微分及其運(yùn)算翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

鄧明香，馮永平

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州廣東 510006)

微積分課程是高等數(shù)學(xué)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，不少同學(xué)學(xué)習(xí)感到比較困難。微分是一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的一個(gè)主要內(nèi)容，微分是在解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐中不斷抽象出來(lái)的，在計(jì)算函數(shù)的近似值、函數(shù)的局部線性近似化方面有重要的應(yīng)用。微分討論的是在因變量有增量時(shí)一元函數(shù)增量的刻畫(huà)問(wèn)題，要精確計(jì)算函數(shù)的增量確有難度，能否簡(jiǎn)單、定量描述增量中起主要作用的那一部分量在解決實(shí)際問(wèn)題中有重要的應(yīng)用價(jià)值。微分的思想方法對(duì)理工、經(jīng)管類(lèi)各專(zhuān)業(yè)學(xué)生后續(xù)課程學(xué)習(xí)有引導(dǎo)作用。

“翻轉(zhuǎn)課堂”是近幾年來(lái)較流行的一種教學(xué)模式，該模式改變了傳統(tǒng)教師主導(dǎo)的教學(xué)方式，變“填鴨式”教育為學(xué)生為主的自主學(xué)習(xí)模式，可極大提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。如何設(shè)計(jì)該課堂的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，讓學(xué)生成為課堂的主持人，相關(guān)的文獻(xiàn)已進(jìn)行了初步探討。[1]以“矩陣的初等變換”為例，對(duì)翻轉(zhuǎn)教學(xué)模式在大學(xué)課程中的應(yīng)用進(jìn)行初步探討；[2]根據(jù)工科院校數(shù)學(xué)分析課程特點(diǎn)，嘗試進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，有效解決了數(shù)學(xué)分析課程抽象、理論性強(qiáng)帶來(lái)的困難，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；[3]探討了翻轉(zhuǎn)課堂視角下的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使大學(xué)數(shù)學(xué)成為學(xué)生樂(lè)于思考、不斷探索的課程呢?[4]以曲率的概念為例，探索基于APOS理論的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)新模式，依據(jù)APOS理論，通過(guò)活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象、圖式等階段的逐層構(gòu)建，使學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的完整認(rèn)知，并通過(guò)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式改革，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性；[5]在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的基礎(chǔ)上，分析實(shí)際教學(xué)中存在的問(wèn)題并給出大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例，為進(jìn)一步探討實(shí)施教學(xué)新模式提供幫助，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，并提高學(xué)生的應(yīng)用和動(dòng)手能力；[6]總結(jié)近年來(lái)翻轉(zhuǎn)課堂模式在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其取得的成效。

雖然，翻轉(zhuǎn)課堂模式在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但是，仍有部分教師受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響并不注重翻轉(zhuǎn)課堂的應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率不高。結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)際，本文主要從學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法、教學(xué)設(shè)計(jì)等方面探討微分教學(xué)中如何提高學(xué)生的課堂參與度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，做好課堂的主人，以達(dá)到教書(shū)育人的目標(biāo)。

課程概述

課程 名稱(chēng)：《高等數(shù)學(xué)Ⅲ》

課程 性質(zhì)：專(zhuān)業(yè)必修課、新授課

總學(xué)時(shí)數(shù)：72學(xué)時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：微分及其運(yùn)算（1學(xué)時(shí)）

選自章節(jié)：第3章 導(dǎo)數(shù)與微分/ 第4節(jié) 微分及其運(yùn)算

教材信息：林偉初，郭安學(xué)，高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類(lèi)上冊(cè)、第1版)，北京大學(xué)出版社，2018.07

