統有必要研究隨機沖擊對備件訂購的影響,鑒于沖擊振幅越接近沖擊閾值時,系統越有可能失效進而產生對備件的需求,根據隨機沖擊設置備件采購需求條件進而實現與維修決策活動的整合至關重要。

本文針對單部件系統競爭失效過程，基于維納過程構建考慮IPM與隨機沖擊的多階段退化模型,并通過漂移系數和隨機沖擊量表征IPM活動和隨機沖擊對系統退化量和退化率的影響。基于控制限維修原則提出視情維修策略,綜合考慮IPM、經有限次IPM后的預防性更換(preventive replacement, PR)和隨機故障更換(corrective replacement, CR)維護方式;同時,采用動態隨機沖擊閾值機制判斷由外部沖擊引起的系統失效。備件訂購取決于隨機沖擊的影響,通過比較隨機沖擊振幅和沖擊閾值之間的差值,引入備件訂購閾值作為決策正常訂購備件的條件。根據PR和CR兩種相互獨立的更新情形,分析正常訂購備件的狀態，以及所有可能的更新事件并推導發生概率,綜合考慮檢修成本和備件相關成本,構建最小化平均費用的聯合策略優化模型。對此,設計離散事件仿真算法求解模型,利用實例驗證了模型的有效性,分別對最大IPM次數和備件訂購閾值進行了靈敏度分析,并通過模型對比證明了所提出的聯合優化策略能夠有效降低成本。

1 視情維修和備件訂購聯合策略

1.1 問題描述

根據控制限視情維修策略,如圖1中時刻t2所示,當系統總退化量XS(t)超過PM閾值ωp時，執行IPM;但一旦執行IPM的次數超過最大次數N時，則進行PR,如時刻t5所示;XS(t)一旦超過CR閾值ωl,則立即執行CR,如t7時刻所示。如圖1所示,由于系統退化量一旦超過閾值ωp，則需執行IPM,為此以IPM活動點基于維納過程構建多階段的退化模型,表征IPM前后系統不同的退化趨勢。同時,考慮到隨機沖擊對系統退化量和退化率的影響,如時刻t1,t4,t6所示,系統在每次經過隨機沖擊后退化斜率變大,進而將隨機沖擊的影響融入退化模型中。

圖1 視情維修和備件訂購聯合策略Fig.1 Joint policy of condition-based maintenance and spare ordering

當系統遭受隨機沖擊的幅值Wj超過隨機沖擊閾值Dk(t)時,視系統發生沖擊失效。如前所述,基于Wj與Dk(t)之間的差值決策是否訂購備件,在此引入備件訂購閾值δ。當Dk(t)-Wj>δ時，不采購備件,若有備件需求則僅能通過緊急訂單滿足且經緊急訂單期Leo后到貨,如圖1中時刻t6所示。若Dk(t)-Wj≤δ成立,則在此訂購備件to=t且經正常訂購提前期Lo到貨。若在備件需求時刻,其狀態處于未訂購正常備件情形或已訂購正常備件但未到貨情形,則等待備件直至到貨并進行更換,等待期間以單位時間缺貨成本CPenalty產生缺貨成本;相反,若備件已經到貨但處于存儲狀態,則立即更換系統,并以單位時間庫存持有成本Ch產生備件存儲成本。

1.2 系統退化過程建模和剩余壽命預測

根據IPM對系統退化過程的影響,基于維納過程構建分階段退化模型,定義第k(0≤k≤N)次IPM后系統的總退化量為

XS(t)=

X(t)+S(t)=

(1)

(2)

(3)

式中:ck=1/(1-exp(-abk-1)),a,b為超參數。

基于首達時間概念定義系統退化量首次達到PM閾值或故障閾值ωi(i=p,l)的時間Lk,ωi，有

Lk,ωi=inf{lk,ωi:XS(jkΔt+lk,ωi)≥ωi|lk,ωi≥0,zk}

(4)

為推導Lk,ωi，將概率密度函數進行如下變換:

U(lk,ωi)=XS(lk,ωi+jkΔt)-XS(jkΔt)=

(5)

根據式(4)和式(5)得到:

Lk,ωi=inf{lk,ωi:U(lk,ωi)≥ωi-XS(jkΔt)|lk,ωi≥0,zk}

(6)

將式(5)代入式(6)，推導得到:

(7)

(8)

fL(lk,ωi|zk)=

(9)

(10)

由此推導式(9)得到:

fL(lk,ωi|zk)=

(11)

(12)

Dk(t)=ηXS(t)+ε

(13)

2 聯合策略優化建模

根據考慮競爭失效的系統退化過程和基于控制限的視情維修策略,可知當退化量XS(t)≥ωl或Wj≥Dk(t)時,以成本CCR執行CR;若ωl>XS(t)≥ωp,則以成本CIPM執行IPM或者以成本CPR執行PR。接下來,首先推導各種更新事件的發生概率,而后利用更新報酬理論構建最小化平均費用的聯合策略優化模型。

2.1 更新事件發生概率

在時刻jkΔt系統退化量XS(jkΔt)∈(ωp,ωl),則執行IPM的概率PIPM(jkΔt)為

PIPM(jkΔt)=P(XS((jk-1)Δt)<ωp∩ωp

(14)

當IPM次數達到閾值N時,對系統進行PR的概率PPR為

PPR=PPR(W,D)·

P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

(15)

(16)

系統執行N次IPM且未發生沖擊失效,由于在時刻(q+1)Δt退化量超過閾值ωl而進行CR的概率PCR1為

PCR1=PCR1(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

(17)

(18)

系統執行N次IPM后發生沖擊失效的CR概率PSCR1為

PSCR1=PSCR1(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

XS(qΔt)<ωp,XS((q+1)Δt)>ωl)

(19)

(20)

系統執行n(n

PCR2=PCR2(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

XS(qΔt)<ωp,XS((q+1)Δt)>ωl)

(21)

(22)

系統執行n(n

PSCR2=PSCR2(W,D)·P(XS((j1-1)Δt)<ωp,ωp

XS(qΔt)<ωp,XS((q+1)Δt)>ωl)

(23)

(24)

式(17)、式(19)、式(21)和式(23)中,fk,ωi-x(t|zk)和fk,x(t)可以表示為

fk,ωi-x(t|zk)=

(25)

fk,x(t)=

(26)

2.2 最小化平均費用的聯合決策優化模型

根據系統不同退化狀態推導出的PR和CR概率,結合更換時刻備件可能的狀態(未訂購、訂購未到貨、已到貨),分析并推導所有更新事件發生的概率,計算相應的期望成本EC和期望時長ET,利用更新報酬理論建立最小化平均費用的目標函數。

首先,若備件需求時刻處于未訂購狀態,則進行緊急訂貨并于提前期Leo時長后更新系統,此時產生的總成本為C1=mCi+kCIPM+Ceo+CCR+LeoCPenalty。其次,當備件已經訂購但是未到貨時,則等待備件直至到貨并進行更換,綜合考慮檢修成本和備件相關成本,總成本為C2=mCi+kCIPM+Co+CCR+CPenalty(to+Lo-mΔt)。最后,如果備件處于存儲狀態,則產生的總成本為C3=mCi+kCIPM+Co+CCR+Ch(mΔt-to-Lo)。下面分別計算各更新事件的期望成本和時長。

事件 1系統執行PR而備件未訂購情形

(27)

(28)

事件 2系統執行PR而備件已訂購但仍未到貨的情形

(29)

(30)

事件 3系統執行PR且備件已到貨情形

(31)

(32)

事件 4系統執行N次IPM而未發生沖擊失效的CR,且備件未訂購情形

(33)

(34)

事件 5系統執行N次IPM而未發生沖擊失效的CR,且備件已訂購但未到貨情形

(35)

(36)

事件 6系統執行N次IPM而未發生沖擊失效的CR,且備件已到貨情形

(37)

(38)

