淺談“高等數學”教學的實踐和體會

徐森榮

（江蘇大學 數學科學學院，江蘇 鎮江 212013）

“高等數學”是高校公共基礎課中最重要的課程之一，是包含理工科在內的大面積非數學專業新生的必修課程，也是學生深入學習專業化知識的基石。理工科專業的“高等數學”課程一般開設兩個學期，第一學期涉及函數、極限、導數、積分和無窮級數內容，第二學期所學內容以第一學期為基礎，進一步深入、拓展并且難度有所增加，具體包括空間解析幾何、多元微分、重積分、曲線和曲面積分和微分方程［1］。“高等數學”課程雖然課時上有兩個學期，但是課程內容多，概念抽象性強，加之課程安排緊湊，如何從中學的固定教室學習模式過渡到大學修習學分模式，快速適應大學“課程多、進度快”的學習環境，對學生來說至關重要。筆者結合“高等數學”課程教學實踐，談談自己的體會和建議。

一、“高等數學”課程特點

1.“高等數學”的難點內容在課程教學過程中出現得很早。“高等數學”始終以“極限”這一中心概念貫穿課程始終，并且，極限這一概念在課程教學之初就已出現，后續內容幾乎都離不開它。然而，根據實際教學反饋情況來看，短時間內學生要掌握極限這個概念并不容易。它有一套所謂的“ε語言”的定義描述，而且并不像中學時期學生碰到的數學概念那樣具體直觀。因此，很多學生并不理解為什么極限這個概念的定義會這么復雜，以及“ε語言”到底好在哪里［2］。從另一個角度來說，如果不理解和掌握極限的概念，而僅僅只是做到會背誦極限的相關性質，雖然對于相關極限的計算題可能沒有問題，但是對后續定積分、重積分和曲線曲面積分的學習會產生很大的阻礙。由此可見，極限概念是“高等數學”課程學生遇到的第一個“攔路虎”，能否順利跨過這個難關，對學生學習的積極性、自信心的培養和邏輯思維能力的鍛煉具有重大影響。

2.“高等數學”第一學期前半段課程和高中課程有部分重復，學生易有松懈思想。“高等數學”前兩章要學的是函數及導數，其中大部分內容學生高中階段已經碰到過，甚至很多學生都已學過洛必達法則。因此，有不少學生會產生學習懈怠情緒。殊不知這些內容是起著承前啟后的作用，必須加以重視，將這些內容看作中學數學到大學數學的平穩過渡，學習的過程中不能掉以輕心，要時刻預備著高等數學新內容的出現，并及時做出應對克服學習困難的實際努力。另一方面，學生在實際學習過程中經常會出現“張冠李戴”的現象。舉個例子，洛必達法則一般在“高等數學”第三章才出現，但每年總會有學生“偷偷”地用高中教過的洛必達法則結論求解第二章中的數列極限題目，這是明顯的“理不對題”［3］。即使學生高中學過相關概念，但是由于當時課程的限制，講解沒有嚴格化，如果學生不加以分析而直接套用相關性質，這反而會對學生“高等數學”課程成體系的學習產生一定的阻礙，不利于他們對于“高等數學”整套課程知識體系的理解和把握。

3.“高等數學”兩學期課程內容緊密相連，條理嚴密，自成體系，對學生的綜合掌握熟練程度要求較高。進入“高等數學”第二學期的學習之后，學生會明顯感覺到所學內容比第一學期難了很多。筆者認為有如下原因：一方面，客觀來說，第二學期的內容以第一學期為基礎，在知識內容上會更加抽象，計算將更加復雜，如果第一學期的內容沒有消化吸收就進入第二學期的學習，學生會產生看上去似曾相識，但是實際做題會“云里霧里”的感覺。另一方面，從主觀上來看，很多學生在學習第一學期的內容時，自己并沒有認真付出時間和努力，反而是借助中學所學相關的初等數學內容——“吃老本”，第一學期也能勉強及格，但是容易造成對于第二學期課程的“輕敵”現象，結果就是碰到第二學期更加困難的內容之后就感到無所適從，因為第二學期多元微積分學的知識，單憑學生中學時期所學的知識已無力解決，從而造成第二學期課程學習效率低下，課程成績不及格率相比第一學期有所上升。