授課對(duì)象

地理科學(xué)201、202、203班，共109人

課程素材準(zhǔn)備

（1）整理了微分相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與方法；

（2）整理了微分的數(shù)學(xué)發(fā)展史。

學(xué)生課前準(zhǔn)備

(1) 復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算與幾何意義；

(2) 查找“周三徑一”的史料、查找“以直代曲”的實(shí)例，諸如廣東科學(xué)中心外表面、FAST天眼望遠(yuǎn)鏡表面設(shè)計(jì)等；

(3) 深刻理解物理學(xué)中的各類(lèi)“質(zhì)點(diǎn)”；

(4) 學(xué)習(xí)微分的基本內(nèi)容與PPT課件；

(5)討論以下問(wèn)題的計(jì)算；i) 在x=0附近y=sinx曲線與哪條直線最接近？ ii)的近似值？

(6) 根據(jù)學(xué)生學(xué)號(hào)順序，將全班同學(xué)分為四組。每一組同學(xué)集中坐在一起，以便討論問(wèn)題。

教學(xué)內(nèi)容 微分是一元函數(shù)積分學(xué)的一個(gè)主要內(nèi)容，微分本質(zhì)上是函數(shù)一階線性近似，內(nèi)容具有高階抽象性，微分在各種知識(shí)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣闊學(xué)情分析1.學(xué)生已有的知識(shí)與能力（1）已掌握導(dǎo)數(shù)定義、性質(zhì)、計(jì)算等內(nèi)容（2）掌握了連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.學(xué)生可能存在的問(wèn)題及困難學(xué)生對(duì)函數(shù)增量的精確表述具有一定挑戰(zhàn)度1.知識(shí)與能力目標(biāo)（1）理解微分的概念（2）掌握微分的計(jì)算、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、微分的應(yīng)用等問(wèn)題2.過(guò)程與方法目標(biāo)（1）通過(guò)類(lèi)比連續(xù)與可導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生回顧“導(dǎo)數(shù)”公式及連續(xù)在研究函數(shù)性質(zhì)中起到的引領(lǐng)作用，為整節(jié)課架設(shè)一個(gè)基本思維框架（2）縱向類(lèi)比導(dǎo)數(shù)與微分，從定義、計(jì)算、應(yīng)用等方面加深微分與導(dǎo)數(shù)的比較認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)目標(biāo)（3）借助熟悉的“連續(xù)”局部近似出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生處理學(xué)會(huì)“線性近似”“以直代曲”“特殊到一般”的處理問(wèn)題方法，實(shí)現(xiàn)能力目標(biāo)的培養(yǎng)3.情感與價(jià)值觀目標(biāo)（1）引例直觀體會(huì)“以直代曲”的近似數(shù)學(xué)思想（2）再次認(rèn)識(shí)“常數(shù)-線性”不同近似，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、形式美（3）從對(duì)FAST天眼、科學(xué)中心等重點(diǎn)題材建筑中包含的數(shù)學(xué)思想介紹培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣教學(xué)重點(diǎn) 微分的線性近似與應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)方法與策略本節(jié)理論課在教學(xué)設(shè)計(jì)中采取如下教學(xué)方法與策略1.講授式：講授基本概念，在對(duì)微分概念講授中，注重引導(dǎo)學(xué)生微分的本質(zhì)2.討論式：為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 ，課程采用分組討論模式，所有同學(xué)參與問(wèn)題的解決，學(xué)生感知問(wèn)題“具體”“有趣”，有成就感，主動(dòng)參與課堂教學(xué)3.現(xiàn)實(shí)題材通俗化：通過(guò)將FAST天眼、科學(xué)中心表面的線性化、某些函數(shù)值的計(jì)算，學(xué)生對(duì)多種近似有直觀感悟，進(jìn)而對(duì)微分公式的應(yīng)用形成一個(gè)完整的認(rèn)知過(guò)程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的效果4.