在小學數學解題過程中滲透模型思想

陜西師范大學附屬小學 何軍華

一、模型思想的概述和應用價值

小學數學的模型思想主要是對某種抽象的事物進行一定的抽象或者效仿，讓學生對某些抽象的數學知識建立起數學模型，可依托實物，也可以概括形式的表達，包括學生生活中的飛機模型、汽車模型等。而這些數學模型的構建，可以讓學生對數學的概念、符號、圖形、數量關系有個清晰明確的認知，通過創建情境可以讓學生更深入地接觸一些有關數量的關系。特別是狹義的數學模型可以解決生活中的一些實際問題，對一些特定的問題有著重要的研究意義，包括數學學習中的植樹問題、確定起跑線問題、尋找次產品問題等。

而在小學數學解題教學活動中，教師加強數學模型思想的滲透，有利于提升學生處理問題的技能，幫助學生提高自我解題的正確率。首先，數學問題來自生活，也要回歸生活，教師可以考慮通過建設生活中的一些模型，讓學生根據自我的現實情況來判斷數學結果是否正確，建立一個問題處理的形象，從而提升學生的問題處理水平。其次，數學模型思想有利于提升學生對數學知識的理解。數學模型的建立過程就是讓學生在生活中尋找問題，然后用數學的方式表達出來，并且進行驗證和求解，這一過程不僅培養了學生建立模型的技能，也讓學生了解了這個過程的實踐意義和價值。學生能將學習的知識應用于生活中，間接幫助學生提升了數學的解題技能，幫助學生對數學有一個更深入的理解。最后，數學模型思想的融入也能讓學生對知識運用思想有個清晰的認識和了解，激發了學生的學習興趣。在數學教學活動中，教師有意識地滲透模型思想教育，能發現學生學習過程中的一些思維問題，進行思想建模方面的引導，讓學生對數學有更多元化的解題方式和方法，能形成自我的數學學習方式。

比如，小學中常見的一些數學解題模型。

植樹問題模型：

植樹問題就是反映總路線長、間距長與棵數這三個數量之間關系的問題。這三個數量關系之間一般有下列關系。

點與間隔一一對應，一端栽，長度÷間隔＝棵數。

兩端都栽，長度÷間隔＋1＝棵數；兩端都不栽，長度÷間隔－1＝棵數。

關系模型：

關系模型就是表示某些數量關系的模型。在小學階段的主要數量關系有：每份數×份數＝總數，速度×時間＝路程，單價×數量＝總價，總數÷總份數＝平均數，正比例關系、反比例關系等。

概率模型：

統計與概率在小學階段涉及的內容比較少，但也蘊含了一些模型思想。在概率教學中涉及了有關（0－1）分布的模型思想（拋硬幣）。在統計教學中主要是借助圖來整理、認識現象。

二、小學數學模型思想在小學數學課堂的應用現狀

（一）教學目標定位不準確

由于傳統的教學方法，有些小學教師在進行數學教學時，只注重對學生的基本技能和基礎知識的培養，而忽視了新課標中的模式思維。數學是一門需要邏輯思考的課程，學生如果總是被動地接受，特別是那些喜歡玩的孩子，時間一長，學生的學習積極性就會下降，學習的效果也會大打折扣。

（二）關注的焦點存在偏差

數學建模是一種新的教學手段，目前還處于摸索階段，雖然有不少數學教師在實踐中應用，但還是有一些數學教師不能熟練地運用它，只注重形式，而忽略了它的本質。建立的模型是要把數學與現實相結合，但它只是一個連接的層次，更多地強調了算法的多樣性，而忽略了分析與優化的過程，使學生無法通過這種模式來形成和提升自己的思考能力，這與建模的初衷背道而馳。

（三）評估方法改進不足

從當前的數學教育狀況來看，大多數數學教師對學生的數學學習評價都是一成不變的，教師只是根據學生的考試成績和日常訓練的分數來評判他們的數學學習。這種單一的評估方法，會極大地影響學生的建模思維，難以提高學生的學習效率。