二、根據“高等數學”特點采取的應對策略

1.針對“高等數學”課程第一章就出現的“極限”這一重要概念，作為教師，可以把這個概念之后的問題背景“拋給”學生，讓學生站在新概念產生前的歷史時刻，把自己當成“數學家”，思考極限如何定義的問題。這時需要教師多舉一些蘊含“極限”定義背景的例子，讓學生揣摩和鉆研。這部分可以作為預習材料提前發給學生，可以建立相應的網絡在線群組，或者下載安裝相關學習軟件，督促學生線上或在學習軟件中通過上傳作業圖片等形式反饋自己的預習情況，及時掌握學生的預習情況和存在的問題，再進一步在課堂上有針對性地點撥和講解。在這個過程中，允許學生提出不同觀點，鼓勵學生給出對于極限的定義，當遇到學生給出的錯誤定義時，教師要適當引導，給出反例，逐步將學生引到正確的定義過程中。通過這一過程，學生會切實地感受到，用于定義“極限”的“ε語言”是自然的、嚴謹的，從而體會到數學定義的準確、優雅和無懈可擊，進一步增強對“高等數學”課程的學習興趣。

2.由于高等數學第一學期內容與學生中學時期所學有所重復，為了防止學生產生懈怠情緒，教師可以設計相關題目讓學生解答，設計一些對于學生來說的易錯題、常錯題，故意給學生“挖坑”。另一方面，這些題中需要包含課程所要求掌握的重點、難點，要對學生的引導和課程內容的掌握起到積極的推動作用和實質幫助。如果學生沒有嚴格掌握高中所學相關知識的應用條件，僅僅記住了結論，憑“套公式”的方法，基本上會形成“一答就錯”的局面，這時再把他們從“坑”里帶出來，詳細講解他們是在哪一步犯了錯誤、本質原因是對哪個定理或者性質理解不夠透徹、對于結論的應用需要注意哪些條件等，這樣學生的接受度會高得多，接下來再進行有條理、有體系的高等數學教學，會得到良好的教學效果。

3.“高等數學”課程進入第二學期以后，就函數變量而言，學生會發現，內容從一元變量變為多元變量，并且第二學期課程內容很大程度上是第一學期的推廣，但是如果學生第一學期的基礎沒有打好，后面學起來就會更加吃力。針對這個問題，筆者認為可以從如下幾個方面著手：第一，要提高學生對于學習的關注度和警覺心。新生剛進入大學后，對于大學課程考試情況不了解，事實上，大學時期的掛科率遠高于中學時期，并且“高等數學”作為高校重要的必修基礎課，掛科率在高校所有課程中一直居高不下，這些情況雖然現實并顯得有些“殘忍”，但是需要盡早講給學生，以引起他們對“高等數學”學習的重視和警惕。第二，時刻提醒學生預習的重要性，將預習功課以量化分數形式納入成績考核，從評分機制上調動學生預習的積極性。如今“高等數學”課程課時少、內容多、進度快，預習的重要性更加凸顯，所以將預習納入成績考核很有必要，目的在于使學生在課前能對即將學習的知識和難點有一個整體的把握。與此同時，在學習新課程前，教師把課程中的重點和難點以及這些知識點在后續課程中發揮的作用在課前告知學生，讓學生知其為“重點”又知其所以為“重點”，這樣學生預習時的目的性就會更強，上課時的積極性也會更高。

三、“高等數學”教學實踐體會及建議

1.在思想上，轉變學生的固有觀念，督促學生盡早做好人生規劃，確立人生目標。在現實生活中，普遍存在“高中階段辛苦一點，考上大學就輕松了”的錯誤論調［4］，對學生造成了不小的消極影響，于是部分大學生對學習產生了懈怠情緒。事實上，大學階段的學習并不輕松，在大學的學習中要想取得好成績往往比高中更難，因為大學四年學生需要修滿140至200個學分、幾十門課程，求學任務艱巨。如果只是懷著“只要及格就能拿學分，達到畢業要求就行”的態度，那最后對知識只是一知半解，沒有真正學會和充分鍛煉自己的能力。興趣是學習動力，理想是指路明燈。因此，教師在新生開學之初就要強調大學學習的不容易，端正他們的學習態度，培養他們對學習的興趣，幫助他們做好生涯規劃，增強學習動力。