思維導(dǎo)圖式：課程課時(shí)多，容量大，利用思維導(dǎo)圖形式對(duì)小知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行小結(jié)，有利于學(xué)生把握每節(jié)課的脈絡(luò)，感受蘊(yùn)含的思想方法，為課后復(fù)習(xí)提供指引本課程以“全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)”為指導(dǎo)思想，用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念”統(tǒng)領(lǐng)課程教學(xué)，力求在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生具備“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的最終能力目標(biāo)教學(xué)結(jié)合生活現(xiàn)實(shí)，將驅(qū)動(dòng)教學(xué)目標(biāo)的數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題通過(guò)情境展現(xiàn)探究，把現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部；通過(guò)邏輯推理得到研究對(duì)象的性質(zhì)；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)描述復(fù)雜現(xiàn)實(shí)世界，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程“科研化”，在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，掌握認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題方法和步驟，讓學(xué)生通過(guò)“觀察、思考、討論”等獨(dú)立探究，形成相應(yīng)的概念，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的原理。引導(dǎo)學(xué)生完成“1.做什么？2.為什么做？3.怎么做？”三個(gè)基本問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用的融會(huì)貫通教 學(xué) 過(guò) 程教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖教學(xué)思想1.引例1：周三徑一（若圓的半徑增加0.1米，周長(zhǎng)大約增減多少？面積大約增加多少）一、概念引入及問(wèn)題分析（5分鐘）2.引例2：在x=0附近y=sinx曲線與哪條直線最接近？比較總結(jié)兩個(gè)引例思想方法、過(guò)程與結(jié)構(gòu)式提煉共性形成共性。1.回答問(wèn)題（第一組同學(xué)： 有關(guān)周三徑一的歷史）注：約2000年前，中國(guó)的古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的說(shuō)法，圓的周長(zhǎng)是它直徑的3倍。約1500年前，中國(guó)有一位偉大的數(shù)學(xué)家、天文家祖沖之，他計(jì)算出圓周率應(yīng)在3.1415326和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人。這項(xiàng)偉大成就比國(guó)外數(shù)學(xué)家得出這樣精確數(shù)值的時(shí)間，至少要早1000年2.思考新問(wèn)題（有些疑慮）3.參與互動(dòng)，積極總結(jié)（引例2讓第二組同學(xué)參與討論并進(jìn)行實(shí)時(shí)分享補(bǔ)充）1.情境—問(wèn)題教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生思考兩個(gè)問(wèn)題，逐層推進(jìn)，逐步深入，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到近似計(jì)算的思想2.實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生自行探索，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的愉悅感3. 回答問(wèn)題：學(xué)生切身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用二、講授及探討定理（15分鐘）1. 微分概念的介紹（PPT課件）2. 強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵表述（函數(shù)在局部有定義、函數(shù)增量的一種刻畫(huà)）3.由一點(diǎn)處微分推廣到區(qū)域內(nèi)的微分，說(shuō)明微分是函數(shù)的主要分析性質(zhì)描述4. 介紹可微、連續(xù)、可導(dǎo)的關(guān)系1.定理講授時(shí)主要以聆聽(tīng)為主2.講解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系，學(xué)生制作三者概念關(guān)系圖并進(jìn)行總結(jié)，再進(jìn)行對(duì)照加深理解。（找第三組同學(xué)展示他們所做的關(guān)系圖，及時(shí)進(jìn)行修正補(bǔ)充）強(qiáng)調(diào)這是重點(diǎn)1.從多個(gè)方面進(jìn)行深入探討，加深對(duì)概念的理解2. 增量近似、函數(shù)逼近的數(shù)學(xué)思想

