基于問題情境創設培養小學生的準變量思維

高健 賴志輝 曾九龍

作者簡介：高健（1999—），貴州師范大學碩士研究生，主要從事中小學數學教育研究工作。

[摘? 要] 準變量思維作為溝通學生算術思維向代數思維過渡的紐帶，對學生代數知識的學習起著至關重要的作用。將準變量思維科學合理地滲透到數學問題情境教學中，有利于培養學生的代數意識和數學素養，促進學生代數思維的形成與發展。

[關鍵詞] 準變量思維;問題情境教學;代數意識

一、引言

21世紀初，貴州師范大學呂傳漢教授和汪秉彝教授通過實證研究，提出“數學情境與提出問題”的教學模式，旨在培養學生的創新意識和實踐能力，引起了數學教育領域巨大的反響，至今仍被中小學數學課堂教學廣泛使用[1]。20世紀70年代末，教育部針對小學數學教學的特點，在其頒布的教學大綱中首次提出“適當增加代數、幾何的部分內容”，并對代數教學提出了新的要求。隨著學生數學認知結構的建立和形成，特別是在代數知識學習領域，學生從小學到初中乃至高中，其數學思維會在潛移默化中從小學階段的算術思維向中學階段的代數思維進行轉變。但這種轉變不是一蹴而就的，是從“低級”向“高級”逐步演變，不是絕對的“線性關系”，其間需要準變量思維進行聯結，這也使得準變量思維越來越被當今的數學教育研究者和廣大數學教師所重視。如何在問題情境創設中科學合理地滲透準變量思維，既是當今數學教育研究的一個熱點，又是筆者長期以來持續關注和不斷反思的一個問題。將準變量思維融入數學問題情境教學中，不僅有利于教師教學過程的創新，還有利于提升學生的數學思維水平，促使學生真正發現數學學習的意義和價值，進一步體會和感悟數學的數字美和符號美。

二、關于準變量思維

加拿大學者路易斯·拉弗德對代數及其小學生代數思維的發展進行了長期的深入研究，通過理論分析和實證研究，發現思維是一個“物質—想象”的動態系統，對于思維的研究應作為一個整體來進行[2]。學者徐文彬教授認為“準變量思維”的核心在于小學數學教師教算術時要間接性地向學生傳授代數思維，指出準變量思維是關于“變化的數”的關系性思維[3]。學者毛新薇強調準變量思維是算術思維的“最近發展區”，算術思維作為一種程序性的“數”的運算思維，在小學階段更為突出;代數思維作為一種關系性的“式”的運算思維，在初中階段更為側重[4]。從算術演變為代數，對學生而言，不僅是對數學科學認識上的一次轉變，還是自身數學知識體系構建的一次重要飛躍。處于算術思維和代數思維之間的準變量思維，既是學生理解數學關系的一種新工具，又是學生數學思維認知的一種新習慣。

比如92-7+7=92，這個等式中所蘊含的代數關系與結構為m-n+n=m;如果把92和7當作單純的兩個數量進行先相減再求和得出一個值，那么這種思維就是程序性的算術思維;若是透過92、7兩個數字的表面觀察等式的內在結構，發現所隱含的代數關系，那么這種思維就是準變量思維。因此，在數學課堂教學中，教師應當有意識、有觀念、有操作地發展學生的準變量思維，借助問題情境滲透準變量思維：如圖1所示，一方面使學生感受數學與生活的密切聯系、積累數學活動經驗;另一方面轉變學生思考問題的方式，順利向代數思維進行過渡。

三、準變量思維在問題情境中的創設

1. 融合生活情境，滲透準變量思維

袁智強博士說：“與數學相比，數學教育是一門非常年輕的學科。”[5]數學具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，對于小學階段的學生而言，其思維正處于由具體形象思維到抽象邏輯思維過渡的階段，需要以大量的感性經驗做支撐。因此，在數學教學中，準變量思維的滲透應當注重聯系學生的日常生活實際和個人成長經驗，讓學生的思維經歷“數學化”的過程，引導學生從自己的生活經驗出發，將數學知識的學習和日常生活經歷有機結合，從而使感性經驗上升為理性認識。