2.強調對學生自主學習能力的培養，幫助他們盡快適應大學學習，為大學求學生涯開好頭。學生從高中進入大學，求學環境已發生了重大變化。“高等教育學”課程中提到，大學教學方法最主要的特點是強調學生自學能力的培養［5］。“高等數學”課程內容多、課時少、進度快的特點充分體現了這一點。大學階段也是學生進入社會的過渡階段，培養學生的研究能力、實踐能力也是大學教學的主要任務。如果學生還寄希望于中學時期教師花很多課時重復講解和練習知識點的教學模式，在大學里是行不通的，這也與大學教學培養目標背道而馳。因此，在新生剛入學時教師就需要和學生強調這一點，積極鼓勵、指導和幫助他們，讓他們做好應對準備，從思想上轉變過來，再從行動上落實，培養自身學習的自覺性。

3.在學習新章節之前，提前引導學生思考新學內容和已學內容的聯系，是為了解決什么問題以及學習的重點和難點。比如在第二學期學習的《曲線曲面積分》章節是高等數學的一大難點。所以這一章節學習時要讓學生自主思考每一類積分要解決什么實際問題，并比較他們之間的區別和聯系。歸根結底，讓學生體會到它們都是積分，是為了解決不同類的實際問題而有所細分，而積分的定義本質就是極限。因此，只要牢牢抓住“極限”這一中心概念，理解、掌握和應用于導數和定積分，那么第二學期偏導數、重積分和曲線曲面積分等內容的學習正好是第一學期的深入和拓展。并且第二學期所學內容很多都來自生活和實際應用，只要第一學期基礎打好，第二學期的學習會變得活潑有趣，學生在學習掌握之后往往也會富有成就感。

4.利用信息化技術手段、講數學歷史故事等方法，增加課堂趣味性。“高等數學”課程比較抽象，推理嚴密，特別是課堂教學中后段學生往往會產生一定的疲勞，注意力容易變得不集中。針對這個問題，教師可以借助于Maple、Matlab、幾何畫板等數學軟件，動態展示所學知識的數學變化過程，讓學生更加直觀地感受到所學知識點的具體含義，發揮學生的主體性和參與性。另外，可以在知識講解中引入相關數學家的故事，例如講解數學中最美妙的公式之一——歐拉公式時，可以講歐拉雙目失明后并沒有放棄數學，反而更加努力，最后達到心算比筆算更快的程度，讓人由衷敬佩。還有青年數學家伽羅瓦，雖然只活了21歲，但是創造了現代群論，成為世界上最偉大的數學家之一。所以，人生成就不唯年齡，由此激勵學生奮發有為，立足當下，不以自己年輕為由而為人生發展設限，學好本領，為未來人生打下堅實的基礎。

5.課后做好總結評價和精準化輔導。教師把課程內容講解完后，留2～3分鐘做課堂總結，加深學生對知識的印象和理解，課后及時總結鞏固的學習方法，在心理學上被證明極為有效。另外，一定量的習題訓練也是必不可少的。教師在布置習題時應該既考慮覆蓋全部知識點，也需要定好合適的題量，以保證學習效果。特別值得注意的是，在批改講解完題目后，需要關心學習效果不理想的學生，可以利用課間休息或者課后時間，再針對性地幫他們復習和掌握，這個方法需要付出的時間不用太多，由于題目已經做過，只要稍加點撥即可，在實際教學中可以收到良好的學習效果。

結語

筆者根據自己的教學體會，針對“高等數學”課程的特點，對該課程提出了教學應對策略。對于學生，一方面需要從思想上改變其固有觀點，使其深刻認識到大學學習和高中學習的不同之處，樹立個人目標，培養其自主學習和研究能力；另一方面，鼓勵學生從行動上進行落實，繼續發揮中學時期刻苦努力學習的精神，認真做好預習和復習工作，達到足夠的習題訓練量，以“高等數學”學習為例，磨煉勤奮、踏實、持之以恒的求學品質，為大學后續課程打好基礎。對于教師，要心系學生，愛護學生，盡己所能關心照顧到每一名學生的學習情況，充分利用課間、課后時間，給予學生提醒、鼓勵和輔導答疑。引入相關評分機制，將信息技術融入課堂，調動學生參與課程學習的積極性，同時做好課后教學效果的反饋和總結。綜合課程、教師和學生三方面，可以讓學生盡快適應大學的學習模式，領略到“高等數學”課程中美不勝收的數學景色，也將為學生深入學習專業知識提供不可或缺的現代數學方法，助力學生在更廣闊的知識天地自在翱翔！