1.例 1. 求函數(shù)計(jì)算 3 y=x當(dāng) 3 y=x由1改1. 例1講解中仔細(xì)聽(tīng)講解過(guò)程。聽(tīng)完解題過(guò)程后分組討論增量與微分的關(guān)系。（第四組同學(xué)討論，然后找代表說(shuō)明兩者之間的關(guān)系）2. 例2的講解重點(diǎn)說(shuō)明微分的計(jì)算，并間接說(shuō)明微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。提出問(wèn)題： 一般函數(shù)的微分如何計(jì)算？提示：1）定義； 2) 先計(jì)算導(dǎo)數(shù)，再計(jì)算微分（第一組同學(xué)討論然后找代表說(shuō)明計(jì)算方法）3. 通過(guò)幾何意義表述，學(xué)生討論實(shí)際中“以直代曲”的典型例子，如FAST天眼望遠(yuǎn)鏡與足球的剖面圖1，圖2三、概念、性質(zhì)的應(yīng)用（20分鐘）變到1.01的微分(板書(shū)講解，分組討論)注：重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)微分與增量的不同.2.講解微分計(jì)算的基本法則.（PPT逐條公式講解，與導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則做對(duì)比、分類(lèi)討論）3.例2. 求函數(shù) 3 y=x的微分(板書(shū)講解、提問(wèn)討論)4.講解微分的幾何意義（PPT講述，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“以直代曲”的思想，局部用線性函數(shù)代替一般函數(shù)的思想）（PPT講解，討論分享）5.例3. 計(jì)算images/BZ_92_1081_640_1368_920.pngimages/BZ_92_1462_683_1856_914.png圖1 足球的剖面圖 圖2 FAST天眼望遠(yuǎn)鏡417的近似值（先講解，再分組討論）（全體同學(xué)討論導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，找出它們的異同點(diǎn)，第二組同學(xué)歸納總結(jié)； 讓第三組的同學(xué)討論預(yù)留的問(wèn)題“在x=0附近y=sinx曲線與哪條直線最接近？”補(bǔ)充修正）4.計(jì)算1.板書(shū)講解：鞏固定義，強(qiáng)調(diào)計(jì)算注意點(diǎn)，重點(diǎn)講解增量與微分的不同注：應(yīng)對(duì)學(xué)生的討論及時(shí)總結(jié)、糾正2. 幾何意義的介紹，學(xué)生理解以直代曲的思想，通過(guò)直觀的圖形，加深近似數(shù)學(xué)思想在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用3. 幾何意義介紹后，學(xué)生分清微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，它們間有區(qū)別、有聯(lián)系，提示從定義、計(jì)算、幾何意義、應(yīng)用等方面比較導(dǎo)數(shù)與微分的異同點(diǎn)4.通過(guò)417的近似值時(shí)，找第四組同學(xué)回答問(wèn)題，如何近似計(jì)算提示：近似度要求低時(shí)局部用常數(shù)2代替（以常量代替變量的思想）；近似度要求高時(shí)局部用線性近似（微分的思想）417的近似值時(shí)學(xué)生討論與回答，更深刻理解微分是一種局部近似的思想，是用局部的簡(jiǎn)單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)的思想四、思想方法與知識(shí)總結(jié)（3分鐘）1）以直代曲、線性近似的思想2）導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別與聯(lián)系（從定義、性質(zhì)、計(jì)算、幾何意義、應(yīng)用幾方面比較）五、課后作業(yè)布置及預(yù)習(xí)（2分鐘）作業(yè)：課后習(xí)題1；3(2)(4)(5)；4(2)小組任務(wù)：思維導(dǎo)圖制作（提示：知識(shí)結(jié)構(gòu)、與導(dǎo)數(shù)類(lèi)比、思想方法等）1.在教學(xué)理念方面：課程以學(xué)生為中心，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情境，讓學(xué)生在課堂上充當(dāng)主角，教師轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。課堂多次進(jìn)行分組討論、提問(wèn)、組內(nèi)討論分享，極大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣2.在知識(shí)目標(biāo)方面:做到教學(xué)思路清晰、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。通過(guò)熟知的廣東科學(xué)中心（可觀察的身邊實(shí)例）、FAST天眼望遠(yuǎn)鏡（國(guó)家科技攻關(guān)工程）讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用3.由于班級(jí)人數(shù)較多，分了四組后每組20多人， 大部分同學(xué)無(wú)法分享自己的感受，建議對(duì)于人數(shù)超過(guò)100人的班級(jí)分組教學(xué)時(shí)注意做好詳細(xì)規(guī)劃，設(shè)計(jì)相應(yīng)的提問(wèn)、分組等環(huán)節(jié)課程資源1.參考資料菲赫金哥爾茨，微積分學(xué)教程，人民教育出版社，2006.01 2.課程團(tuán)隊(duì)與教學(xué)資源（1）2019年5月成立了“大學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)團(tuán)隊(duì)（2）2010年至今的課程教學(xué)大綱、年度教學(xué)進(jìn)度表、試題庫(kù)教學(xué)評(píng)價(jià)與反思

隨著課堂改革的不斷深入，教師要對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂的設(shè)計(jì)與實(shí)施進(jìn)行深入研究，以便找到更適合時(shí)代特征、新一代青年人認(rèn)知需求以及目前教學(xué)現(xiàn)狀的教學(xué)策略。通過(guò)生活中實(shí)際例子切入研究主題，循序漸進(jìn)地講解微分的概念、微分蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與科學(xué)方法。通過(guò)生活中的例子與當(dāng)前的FAST“天眼”計(jì)劃，學(xué)生更深刻理解“微分”中“以直代曲”、局部近似的科學(xué)方法用途。