高中數學“逆向教學”的實踐與應用

尹亞南

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》倡導教師在教學實踐中重視教、學、評的一致性。“逆向教學”模式在確定教學活動之前，率先實施教學評估，此種以終為始的教學理念更關注教學過程與教學評價的相關性，將該模式應用于數學教學中，有利于教師及時反饋學生的學習情況，從而促進數學課程教、學、評的一致。在高中數學教學中應用逆向教學模式，教師應重構教學體系，將“結果是什么、學生需要什么”作為教學起點，將“預期結果→評估證據→學習體驗”作為課程教學的流程，以學生為主體設置能夠促進學生學習的教學活動或任務，在提升學生主體地位的基礎上協調教、學、評三者之間的關系。

一、確定預期結果

（一）研讀課程標準

在高中數學教學中，“函數概念”被看作一個核心概念，課標要求學生在初中學習經驗的基礎上應用集合語言與對應關系去描述函數，了解函數的構成要求，應用函數概念去計算函數的定義域，從而構建完善的函數概念知識體系。

（二）梳理教學內容

在高一學段，函數概念教學內容起著承上啟下的作用，一方面連接了學生初中階段所接觸的函數概念知識，另一方面連接了學生學習過的集合知識，所以函數概念教學能夠幫助學生構建一個完整的知識結構，并為學生后續的冪函數、指數與對數函數以及三角函數的學習做好鋪墊。課程所涉及的重點知識為函數概念及其三要素，即定義域、值域以及對應法則。

（三）確定預期結果

雖然通過研讀課程標準、梳理教學內容兩個環節已經初步確定了預期的學習結果，但如何科學、準確地續寫出來，使教師明確學生學習所要達到的程度尤為重要，這也是逆向教學模式中確定預期學習結果最重要的一環。現階段國內教育領域在確定預期“教”與“學”結果的過程中主要以“行為目標”為主，其優點在于續寫的方式清晰，更具可操作性，適用于課時的實際應用。從學生學習的角度來看，“行為目標”涵蓋四個要素，分別為對象、行為、條件以及標準，通常將其簡稱為ABCD模式，在教學函數概念時，基于ABCD模式確定預期結果：

A——對象。課程教學的對象為學生，所以續寫預期學習結果的過程中應將學生的學習行為作為切入點，在函數概念中，經歷本節課程的學習，應培養學生的數學思維，幫助學生養成清晰、有條理地表述問題與解決問題的習慣，使學生的數學表達能力得到提升。B——行為。行為主要指學生完成學習任務后可以觀察和評測的行為表現，即對學生學習函數概念后可以做什么的具體描述。經歷本節課程的學習，學生能理解函數的定義，掌握函數的三要素，如定義域的求法、值域的求法等。C——條件。條件主要指說明上述行為在何種條件下產生。在本節課程中，學生通過回顧初中階段的函數概念能夠理解高中階段概述的定義，從變量觀轉向集合觀，學生通過生活化的問題理解函數概念中所存在的對應關系等。D——標準。標準主要指向對評定上述學習行為是否合格的標準進行規定。在本節課程中，學生能夠分清常量與變量；學生能夠正確地找出函數的定義域與值域；學生能夠規范化地應用函數表達式去解決實際問題等。

若想呈現一個科學的“預期結果”，教師應從課標、內容、續寫三個方面綜合考慮，如此才能高效地啟動函數概念的逆向教學。

二、設定評估證據

（一）成就水平劃分

1.記憶

指學生能夠從以往的記憶中提取知識。高一的學生在學習高中函數概念之前，在義務教育階段已經接觸了基于變量觀的函數概念，但學生利用這一函數概念并不能解決部分實際問題，所以產生了對函數概念進一步學習的欲望。在學習進階視角下“記憶”階層更側重學生學習經驗的總結與歸納，學生通過總結以往的學習經驗，并將其作為基礎開展高一函數概念的學習，實現新舊函數概念的有效銜接。