事件 7系統執行N次IPM而發生沖擊失效的CR,且備件未訂購情形

(39)

(40)

事件 8系統執行N次IPM而發生沖擊失效的CR,且備件已訂購未到貨情形

(41)

(42)

事件 9系統執行N次IPM而發生沖擊失效的CR,且備件已到貨情形

(43)

(44)

事件 10系統執行n(n

(45)

(46)

事件 11系統執行n(n

(47)

(48)

事件 12系統執行n(n

(49)

(50)

事件 13系統執行n(n

(51)

(52)

事件 14系統執行n(n

(53)

(54)

事件 15系統執行n(n

(55)

(56)

由各更新事件期望費用和期望時長,根據更新報酬理論建立最小化平均費用的目標函數

(57)

3 離散事件仿真算法設計

為了簡化計算,在此設計離散事件仿真算法求解最優的決策變量(ωp,Δt),即檢測間隔和PM閾值。圖2給出了離散事件仿真算法流程圖,步驟如下。

圖2 離散事件仿真算法Fig.2 Discrete-event simulation algorithm

步驟 1設置初始漂移系數λ0,擴散系數σB,初始殘余退化量z0,系統CR閾值ωl=0.15,PM閾值ωp=0.01,最大迭代次數imax,最大IPM次數N,正常訂單提前期Lo,緊急訂單提前期Leo,備件訂購閾值δ。

步驟 2設置參數ωp=ωp+0.01,Δt=100。

步驟 3設置總期望成本TC=0,總期望時間TL=0,迭代次數i=0,Δt=Δt+100。

步驟 4設置當前時刻t=0,總退化量XS(t)=0,備件訂購時間to=0,IPM次數k=0,Δt和ωp不變,i=i+1。

步驟 6若s>0,且單次沖擊幅值W大于沖擊閾值D,則轉到步驟7;否則,轉到步驟8。

步驟 7若IPM次數k≥N，則系統執行N次IPM而發生沖擊失效的CR。如圖3所示,此時若to=0,則備件未訂購,事件7發生;若to+Lo>t,則備件已訂購但未到貨,事件8發生，直到備件到貨時再進行CR;若to+Lot,則備件已訂購但未到貨,事件14發生,直到備件到貨時再進行CR;若to+Lo

圖3 Box CFig.3 Box C

圖4 Box EFig.4 Box E

步驟 8若W

步驟 9將XS(t)分別與ωp和ωl進行對比。若XS(t)≥ωl,則轉到步驟10;若XS(t)<ωl,則返回步驟5,TC=TC+Ci。若ωl>XS(t)≥ωp且k≥N,則轉到步驟11;否則,轉到步驟12。若XS(t)<ωp,則返回步驟5。

步驟 10若k≥N,則系統執行N次IPM而未發生沖擊失效的CR。如圖5所示,此時若訂購時間to=0,則備件未訂購,事件4發生;若to+Lo>t,則備件已訂購但未到貨,事件5發生,直到備件到貨時再進行CR;若to+Lot,則備件已訂購但未到貨,事件11發生,直到備件到貨時再進行CR;若to+Lo

圖5 Box BFig.5 Box B

圖6 Box DFig.6 Box D

步驟 11如圖7所示,此時若to=0,則備件未訂購,事件1發生;若to+Lo>t,則備件已訂購但未到貨,事件2發生,直到備件到貨再進行CR;若to+Lo

圖7 Box AFig.7 Box A

步驟 12如果ωl>XS(t)≥ωp且k

步驟 13判斷運行次數,若滿足i=imax,則計算EC(ωp,Δt),否則返回步驟4。

步驟 14若EC(ωp,Δt)

