初中數學核心問題課堂教學案例

作者簡介：段金朋（1974—），男，山東濰坊人，本科，一級教師，研究方向：初中數學教學。

一、教學目標

根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》中有關“三角形”第二課時教學的指示，立足該章節內容所涉及的核心素養，制訂如下教學目標，具體如表1所示。

表1

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二、教學重難點

（一）教學重點

1.正確了解角平分線性質定理及逆定理。

2.加深對線段垂直平分線和角平分線的性質定理及逆定理的理解，利用定理完成題目解答。

（二）教學難點

1.添加輔助線，構造基本圖形。

2.線段垂直平分線、角平分線性質定理及逆定理的綜合應用。

三、教學內容分析

該內容可劃分為角的平分線1、角的平分線2兩大板塊開展教學，第一板塊著重帶領學生探究角的平分線性質定理及逆定理；第二板塊著重帶領學生學會用角的平分線性質定理及逆定理完成解題。

四、教學過程

（一）角的平分線1

片段一：

設置核心問題與問題鏈。（如表2所示）

表2

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教師：（利用多媒體課件展示核心問題）顧名思義，角的平分線除了能夠平分角之外還有其他的性質嗎？并展示如下例題。

例1：如圖1，OC是∠AOB的角平分線，在OC上任取一個與O不重合的點P，完成操作測量：取點P不同位置，過點P向OA、OB作垂線段，即PD⊥OA，PE⊥OB，其中點D、E為垂足，測量PD與PE的長，并完成表3的填寫。觀察表格測量結果，猜測PD與PE的關系，并完成證明。

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圖1? ? ? ? ? ? 圖2

表3

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在該活動中，學生利用尺子測量線段長度完成表格記錄，發現PD、PE之間存在相等關系，教師即可引導學生用數學語言總結并鼓勵學生上臺利用希沃白板畫圖（如圖2），在圖中標注出已知條件，并完成證明，如下所示。

生A：如圖2所示，∵OC是∠AOB的平分線

∴∠1=∠2

∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中

∠1=∠2∠PDO=∠PEOOP=OP

∴△PDO≌△PEO

∴PD=PE

教師：請問哪位同學可以分步驟闡述這位同學的證明步驟？

生B：第一步，OC是∠AOB的平分線是題干已知條件；第二步，∠1=∠2是根據角的平分線定義得出的；第三步，PD⊥OA，PE⊥OB是題干已知條件；第四步，∠PDO=∠PEO=90°是根據垂直的定義所知；第五步是根據AAS所得出的結論；最后則是根據小學所學的全等三角形對應邊相等所得出的結論。

（設計意圖：通過設置核心問題以及以核心問題為導向的問題鏈引導學生開展探究活動，幫助學生正確、深入地理解角平分線上的點到角兩邊距離相等，更進一步探究角的平分線性質定理。）

片段二：

完成角的平分線性質定理的教學后，教師可以教學目標為導向設置角的平分線性質定理逆定理的核心問題（如表4所示）。

表4

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以核心問題為導向，教師在課堂中提出問題，學生在學完角的平分線性質定理后能夠輕松預設出：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

在學生的回答下，教師繼續追問（如表5所示）：

表5

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在問題的引導下，教師邀請學生上臺回答：

生C：到一個角的兩邊距離相等的點需要在角的內部。

教師：包不包括頂點？

生C：包括！

教師：同學們能否大聲完整地敘述一次？

生（全）：在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

教師：那這個命題是真命題還是偽命題？

生（全）：真命題。

教師：這個逆命題確實是真命題，我們可將這個逆命題稱作角的平分線性質定理的逆定理。

（設計意圖：在該活動中，教師通過核心問題提出階梯性問題，類比線段的垂直平分線性質定理的逆定理引出角的平分線性質定理的逆定理，體現出數學思維的階梯性和遞進性。）

（二）角的平分線2

在第二板塊的教學中，核心問題如表6所示：

表6

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教師：（多媒體展示課件）請同學們思考例題。

例2：如圖3所示，已知AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點D、E，且BE與CD相交于點O，求證OB=OC。

在上述問題中，我并不急于讓學生直接完成求證，而是提出下述問題：

（1）AO平分∠BAC能夠得出怎樣的結論？

（2）結合所學的知識，證明兩條線段相等的方法有哪些？

（3）結合題干信息，你會選擇用怎樣的方法證明OB=OC？

在上述問題中，學生利用角平分線定理能夠對問題（1）做出回答，即∠BAO=∠CAO，OD=OE；對于問題（2），可結合以往有關三角形的學習，總結出等角對等邊、全等、等式性質等證明兩條線段相等的方法；而在問題（3）中，根據題干信息，學生能夠結合小學全等三角形的知識再結合角平分線性質定理完成證明。

（設計意圖：結合題干信息，在問題（1）中能夠利用垂直定理，直接利用垂直的意義得到角為90°的結論；在問題（2）中則能夠引導學生聯系新知和已知，建立數學知識網絡；在問題（3）中則培養學生利用知識網絡建構解題思路。）

（展示例題）

例3：如圖4所示，CD垂直平分線段AB，在CD上取點E，連接EA、EB，求證∠CAE=∠CBE。

在該例題中，我依舊沒有急于讓學生完成解題，而是提出核心問題及問題鏈（如表7所示）。

表7

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教師：有哪位同學能夠回答問題（1）？

生A：AD=BD，EA=EB，CA=CB。

教師：你根據什么得出的這個結論？

生A：根據角的平分線定理知道的。

教師：不錯！那么哪位同學能夠回答問題（2）呢？

生B：等角對等邊、全等、等式性質等可以證明兩角相等，在這道題中可以利用全等三角形證明兩個角相等。

教師：你能否用你的思路上臺完成問題（2）的解答？

生B：∵CD垂直平分線段AB

∴CA=CB，∠CAB=∠CBA，同理得：∠EAB=∠EBA

∴∠CAB-∠EAB=∠CBA-∠EBA

∴∠CAE=∠CBE

教師：有哪位同學能夠上臺說明這位同學的解題思路呢？

生C：第一步是題干的已知信息；第二步是根據角平分線定理所得；第三步、第四步可以根據等式性質得到。

教師：總結得很棒！這位同學解題思路非常清晰，那么如果我把題干信息簡單變化一下，你們還能夠完成解答嗎？（展示變式訓練）

例4：若將點E移動到CD延長線上，其他題干信息不變，∠CAE=∠CBE嗎？

在該問題的引導下，學生能夠利用垂直平分線定理結合等腰三角形性質證明角相等、線段相等的結論。

（設計意圖：在上述例題與變式訓練中，教師通過展示垂直平分線的作用引導學生自主探究和證明數學定理，同時通過類比兩邊相等的方法引導學生熟悉線段垂直平分線性質定理的基本圖形。）

五、教學反思

在此次教學實踐中，大部分學生均肯定了核心問題在課堂教學中的價值作用，并表示能夠促進對數學表象的理解，但是仍有以下需要改進的地方：第一，核心問題設置需要更加關注思維培養和創造生成；第二，情境導入和例題講解可強化核心問題的作用。從第一點而言，學生的學習水平存在差異性，表現在數學思維的異同、生成性問題提出等方面，所以在設計核心問題時需要仔細分析數學思維培養與創造性、生成性的具體表現，從學生的認知角度構思核心問題；從第二點而言，情境導入和例題講解是課堂教學的核心環節，核心問題的設計需要基于學生的最近發展區，同時結合學生的生活經驗達到以趣激學的目的。

（作者單位：山東省濰坊市青州市五里初級中學）

編輯：趙飛飛