三、在小學數學解題過程中滲透模型思想的方法

（一）以學生生活為中心，注重情境創設

在課堂上，教師為學生提供了與教材有關的情境，然后，學生就可以利用自己掌握的知識，將問題給解決了。教師所創造的情境對學生的接受能力有很大影響，良好的情境可以幫助他們更快、更全面地了解知識點，而不好的情境不但會使學生產生厭惡感，而且會對教師的教學造成不利影響。所以，教師要發揮自己的能力，創造出適合學生的情境，讓學生能更好地了解和理解，并構建出一個模型。在建模過程中，最關鍵的是要對所觀察的物體進行感知，利用一種具有相同特性的物體，挖掘出這種物體的特性和相互關系，從而指導學生在學習過程中積累表象體驗，形成正確的模型。

例如，在教授植樹問題的時候，可以用五根手指的空隙，來表示樹與樹之間的間隔；對樹的數目和間隔數，要找到這兩者的相似性，即樹的數目－1＝間隔數（兩邊都種），這是一個抽象的過程，在這種情況下，學生可以利用這個模型來解決更復雜的問題。

例如，在教學中，教師要滲透關于幾何的模型意識，不僅要讓學生了解學習的效果，還要學習各種模型之間的關系、圖形的獲取及抽象的過程。從幾何學角度來看，最基本的幾何模型就是由直線、三角形、圓形等幾何元素組成的，如果缺少了與現實的聯系，那么基礎幾何就會變成一種抽象的概念，而不會與現實聯系在一起。在應用幾何圖形的教學中，要盡可能地使用直觀、形象的教具，幫助低年級的學生迅速接受抽象的數學觀念。

（二）以參與為中心，進行模型建立假定

在模型思想教學中，教師需要明確教學任務和教學要點，以學生為中心，圍繞學生開展模型思想滲透的教學工作。在明確了變量的關系和各個要素的相互關系后，才能更好地把握問題的本質。教師可以根據自己所學的知識對問題進行簡化，給出一些假設。假定與簡化要恰當，不同的程度會導致多個模型的出現，答案也會有差別。當假定與現實不符時，需要對其進行進一步的完善和反思。

數學模型思維的運用是一個循序漸進的過程，必須始終貫穿于數學教學中。因此，在引導小學生學習新的知識點、建立新模型的同時，還需要引導學生對之前建立的模型進行回顧，增強學生的建模意識，提升學生的建模能力，增強學生的思維能力，讓學生對教材中的內容有更好的理解。數學是一門枯燥乏味的科目，建立數學模型則會增強小學生對數學的興趣。數學教師要充分利用這個優勢，把模型思維運用到實際中去。在反復練習中，學生的數學成績會越來越好，在遇到問題的時候，也可以用模型來輔助。

例如，當學生初次接觸到不同分母的加法時，一般都會根據所學的加法定律，給出以下假設：把分子和分母分開。在教師引導下，學生自己動手實踐，就會發現以上的假設是錯的，正確的方法是使用最小的公倍數來進行運算。

例如，在進行典型的雞兔同籠式教學時，可以先設定全部雞（或兔子），然后根據多余的腿數量進行分配。

在教授矩形的面積公式時，用方格紙來表示。假定長方形的長度和寬度與其面積之間的關系為：長×寬＝面積。假定的程序主要是基于學生的經驗和常識。在小學數學的圖形和幾何中，關于不同圖形的性質、面積、體積的計算公式的推導，都可以通過猜測—證實的方法來讓學生自己去探索。

（三）建立數學模型進行引導和求解

從廣義和狹義的數學模型來看，數學模型可以是生活中的問題，也可以是教科書中的基本概念、基本知識。小學數學的內容相對來說較為簡單，與現實生活緊密相關，數學中的概念、公式等都有相應的數學模型。建立好了模型，接下來就是做題了。

例如，能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986這些數字排成一行，使得兩個1之間夾著1個數，兩個2之間夾著2個數……兩個1986之間夾著1986個數。