2.理解

指學生能夠了解和掌握某一數學知識的內涵、意義。高一學段的學生經歷函數概念的學習，對函數概念的理解需要從以往的變量觀過渡為集合觀，即從集合與對應關系的角度去理解函數概念、三要素以及函數符號所代表的數學意義。

3.應用

指在某一特定的問題情境中學生能夠應用數學程序去解決問題。在函數概念教學中，“應用”泛指學生能夠判斷對應關系是否為函數、同一函數，通過具體的計算求出函數的定義域、值域。

4.分析

指學生針對某一知識點所開展的具有辨析性的學習活動，在參與活動的過程中，學生通過辨析與思考能夠進一步了解某一知識的內涵。在函數概念教學中，“分析”泛指學生從運動與集合的角度去思考初、高中函數概念之間的聯系，通過概念對比實現邏輯思維能力的提升。

5.創造

指學生在現階段學習成就水平的基礎上完成以往無法完成的成就。在函數概念教學中，“創造”泛指學生在掌握函數概念后能夠獨立、正確地解決與函數概念相關的問題，并能夠從集合觀去思考與函數概念相關的問題。

（二）評估證據設定

將成就水平劃分作為基礎，以“本原→價值”的方式基于學習進階視角構建“函數概念”的評估證據框架：①記憶：回顧初中階段所學習的函數概念與相關知識→新舊函數概念的銜接，在學習過程中能夠分清楚常量與變量。②理解：基于集合觀理解函數概念的內涵→在特定的學習活動中找到變量間存在的關系。③應用：掌握“y=f（x），x∈A”中各字母所代表的數學意義，掌握定義域、值域、對應法則以及函數表達式的應用→在特定的問題情境中正確地找到函數的定義域和值域，并應用函數表達式規范地解決具體的問題。④分析：區分初、高中兩個學段的函數概念，構建完整的知識體系→通過新舊知識的銜接，基于集合觀分析特定問題情境中的函數關系。⑤創造：全面掌握函數概念→應用函數概念體系解決生活中或教材中除例題以外的，存在一定難度的實際問題。

三、規劃學習體驗

（一）記憶——問題引導知識回顧

首先，教師創設問題情境：“同學們回憶一下初中階段我們學習過的函數概念。”“初中階段，我們學習了哪些函數？”與學生共同回顧初中階段學習過的函數概念，此環節中教師結合學生回答的內容做適當的板書，以此幫助學生鞏固初中階段所學習的函數知識。其次，教師板書具體的問題鼓勵學生嘗試解決問題，板書①：“y=2，x∈R”，教師與學生交互：“同學們請看黑板，判斷板書內容是否是一個函數？”板書②：“y=x，y=■”，教師與學生交互：“你認為y=x與y=■所表達的是否為一個函數？”此環節中，教師通過設定問題情境使學生的意見產生分歧，借機評價學生是否能夠區分變量與常量，同時還能為學生新舊知識的有效銜接創設良好的契機。當學生發現已經無法應用初中所學知識解決問題、證明觀點時，對函數概念的認知將會得到潛移默化的轉變，而此種轉變能為后續教學環節中學生順利地接受集合觀的函數概念奠定良好的基礎。

（二）理解——聚焦實例引出概念

1.實例呈現

為使學生能夠體會到函數概念中所存在的對應關系，教師需要借助生活實例，用以承載函數概念。“已知一枚炮彈的射程高度為845 m，炮彈發射后經過26 s后落至地面并擊中目標。在這一實例中，地面的高度h隨著時間t的變化規律為130 t-5 t2，求t的變化范圍與h的變化范圍，是否可以應用集合的方式分別表示變量h與變量t？”并給予班級學生一定的思考時間，待學生能夠應用集合的方式表示兩個變量A=t|0≤t≤26、B=h|0≤h≤845后，教師提出“對于集合A中的任意一個時間t在集合B中是否有唯一的高度h與其對應？”的教學問題，學生現有的知識水平很難做出回答。所以此環節中，教師可以利用幾何畫板為學生呈現炮彈發射時間與發射高度之間對應關系的動態視頻，使學生能夠直觀地感知兩個變量之間的對應關系，從而達成滲透集合與對應的觀點，幫助學生轉化思維。