4 實例分析

根據文獻[5]雷達轉向系統的電動機運行實際數據驗證模型有效性,對聯合策略模型進行仿真優化,分析不同參數對目標函數和決策變量的影響。

4.1 參數設置

根據文獻[5]中的參數設置相關退化參數,如表1所示,成本參數如表2所示。

表1 退化參數

表2 成本參數

4.2 最優解分析

當Δt固定時,平均成本呈現出先減小后增大的趨勢,這是因為ωp過小會使PR次數增多而總期望時長減少,導致較高的目標函數;ωp較大容易在故障發生時,系統不能及時進行IPM或PR,導致以高昂的CR成本進行更換。同樣,若Δt過小,則頻繁的檢測活動勢必增加系統檢測成本,則期望時間長度相同時,平均成本增加;若Δt過大,未能及時檢測系統健康狀態,會增加系統故障風險,此時將導致維修不足以致CR費用增加,進而導致平均費用增加。

圖8 目標函數與決策變量之間的關系Fig.8 Relationship between the objective function and decision variables

4.3 靈敏度分析

在假定成本參數和系統退化參數不變的情況下,分別探討訂購閾值δ、最大IPM次數N變化時,檢測間隔Δt與目標函數之間的關系。

(1)δ變化時Δt與目標函數之間的關系

在其他參數不變的前提下,備件訂購閾值δ的大小直接決定備件是否可以及時滿足系統維修的需要。如圖9所示,由于δ過大,備件經提前期到貨后,每分鐘以成本Ch的庫存成本逐漸增加,單位時間內期望成本增加。反之,當動態隨機沖擊閾值和單次沖擊幅值的差值較小時,說明系統執行PR和CR的概率變大,備件此時可能處于未訂購狀態或已訂購但未到貨狀態,則需要緊急訂單或者繼續等待備件,總期望成本增加，并使得目標函數增加。

圖9 訂購閾值對目標函數的影響Fig.9 Effect of the order threshold on the objective function

(2)N變化時Δt與目標函數之間的關系

設置最大IPM次數N的目的是以低成本對系統進行維護,同時為了避免高故障率帶來的故障損失,經過有限次IPM后采取PR活動。圖10給出了最大IPM次數N不同時檢測間隔與目標函數之間的關系。

圖10 最大IPM對目標函數的影響Fig.10 Effect of the maximal number of IPM on the objective function

由圖10中的結果不難看出,當N小于3時,易導致系統可用度降低,造成更換成本攀升,增加平均費用支出。相反,當N非常大時,則多次IPM后的系統退化率較高,易發生故障并因較高的故障成本支出導致相對較高的平均成本。

4.4 模型對比與分析

圖11 模型2中目標函數與決策變量之間關系Fig.11 Relationship between the objective function and decision variables in model 2

通過對比結果發現,模型1的最小平均費用要小于模型2的最小平均費用(0.105 8<0.203),一方面,這是由于模型1在策略中考慮了IPM,延長了系統役齡,使系統成本率達到了最低;另一方面,模型1的策略根據動態隨機沖擊閾值和單次沖擊幅值之間的關系,設置了訂購閾值,確保備件能及時供應,滿足了系統維修需求,降低了系統總成本。

5 結 論

本文對單部件系統提出考慮競爭失效的視情維修與備件訂購聯合策略,其中維修策略采用控制限策略,考慮了IPM和隨機沖擊對系統退化量和退化率的影響,進而使用維納過程構建了分階段的退化模型。引入備件訂購閾值,比較該閾值和隨機沖擊幅值與動態隨機沖擊閾值之間差值的大小,判斷是否正常采購備件。針對退化量超過PM閾值時可能發生的IPM或PR活動,結合由于退化量達到故障閾值、隨機沖擊超過閾值水平而發生的CR活動,分別推導了發生概率。綜合分析系統更換情形和備件狀態,確定是否能夠立即更換備件,是否需要進行緊急訂購備件,從而計算各更新事件的期望成本和期望時長,并得到總期望成本和總期望時長,利用更新報酬理論得到最小化平均費用的目標函數,優化檢測間隔和PM閾值。

通過設計離散事件仿真算法對模型進行求解,通過實例驗證了模型的有效性和算法的可行性,針對最大PR次數和備件訂購閾值進行了靈敏度分析,并進行了模型對比,仿真結果表明所提出的聯合優化策略能夠有效降低系統的維修成本和備件成本。