利用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動教學設計

作者簡介：陳婧（1991—），女，漢族，江蘇鹽城人，本科，中小學二級，高中物理教師，研究方向：物理教學。

一、教學目標

1.掌握平拋運動的基本規(guī)律和解題思路，理解平拋運動的概念、特點及三種基本模型的解題思路。

2.讓學生自主總結(jié)平拋運動的相關知識，學會使用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動，理解斜面角度與運動軌跡的關系，提高學生自主歸納知識和總結(jié)梳理的意識，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和解決問題的能力，同時提升學生的數(shù)學應用能力。

3.通過小組合作探究，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度、團隊合作與創(chuàng)新的意識。

二、教學重點

理解平拋運動相關知識及解題思路；利用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動。

三、教學難點

將平拋運動的相關知識運用到三種模型中去解決相關問題。了解斜面傾角、初速度、拋出點高度等因素對平拋運動軌跡的影響。

四、教材分析

本節(jié)知識是高一物理必修二的內(nèi)容，為了提高學生分析問題、解決問題的能力，特意把平拋運動的相關知識和三種常用的模型放在一起進行講解，讓學生理解平拋運動的基本概念和規(guī)律。然后再逐個講解相關的知識點，讓學生對這部分知識先有整體上的認識，從而學會利用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動，包括三角函數(shù)、解析幾何等。

五、學情分析

高一年級的學生具有一定的理論推導能力，且之前已經(jīng)學習過直線運動，這節(jié)課的基本方法也就是化曲為直，對學生來說難度不大，通過以小組為合作單位，學生可以在互相幫助中完成學習目標。

六、教學過程

環(huán)節(jié)一：課堂導入（5分鐘）

師：同學們，我們之前學習了平拋運動的基本概念和規(guī)律，今天我們將學習如何利用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動。那么大家能否簡單描述一下平拋運動的特點呢？

生：平拋運動是指物體以一定的初速度沿水平方向拋出，在重力的作用下沿著曲線軌跡運動。其軌跡是一段拋物線，初速度越大，飛行距離越遠。

師：非常好，那么今天我們要學習如何利用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動。首先，我們來探討一下斜面上平拋運動的規(guī)律。

（設計意圖：溫故而知新。這一環(huán)節(jié)既是對之前所學知識的鞏固，又為新知識的學習做了一定的鋪墊，貼合學生的心理發(fā)展特點，有利于提高學生的上課效率，從而激發(fā)學生的物理學習熱情和探究欲望。）

環(huán)節(jié)二：新課講解（20分鐘）

師：對于斜面上的平拋運動，我們可以將其分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。要解決這類問題，我們需要使用一些數(shù)學技巧，如我們在初中時就學過的三角函數(shù)和解析幾何，大家還有印象嗎？

生（齊）：有。

師：首先，三角函數(shù)的應用：在處理斜面上的平拋運動時，我們需要使用角度和長度之間的關系。例如，我們知道角度的正切值等于位移與速度的比值。通過這個關系，我們可以找到物體的運動軌跡。其次，解析幾何的應用：解析幾何是一種用代數(shù)方法研究幾何問題的方法。在處理斜面上的平拋運動時，我們可以使用解析幾何的方法來描述物體的運動軌跡。例如，我們可以使用參數(shù)方程來表示物體的運動軌跡，其中參數(shù)可以是時間、速度等。

生：老師，我明白了，但是我還是不太清楚如何具體應用這些數(shù)學技巧來處理問題。

師：沒關系，接下來我們看一個具體的例子，通過解決實際問題來進一步理解如何使用數(shù)學技巧處理斜面上的平拋運動。

（設計意圖：這一環(huán)節(jié)通過引入數(shù)學技巧，有助于增加學生的思維深度，開發(fā)學生的智力，提高學生對基礎知識的掌握能力。）

環(huán)節(jié)三：探索規(guī)律（15分鐘）

師：（如圖1）假設有一個斜面，其傾斜角為θ，一個物體從該斜面的頂端以一定的初速度水平拋出。我們要找出物體的運動軌跡和落地點離斜面的距離，該怎么求？

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圖1

生：我們可以將這個問題分解為水平方向和豎直方向的兩個運動。在水平方向上，物體做勻速直線運動；在豎直方向上，物體做自由落體運動。

師：對于平拋運動，我們經(jīng)常會和斜面結(jié)合起來，求解此類問題的關鍵就是挖掘其中隱含的幾何關系，常見的模型有：順著斜面平拋和對著斜面平拋。大家都見過滑雪吧？滑雪時經(jīng)常是從一個山坡騰空而起最后落到斜面上，這樣的問題里，落地的時間、位移和速度該如何計算呢？

這個問題可以抽象來看，考慮有一個足夠長的斜面，傾斜角為θ，物體從斜面上某點以初速度v0平拋出去，最后落到斜面上，求物體在空中的時間t，位移s和落地速度v。這個和之前的垂直落到地面上不同，水平位移和豎直位移都是未知的，但是知道水平位移和豎直位移的關系，只要這個人或者物體可以落在斜面上，那么他們的位移方向就是相同的，也就是說位移偏轉(zhuǎn)角都等于底角θ，那么我們的方法就是分解位移，水平方向上的位移即x=v0 t，豎直方向的位移即y=1/2gt2，那么位移偏轉(zhuǎn)角的正切值tanθ=y/x，由此可得：t=2v0tanθ/g。（其中，g是重力加速度）也就是說，只要人或者物可以落在斜面上，那么時間t和小球平放的初速度v0是成正比的。除了這個位移方向相同，很顯然速度和水平方向的夾角也是相同的，因為速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，進而我們可以推出速度和斜面之間的夾角也是相同的，也就是說所有速度方向都平行。（如圖2所示）