在小學多位數與多位數的減法運算中，如果教師只是單純地出示這樣一個計算“343-99”，基于學生以前的學習經驗，大部分學生會想到用豎式計算得到答案，但這只是算術中程序性思維的重復展現。若是合理地進行問題情境創設，將準變量思維有機融合到數學問題情境中，不僅有利于學生深刻體會現實生活中的數學，而且便于培養學生的準變量思維。比如，在真實的數學課堂教學中教師可以這樣進行設計：

（1）創設數學問題情境：小強作為班級的勞動委員，利用剩余的班費343元為班級購買了新的勞動工具，花費了99元，還剩下多少班費？

（2）組織學生進行探討。

（3）請小組代表分享討論的結果。預設有兩種結果：第一種，學生列出等式后通過豎式進行計算;第二種，學生列出等式“343-99”進行變形計算，得到“343-99=343-100+1=243+1=244”，以此組織學生討論為什么要這樣變形？重點討論為什么“加1”？

（4）采取簡便方法計算：676-197，578-499。

（5）進行簡便計算規律的總結。

在真實的數學教學中，可能部分教師會認為一個多位數與多位數的減法計算，只要學生會用豎式計算得出正確結果就可以，設置問題情境進行互相探討、總結規律未免有些小題大做。其實不然，如果只是單一地給出算式讓學生計算得出結果，那么學生的學習僅止步于“為計算而計算”的層面，教師向學生滲透準變量思維就難上加難了。創設問題情境，讓學生參與情境之中獲得身臨其境的感覺，更容易使學生獲得實際經驗和感悟數學的現實價值。上述情境學生體驗之后，會深刻體會到：假如自己去商場買勞動工具花費99元，付給售貨員100元，售貨員找回自己1元。有了這種體會之后，學生就更容易理解“加1”的緣由，教師便可順水推舟地向學生強調簡便算法的原理，最終得出簡便算法的規律：一個多位數減去略小于整百、整千乃至整萬的數，可以先減去整百、整千乃至整萬，再加上多減的數就是最終的結果。可見，在培養學生準變量思維的教學中教師科學合理地創設問題情境，既可以促進學生數學思維的發展，又可以更新學生的認知結構和數學理解。

2. 引入故事情境，豐富準變量思維

數學教學中教師以故事引入教學主題和知識內容，不但可以幫助學生快速進入知識學習的氛圍中，而且可以使學生認識到數學應用的廣泛性和存在的普遍性。在故事情境中培養學生的準變量思維，既有利于引發學生的猜想和推理能力，又有利于提高課堂的趣味性，激發學生的學習興趣。特別是對于小學階段的學生，其認知結構和數學思維正處于萌芽期，教師在課堂教學中適當地引入故事案例，既符合小學生的心理發展規律，又有利于學生的認知建構和能力發展。比如，在教學多個有限項求和計算時，教師可以德國數學家“高斯”的故事進行情境引入。

（1）創設故事情境：被稱為“數學王子”的高斯，小時候和班里其他同學一樣調皮，他的數學老師為了讓班里同學安靜下來，于是就在黑板上列出一道很長的算式1+2+3+4+…+100，并讓他們在一個小時內算出答案，這該如何計算呢？

（2）組織學生進行同桌討論：2+4+6+8+…+100;（10+11+12+13+…+50）-（5+6+7+8+…+45）。

（3）學生討論后請同學代表發言。假設有兩種情況：第一種，學生在草稿紙上逐項進行計算求出結果;第二種，學生討論出簡便算法，通過前后對稱項相加的方式計算，即用“高斯算法”求出結果。教師要抓住機會組織學生探究此種計算方法，重點討論為什么要將前后對稱項兩兩結合？

（4）采取簡便算法計算。

（5）進行簡便計算規律的總結。

以“高斯算式”的故事引入，以歷史故事情境為切入點，在觀察、猜想、探究、歸納、計算求解等過程中向學生滲透準變量思維。高斯計算等式的故事在數學教育界廣為流傳且具有典型意義，教師將其合理融合在小學高年級算法教學中，對學生從算術思維向代數思維轉變具有積極意義。