這道題用的是整數的奇偶性模型。教師可以讓學生自己動手做一做。

（1）排一排1，2，3這三個數：3，1，2，1，3，2

（2）排一排1，2，3，4這四個數字：2，3，4，2，1，3，1，4

（3）排一排1，2，3，4，5這五個數字：……

通過教師的恰當引導和學生的實踐、體驗，學生就能發現其中的數學規律，創立奇偶數模型，然后進行題目的求解。而這種模型建立求解問題的方式，也能吸引學生的注意力，讓學生保持濃厚的興趣。

在數學教學中，模型滲透的終極目標是讓學生利用所建立的模型來解決現實生活中的問題，使他們充分認識到數學模型在現實生活中的實用價值。

例如，植樹問題：在一條長達100米的道路上種植樹木，每5米一棵，兩邊各插一棵，總共要種幾株？在建立模型部分，教師指導學生把100米的問題，變成10米、15米、20米……并觀察線段圖形，根據自己的直覺，找出其中的規律，由此得到“棵數＝間隔數＋1”的數學模型。為使學生更好地了解這個數學模型，教師還可以設計“遷移應用”的教學環節，以幫助學生鞏固和內化這些知識。

（四）以解題過程為導向，對模型進行檢驗

在建立了模型之后，教師必須把問題的答案和實際情況進行比較，從而證明該模型的正確性。在對該模型進行驗證后，可以得出兩個結論：一是該問題的求解結果與實際問題一致。此時，證明所建立的模型是正確的，并且將來可以用這種模型解決相似的問題。二是該模型的結論與現實不符。也就是說，如果計算結果與實際情況不符，那就必須重新建立一個新的模型。這是一個模型的構建，是一個驗證的過程。

在小學數學中，應用問題的解法是一個模型化的過程，方程式是一種很有意義的數學模式。在小學數學中，數學解法和方程式法是兩種常用的解法。相對算術，方程可以使我們更容易地了解問題、分析數量關系、建立數學模型。因此，在求解較為復雜的量關系問題時，方程式法具有一些數學解法無法比擬的優點。

例如，兩箱蘋果的個數相同，甲箱賣出80個，乙箱賣出124個，甲箱剩余的蘋果個數是乙箱的3倍，每箱蘋果原有多少個？在解決這一道問題時，將每箱蘋果設為x個，根據甲箱賣出80個后剩下的蘋果個數是乙箱賣出124個后剩下蘋果的3倍，這個等量關系很容易就可以列出方程來解決問題。和數學解法相比，方程式法更好理解。

當學生剛開始學習植樹問題時，他們常常會考慮一個模型：長度÷間隔＝棵數。但當學生將解的結果返回到問題中時，就會知道這樣的解不符合現實情況。這時就要再次經歷建立模型過程，結合具體情境分析，再使用線段等工具進行直觀教學，找到的正確數學模型是：一端栽，長度÷間隔＝棵數；兩端都栽，長度÷間隔＋1＝棵數。

再比如以下數學問題：

（1）一個星期有7天，10月份共有31天。10月份有幾個星期零幾天？

對這樣的問題，可以帶領學生依題意一個一個星期地數一數，并逐一寫出來：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，算式：31÷7＝4（個）……3（天），十月有4個星期零3天。

（2）已知2007年5月9日是星期三，問6月9日是星期幾？

第一步，先算出從5月9日到6月9日共有32天；

第二步，每7天為一周，32天共有幾節余幾天；

算式：32÷7＝4（周）……4（天），可知最后一天（6月9日）與第一周中的第4天相同，是星期六。

四、結語

新課標中新教材所涵蓋的一個重要概念就是模型思維。在數學學習中，學生更傾向于接受與現實生活非常接近的、與自己認知的事物或現象類似的數學。因此，在教學中要注意把模型思維滲透到課堂中去。模型思維的精髓，就是要讓學生將現實和數學結合起來，用數字來表達和解決問題。也就是說，要讓學生了解數學和外界的關系不是孤立的，而是密切地聯系在一起的。教師要做到這一點，就必須把模型思維滲透進教學中，讓學生從小接觸這樣的數學思維和思想，幫助學生提升解題正確率。