面向經管類外招生的線性代數課程教學改革探討

廖子菊

（暨南大學數學系 廣東 廣州 510632）

線性代數是經濟管理類各專業本科生的公共必修課程，通過本課程的學習，可有效培養學生的代數思維模式，并為其學習后續課程及進一步擴大知識面奠定必要的數學基礎[1-2]。暨南大學的“線性代數（經管類）”課程于本科階段第三學期面向全校經管類學生開設，每年約有1500名學生修讀，其中內招生和外招生約各占一半。這里內招生是指國內通過普通高考錄取進入暨南大學就讀的本科生，外招生則指華僑學校自主命題聯招的港、澳、臺和海外地區的學生[3]。我們對內、外招生采用相同的教學內容，采用相同的教學大綱，期末考試則分開出題，一般情況下外招生試卷的難度會降低一個等級。盡管如此，近些年的教學實踐情況顯示，外招生班級的期末成績呈現出方差較大、不合格率偏高等難以令人滿意的情況。

通過分析總結，我們認為原因是多方面的。從學生角度來說，外招生來自不同境外地區，他們的數學基礎參差不齊，方差很大，其中部分同學的學習基礎較為薄弱；此外也有一些學生對數學課程的重要性認識不足，產生蒙混過關的想法，不愿花力氣認真學習。從教師的角度來說，由于學生基礎、能力差異較大，在教學進度和教學內容上很難兼顧全部學生，容易使部分跟不上教學進度的學生對課程缺乏興趣或者產生畏難情緒。最后，從師生交流的角度，由于采用大課教學，每個班級人數在百人以上，加上教師授課班級通常不止一個，因此無法仔細了解學生的學習情況，課堂下交流也較少，很難形成良性互動。

基于以上問題，對線性代數課程進行面向外招生的教學改革，更新教學理念及改進教學方法，加強學生對基礎數學知識的理解，培養學生的創新和實踐能力，更好地達到教學目的，從而實現價值塑造、能力培養、知識傳授三位一體的育人目標，是非常有必要且急迫的。

1 教學改革探討

目前關于線性代數的課程教學改革國內已積累了很多優秀成果[4-6]，但這些成果是主要基于內招生展開的，這里我們主要面向外招生并基于課程的特點，從教學設計、教學方法和教學反饋與評價三個方面談我們的一些想法與實踐。

1.1 教學設計

經過多年的教學實踐，線性代數的內容體系及教材編寫都是按照行列式、矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征值、二次型、線性空間與線性變換的順序講授。這種組織方式完全符合學科邏輯體系，然而在教學中容易產生兩個問題。一是行列式的定義相對比較復雜，其計算量也較大，學生在高中階段沒有接觸過行列式的相關知識和應用，對行列式的概念感覺陌生和抽象，因此從行列式開始講，對基礎較差的學生而言不容易迅速進入課程的思維邏輯中；二是每個章節都有相對獨立的研究對象，課程各個模塊之間缺乏聯系紐帶，學生不容易理解各章節的內在邏輯，對課程的內容難有整體上的把握。實際上，我們知道，線性代數這門學科最初是從求解線性方程組發展而來的，因此，從線性方程組開始入手，一方面很容易將課程各模塊的知識點串聯起來，另一方面線性方程組與中學所學知識聯系密切，更便于學生理解。因此，我們對課程內容體系重新進行了組織，如圖1所示。由線性方程組的表示方法與Gauss-Jordan消元法，可以自然地引出矩陣及其初等行變換的概念；由線性方程組解的判別與解的表達式，可以引出行列式的定義及應用；由線性方程組解的表達以及無窮多解時解的結構，可以引出向量組及向量空間等相關知識。這樣，線性代數課程的內容就可由線性方程組求解的計算和理論進行融合，知識結構更加清晰，學生對課程整體內容也更加容易理解。至于其他內容，特征值與二次型問題可以視作矩陣內容的延伸及應用（相似及合同），線性空間與線性變換則為向量空間的進一步拓展。

圖1 線性代數課程知識體系

1.2 教學方法

線性代數課程的主要特點是概念及運算律多，因此對邏輯思維能力的要求較高。在教學過程中，我們發現學生容易對某些概念模糊不清，對相似知識點無法區別和聯系，無法做到舉一反三、融會貫通。通過在教學實踐中總結與分析這些問題，我們主要從以下幾個方面進行教學方法的改進：

首先要高度重視概念教學。線性代數的許多概念具有豐富的內涵與廣泛的外延，需要分成若干個層次進行講解，逐步提高和加深學生的認識。比如線性代數的核心概念“秩”，幾乎貫穿于整門課程的內容中。對于矩陣來說，它的秩即其行階梯形矩陣的非零行的行數；對于行列式而言，矩陣的秩可以由其最高階非零子式的階數來定義；對于向量組而言，它的秩即其極大線性無關組的向量個數。又如對于線性方程組而言，其解的判定需要依賴于其系數矩陣與增廣矩陣的秩；從線性空間與線性變換的角度，矩陣的秩實質上也是其組成向量所張成的線性空間的維度，而當將矩陣視作線性算子時，它的秩即為像空間的維度。因此，這類概念需要來回反復地給學生講解清楚，逐步加深學生對概念的理解。同時還要重視概念之間的邏輯關聯。例如n階矩陣可逆（非奇異）、矩陣的行列式不為零、矩陣的等價標準形為單位陣、矩陣的行（列）向量組線性無關、矩陣滿秩、矩陣相應的線性方程組有唯一解、矩陣的特征值全部非零、矩陣的行（列）向量構成n維向量空間的一組基這些相關的命題實際上都是等價的，要重視引導學生掌握這些等價性背后的邏輯關聯。