基于上述問題情境，首先，學生身處此算法具體情境當中，大部分同學可能會出現一時難以解決、思維混亂、難以下筆的情況。經過一番觀察之后，有的學生會逐項一步步進行計算;有的學生通過觀察探究之后，發現這一等式中的每一對前后對稱項之和都相等，只需要用“對數×每一對兩個數之和”即可求出結果;其次，教師因勢利導，和學生一起討論比較這兩種計算方法，既要使學生理解高斯算法的內涵和原理，又要使學生深刻感知此算法的簡便性和可操作性，便于學生日后進行應用和拓展;最后，教師與學生一起總結算法規律，促進學生對該算法的理解和掌握，在算法學習中潛移默化地滲透準變量思維。

3. 嵌入虛擬情境，培養準變量思維

數學教學中虛擬情境的創設是學生掌握知識和發展能力的重要載體，這種情境具有一定的抽象性和非具體性，學生在這種情境中通過觀察、猜測、歸納、驗證與證明等操作活動，將新舊知識進行有機整合，進而形成有意義的學習[6]。教師在虛擬情境中向學生滲透準變量思維，不僅有利于培養學生的動手操作能力，而且有助于提高學生的問題探究能力，使學生在情境中提升思維水平、在探究中領悟數學思想。比如：

（1）創設虛擬情境：一個人在一片平整的土地上種蔬菜，需要將土地區域進行劃分，他發現在同一個平面上，1條直線可以將該平面分成2個區域，2條互不平行的直線相交可以將平面分為4個區域，那么3條互不平行的直線可以分出多少個區域？4條？5條？20條？n條呢？（不用寫出具體表達式，用y1，y2，y3，…，yn表示即可）

（2）直觀感知：分別畫出前幾項直線條數得出區域數值，此時學生仍處于程序性的算術思維，如1條直線得到2個區域，2條直線得到4個區域，3條直線得到7個區域，4條直線得到11個區域，如圖2所示。

（3）滲透關系思維：通過畫圖以直觀的方式引導學生列出等式，比如：y1=2，y2=4，y3=7，y4=11，y5=16等。

（4）強化準變量思維：組織學生觀察圖形，可以發現：每增加1條互不平行的直線，則新增直線與原有直線的交點個數為原有直線的個數，新增區域為總直線的個數;為此，可以得到從第二個圖形開始，每個圖形中互不平行的直線劃分的區域為“前一個圖形的區域數+該圖形的直線個數”，進而啟發學生寫出準變量表達式：y1=2，y2=y1+2，y3=y2+3，y4=y3+4，y5=y4+5;進而得到20條互不平行的直線相交時，劃分的區域數可以表示為y20=y19+20;n條直線時，區域數可以表示為yn=yn-1+n（n為非零自然數）。

上述題目通過創設虛擬情境，引導學生探索直線與直線、直線與平面區域之間的特點和關系，發現直線個數與相鄰項數之間的內在聯系，在規律探究中引入符號語言、滲透準變量思想。當然，上述所舉問題，有些學生會陷入無止境的畫圖泥潭中，在一條直線的基礎上，逐次增加直線、數交點、數區域個數，但隨著線條數目的增加，不僅導致學生操作難度越來越大，而且容易使學生陷入狹窄的思維泥潭，喪失數學探究的興趣。因此，基于數學虛擬情境進行準變量思維滲透時，教師應該注意兩個方面：第一，數學知識彼此之間是有聯系的，進行準變量思維滲透時，題目篩選和探究問題并不僅局限于算術領域，特別是幾何題目中的規律探索問題，也是滲透學生準變量思維的一個有效選擇;第二，準變量表達式的呈現以及準變量思維的滲透，大多數學生會借助歸納的推理方法，因此教師在進行思維培養時應當注重引導學生觀察和發現，在發現中尋找數學的趣味性和科學性，在探究中領悟從“特殊到一般”的數學歸納思想，進而提高學生的數學學力和轉變學生的數學思維。

四、準變量表達式在問題情境中創設的意義

1. 加強認知建構，提升數學思維

準變量表達式作為準變量思維的一種表現形式，成為學生從算術思維向代數思維過渡的有效載體。在“問題情境教學模式”火熱興起的教育改革時代，教師將準變量思維科學合理地滲透到問題情境教學中，一方面有助于學生數學思維能力的有效增強，另一方面對學生代數思維水平的形成與發展具有積極的建構意義。特別是小學階段的學生由于自身發展能力的局限性和所學知識的特殊性，更傾向于算術思維進行數學問題的解決。進入中學階段之后，數學知識的高度抽象性和邏輯性需要學生具備“代數的眼光”重新認識數學，這就導致很多學生在短時間內難以適應中學數學知識的學習，成為掣肘學生數學興趣培養和數學能力發展的瓶頸。因此，準變量思維作為學生代數思維形成的中介，在問題情境教學中進行科學合理的滲透是必要的。