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圖2

第二種是對著斜面平拋。最常考的一般是垂直打在斜面上，那么我們的方法就是分解它的速度：水平方向的vx=v0，豎直方向的vy=gt，tanθ=v0 /gt，由此可得：t=v0 /gtanθ。（其中，g是重力加速度）

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圖3

第三種是切入斜面。這個斜面的傾角就是速度偏角。水平方向的速度vx=v0，豎直方向的速度vy=gt，合速度v=■=vy /vx，由tanθ=vy/v0=gt/v0可得：t=v0tanθ/g。（其中，g是重力加速度）

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圖4

（設計意圖：通過畫圖，讓學生觀察，從而將之前學習過的相關數(shù)學解題方法和思路自然地引進來，幫助學生更好地得出斜面上平拋運動的規(guī)律，同時便于其輕松解決物理問題。）

環(huán)節(jié)四：鞏固提高

例1：［2018全國三卷，17，6分］在一斜面頂端，將甲、乙兩個小球分別以v和v/2的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上。甲球落至斜面時的速率是乙球落至斜面時速率的（? ）

A.2倍

B.4倍

C.6倍

D.8倍

師：誰來幫大家分析一下這道題的解題思路？

生：這個題的關鍵是已經(jīng)落在了斜面上，也就是說位移方向都是相同的，那它速度的偏轉(zhuǎn)角也是一樣的，我們就可以把速度分解為水平方向和豎直方向，那么乙的初速度是甲的一半，乙的合速度也應該是甲的一半，所以甲落到斜面上的速度是乙落到斜面時的2倍。因此，選擇A。

師：有沒有不同的意見？大家都聽懂了嗎？

生（齊）：聽懂了。

師：好，那么我們接著看第二題。

例2：（2016·沈陽一模）如圖5所示，斜面固定在水平面上，兩個小球分別從斜面底端O點正上方A、B兩點向右水平拋出，B為AO連線的中點，最后兩球都垂直落在斜面上，A、B兩球擊中斜面位置到O點的距離之比為（? ）

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圖5

A.■∶1 B.2∶1

C.4∶■ D.4∶1

師：這是一道平拋與斜面組合題，大家看完題后有什么好的思路請說一說。

生：我用的是幾何方法，利用速度、位移與x方向夾角的正切值成2∶1關系，得出相似三角形，最后得出B答案。

生：我借助三角函數(shù)和一次函數(shù)解出來也是2∶1。

師：看來大家都認真思考了，真不錯！這種好的學習狀態(tài)繼續(xù)保持！根據(jù)剛才的計算結(jié)果和數(shù)學模型，同學們已經(jīng)成功得出了斜面上平拋運動的規(guī)律以及解題方法。現(xiàn)在我們來總結(jié)一下本節(jié)課的內(nèi)容。

（設計意圖：通過歷年的典型試題引導學生積極思考、大膽探究，從而鍛煉學生的物理觀察能力、分析能力和歸納能力，進一步鞏固和加深學生對本節(jié)課知識的理解。）

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)及作業(yè)

課堂小結(jié)：本節(jié)課我們主要學習了利用數(shù)學中的三角函數(shù)以及圓的知識來解決斜面上的平拋運動，誰能給大家說說你有什么收獲？

生：對于斜面上的平拋運動這種問題，如果是垂直打到斜面上，我們一般可以通過分解速度、構建速度矢量三角形的方法來解決；如果是落回斜面上，就是先分解位移，然后構建位移矢量三角形。

生：若想求初速度或者高，可以先設置未知數(shù)，根據(jù)物體運動的特點，結(jié)合三角函數(shù)，分別在垂直和豎直方向、沿斜面方向列出表達式，從而建立三元一次方程組來使問題迎刃而解。

作業(yè)：請大家課后收集一些生活中有關平拋運動的例子，下節(jié)課在課堂上分享。

（設計意圖：幫助學生形成系統(tǒng)的物理知識體系，加深學生對斜面上平拋運動的理解，同時也能夠提高學生收集信息與整理歸納的能力，幫助學生養(yǎng)成勤于思考的好習慣。）

七、教學反思

首先在導入環(huán)節(jié)，我通過多媒體課件播放生活中常見的滑雪現(xiàn)象，從而讓學生認識到什么是平拋運動，在學習平拋運動的基本概念時，我通過展示實物和圖片使學生感知到生活處處有物理，進而也激發(fā)了學生的物理學習興趣。

其次，在學習斜面上平拋運動的規(guī)律時，我通過帶領大家觀察，讓他們思考、討論，從而進一步理解斜面平拋運動的規(guī)律。在總結(jié)斜面平拋運動規(guī)律和解題方法時，我通過具體的例題讓學生靈活運用所學，從而進一步提升他們的學習能力。

最后，在課堂鞏固和提高環(huán)節(jié)，學生親自動手觀察和分析，從而更好地鞏固本節(jié)課所學知識。同時通過小組合作提高學生的物理學習熱情以及團隊合作能力和探究能力，讓學生進一步體會到物理知識的魅力。在今后的物理教學中，我還需要進一步做好教學反思，認真鉆研新的教學方法，從而幫助學生更好地學習物理，激發(fā)他們的物理學習興趣。

（作者單位：江蘇省南京市雨花臺中學）

編輯：趙飛飛