2.概念引出

在動態視頻演示后，教師引導學生思考、總結實例中存在的數學規律“兩個數集間存在一種對應關系”，并引出本節課程的核心概念——函數。結合實例，學生能夠理解“對于數集A的每一個t，按照某種對應關系f，在數集B中均有唯一確定的h與其對應，可以將其記作f：A→B”，但這一定義并非完整的函數概念，所以本環節中教師仍需引導學生“在生活實例之中的集合是否存在空集”，并將初始階段的t與h用x與y替代，從而通過師生交互引出完整的概述概念，使學生能夠感知函數概念的建立過程。

3.概念辨析

若想使學生全面理解函數概念，教師還需將函數概念的內容作為基礎從四個方面指導學生明確函數概念的內涵。其一，在函數概念中定義在集合上的一個函數f所表示的是變量y與x之間的對應關系，但在實例中這種對應關系不止一種；其二，對于函數概念中的y=f（x），f與x二者之間并非屬于乘積關系，所指為x對應的函數值。其三，對于函數概念中的f（x）屬于一個數學符號，指的是“y是x的函數”，對于一個數學符號，同樣可以應用h（x）、d（x）等表示函數，并非僅局限于f（x）。其四，函數的三要素涵蓋定義域、值域以及對應關系，如果能夠確定其中兩個要素，那么第三個要素也能確定。為使學生深層理解函數三要素，教師可以利用多媒體設備為學生呈現初中階段的三種函數圖象，分別為一次函數、二次函數以及反比例函數，如二次函數，基于高中函數三要素視角對其分析：對應關系應為“y=ax2+bx+c（a≠0）”；定義域為“R”；值域為“當a＞0y|y≥■，當a＜0y|y≤■”。

（三）應用——例題演練知識遷移

在學生理解函數概念之后，教師應及時開展例題演練，使學生能夠將函數概念內化到知識框架中，也可以優先選擇教材中的例題展開教學，或者借助網絡渠道中的優質課例甄選例題，并在學生解題的過程中了解學生對函數概念的掌握情況，考查學生是否能夠學以致用。例如，教師呈現“g（x）=■”，要求學生利用所學知識求出函數的定義域，呈現“f（x）=■”，要求學生求出函數f（x）值域等。

（四）分析——初高概念異同對比

在函數概念教學中，對初中、高中兩個學段函數概念異同的對比能夠再次強化學生的新舊知識銜接效果，幫助學生進一步從變量觀過渡到集合觀，從而使學生建立完整、清晰的函數概念框架。初高中函數概念相同之處主要在于對應關系滿足的條件相同，即唯一性和任意性，不同之處主要在于初中階段所針對的是變量與變量之間的依賴關系，而高中階段的函數概念是兩個非空集合的對應關系。

（五）創造——布置練習促進應用

根據評估證據，在函數概念教學的最后一個階段，教師應為學生布置與函數概念相關的、具有一定難度的練習題目，要求學生結合已有的學習經驗自主完成練習題目。一方面，教師可以將練習題目作為隨堂練習，利用課堂教學冗余時間結合學生的習題完成情況評價學生的知識應用能力、評價學生是否全面地掌握了函數概念。另一方面，教師可以將練習題目作為課后作業，通過批閱了解學生的函數概念知識掌握情況。

綜上所述，逆向教學模式的應用關鍵在于立足預期的學習結果設定評估證據，將評估證據作為基礎規劃學生的學習體驗，在評估證據設定階段本文引用了學習進階的一般模型，即“記憶→理解→應用→分析→創造”，在這一模型的指導下，所設定的評估證據、所規劃的學習體驗也將具備一定的進階屬性，能夠進一步提升函數概念課程“教”與“學”的實效。

（作者單位：江蘇省徐州市第一中學）

編輯：溫雪蓮