2. 簡化探究操作，促進問題解決

數學學科的學習并不單是知識的學習，更重要的是學生在學習過程中獲得的學習經驗、生活技能、思維品質以及人生哲理。準變量思維作為學生思維能力形成和發展的重要階段，既是學生能力提升的關鍵一步，又在教師課堂教學過程中起著重要的支撐作用。特別是在問題情境教學環節，學生融入數學情境之后，隨著對情境的深入理解和對問題的進一步感知，僅停留在算術思維水平上難以對問題解決進行全方位多角度的認識和處理。比如，用“火柴棒逐個擺正方形”問題，要求正方形從左到右依次進行排列，如圖3所示。

1個正方形需要4根火柴棒，2個正方形需要7根火柴棒，3個正方形需要10根，4個正方形需要13根，那么10個正方形需要多少根？30個正方形呢？基于此類情境問題，如果學生僅停留在算術思維層面，那么大部分學生的操作方法就是“拼一拼、數一數”，從第1個正方形依次數數，直到第10個正方形乃至第30個正方形，這種操作方法雖然也能得到最終答案，但是過于煩瑣復雜;如果在此問題中教師適當進行引導，向學生滲透準變量思維，以準變量表達式（即yn=3n+1，n為非零自然數）為切入點啟發學生進行求解，將“10、30”分別代入準變量表達式中，則更加簡捷易操作。可見，在問題情境教學中，適當引入準變量表達式、向學生滲透準變量思維既有利于增強學生解決問題的能力，又便于教師快速傳授數學知識。

3. 彌合認知偏差，提高教學水平

問題情境教學模式作為增強學生數學思維能力和培養學生數學核心素養的有效方式，已廣泛應用于中小學的課堂教學中。而數學教師的教學認知偏差，會導致數學問題情境創設中“重‘虛擬情境而輕‘真實情境、重‘橫向數學化而輕‘縱向數學化、重學生‘自主探究而輕教師‘啟發引導”的現象層出不窮[7]。如果在問題情境中適當向學生滲透準變量思維，在問題解決中科學引入準變量表達式，那么對學生的認知能力和思維發展具有積極的建構意義。準變量表達式以其符號化、簡潔性、易操作性存在于學生的“最近發展區”，正是準變量表達式的簡潔性和獨特性，使得教師在“問題情境教學與學生思維融合中”必須平衡情境的真實性與虛擬性、數學化的橫向性與縱向性、教師的啟發引導性和學生的自主探究性。因此，將準變量思維滲透到問題情境教學中，既有助于強化學生的數學思維認知，又有利于彌合教師教學的認知偏差。

總之，準變量思維在問題情境教學中的滲透對學生的數學發展具有積極的啟蒙作用，教師應在問題情境教學中適當引入準變量表達式，積極捕捉適合學生思維發展的感性材料，在情境中隱含準變量思維、在問題中呈現準變量表達式、在探究中引入代數的關系與結構，為學生從算術思維向代數思維的順利過渡和有效發展保駕護航。

參考文獻：

[1] 呂傳漢，汪秉彝. 論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習[J]. 數學教育學報，2001（04）：9-14.

[2] 張丹. 如何理解和發展代數思維——讀《早期代數思維的認識論、符號學及發展問題》有感（上）[J]. 小學教學（數學版），2012（11）：5-7.

[3] 徐文彬. 如何在算術教學中也教授代數思維[J]. 江蘇教育，2013（33）：16-17.

[4] 毛新薇. 準變量思維：賦予學生代數思維生長的力量[J]. 江蘇教育，2014（05）：40-41.

[5] 鮑建生，徐斌艷. 數學教育研究導引（二）[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[6] 張嵐. 數學問題情境的三種類型[C].新世界中國教育發展論壇：第二卷，2007.

[7] 夏小剛，張晶. 從問題情境創設看數學教學的認知偏差[J]. 湖北教育（教育教學），2022（02）：31-33.