其次，化抽象為具體，善于運用簡單的例子闡述復雜的問題。在線性代數課程的講解中，應理論與實例相結合，抽象與具體相結合，以加強學生對知識點的接受和理解。例如在講解行列式的定義時，先介紹二階和三階行列式的對角線法則，從這些公式中總結出運算規律，然后推廣至n階行列式的一般定義，使學生經歷由具體到抽象的一個思維過程；在講解逆矩陣的計算公式時，先求得二階矩陣的逆矩陣的一般計算公式作為一個可以記住的特例，然后再進行高階矩陣逆的求解；在講解伴隨矩陣時，采用三階矩陣來驗證分析有關的性質，而不是用教材中的n階矩陣進行證明。再如，在講述相關定理時，既要給出必要的嚴謹證明，也要多使用通俗的語言去解釋該定理的含義。如在介紹向量組線性相關的判別定理時，可以用簡短的語言總結出規律，如“加長向量組不改變線性無關”“截短向量組不改變線性相關”等，便于學生記憶。舉例是教師在講授疑難知識點時應重點運用的教學方法。

再次，引導學生進行知識點的串聯和歸納。在線性代數課程的教學過程中，應適時引導學生的發散性思維，對知識點進行總結。例如線性方程組解的情況的判別，既可以用克萊姆法則來判別解的存在唯一性，也可以通過系數矩陣與增廣矩陣的秩來判別；行列式的求解有多種方法，包括定義、矩陣的初等變換、使用代數余子式按行（列）展開進行降階、利用歸納與遞推等方法；又如矩陣的等價（相抵）、相似、合同出現在課程的不同章節，它們既有區別又有聯系，同樣需要對其相關性質和判別方法等知識點進行總結歸納。只有通過對現有知識的思考、總結和再加工，學生才能真正地把課本上的知識變成自己的知識，進而學以致用。

最后，重視線性代數課程與經管類專業課程的聯系。在每個章節適當引入與線性代數知識相關的經濟及管理應用實例，可更好地引起學生對課程的重視，從而提升他們的學習興趣。如矩陣是經濟數據處理的一個常用工具，可用矩陣清晰地記錄貨物調運方案、企業各種產品各個季度的產值、每個產品消耗原材料的定額等經濟活動數據，便于后續的數據分析和處理；講解線性方程組的解法時，可以介紹列昂惕夫（Leontief）投入產出模型，該數學模型最終歸結到線性平衡方程組的求解；講解矩陣的相似對角化時，可以以動物種群增長模型為例引入等。通過這些應用實例的講解，將線性代數的計算方法與具體問題的數學模型進行結合，拓展了學生的知識面，使得課程的內容更加豐富。

1.3 教學反饋與評價

一門好的課程應當是使全部學生都能有所收獲，并盡可能滿足不同層次學生的求知欲。因此教師應在教學過程中及時跟蹤學生的學習情況和反饋，以便對教學過程進行動態調整。我們采取了如下一些手段。一是采用線上和線下混合的教學模式。通過創建課程群等方式，建立學生與教師溝通的渠道，鼓勵學生課后問問題，對學生提出的各種疑問耐心地解答。同時注意篩選網絡平臺的教學資源，挑選出與課程目標相契合的輔助教學內容，并在課程群中進行推送，供學有余力的同學學習；此外，可自行錄制疑難知識點的補充講解視頻，發送給學生進行預習或者自學，努力開拓第二學習課堂。二是加強作業和測試的反饋管理。在作業提交后，教師應總結學生在練習中出現的常見錯誤并進行重點講解；同時通過對學生作業完成度的檢查，了解班級學風，對學習態度不認真或者懈怠的現象進行及時的糾正，保證所有同學能跟隨課程進度及時消化課程內容。最后，在測試方面，可充分利用雨課堂等教學平臺，合理地在課堂教學中設置一些選擇題給學生用手機進行答題，既增強了師生之間的互動又能及時了解所有學生對知識點的掌握情況，以便實時地調整授課內容與節奏。在完成一個模塊的學習之后，應進行課堂測試，并作為平時成績重要的一部分計入最終的總評成績。

2 結語

本文針對經管類外招生跟內招生在知識基礎、教育背景等方面存在差異，數學抽象思維能力相對偏弱的問題，對經管類外招生線性代數課程的教學改革實踐進行了總結，從教學內容設計、教學方法和教學反饋與評價等方面進行了探討。從教學實踐結果來看，這些措施產生了良好的效果，學生的積極性得到了提高，期末成績整體上也有一定的提升。當然，線性代數的教學改革是一項系統工程，需要我們數學教育工作者不斷地研究、探討和改進，以幫助學生更加高效地領會大學數學的知識體系，進而提高其邏輯思維能力和運用數學知識的實踐能力。