讓數學建模思想落地生根

作者簡介：陶天銘（1989—），本科學歷，中小學二級教師，從事小學數學教育教學工作。

[摘? 要] 在新課標小學數學核心素養中，建模思想占據著一個重要位置，它能有效提升學生的創新能力和應用能力，對發展學生的數學思維能力具有重要意義。研究者以“植樹問題”一課為例，采取有效的教學方法，讓學生經歷一個從現實情境到建立模型、應用模型的過程，從而撬動數學思維，積累數學經驗，感悟模型本質。

[關鍵詞] 核心素養;建模思想;數學經驗;本質

模型思想作為一種重要的數學思想，在幫助學生理解實際生活與數學的聯系，激發學生的學習興趣以及提升學生的數學思維能力等方面具有舉足輕重的作用。小學階段是學生數學思維和能力形成的關鍵階段，教師重視數學建模的教學會對學生今后的發展將產生深遠影響。因此，對學生進行數學建模意識的培養勢在必行。筆者正是基于這一立場，以“植樹問題”一課為例，對在小學數學教學中進行數學建模教學進行探究。

一、利用生活情境，引申數學問題

通俗地講，數學模型其實是運用數學的語言來講述現實生活問題的一種數學工具，數學建模就是用數學來講述生活問題的過程。因此，從生活中發現和剝離數學問題是數學建模的第一步。也就是說，教師應當將現實生活中與數學息息相關的案例引入課堂教學中，描述數學問題產生的背景，讓學生在有趣、新奇的生活情境中激發學習熱情，從而有效激發自身的生活經驗。這樣一來，學生能容易地挖掘出其中隱含的數學問題，最終成功地將生活問題轉化為數學問題。

比如，在探討“植樹問題”的初始階段，教師可以創設如下生活案例：

第一步，教師讓學生說出生活中常見的樹木種植區域。通過回憶日常生活，學生指出公園、馬路以及住宅空地等常見的樹木種植區域。此時，教師繼續引導：“樹木的種植會不會按照一定的規律？”有的學生指出，公園、住宅等區域的樹木一般分布較為雜亂，看不出明顯的規律;有的學生說，馬路邊的樹木分布較為整齊，樹與樹之間的距離相差不大。（此時，教師已成功地調動了學生的課堂熱情）

第二步，在此基礎上教師拋出生活情境問題：某施工隊要在城市的馬路邊種上一定數量的樹木，已知該段路的長度為500米，樹與樹之間的間隔相同，均為5米。此時，施工隊擬訂了三種施工方案：第一種方案為道路兩頭都種上樹木;第二種方案為在道路的某一頭設置垃圾桶，另一頭種上樹木;第三種方案為在道路兩頭各設置1個垃圾桶。那么，這三種方案分別需要多少棵樹木？此時，學生紛紛犯了難，認為題目中的數字偏大，較多的方案選擇讓學生的思維陷入混亂。這時，教師指出：“大家不妨先將數字改小一點，然后通過畫圖的方式，思考能不能用數學方法解決問題。”此時，有個學生大膽地將“500米”改成了“20厘米”，將“5米”改成了“5厘米”，然后在紙上畫出一條長為20厘米的線段，以此來替代實際道路。在思考第一種方案時，該學生在線段的兩頭各自畫出樹木，然后以“5厘米”為間距依次畫出3棵樹木，最后得出要種植5棵樹木的結論。

有了該生的示范，其他學生的思維被打開了，紛紛對其余兩種方案做出假設和探究。在探究結束后，學生驚喜地發現，該生活問題其實就是數學問題，用數學語言可以描述為：在一根長為500米的線段上畫出若干個點，已知點與點之間的間隔都是5米。其中，有三種畫點方式，一種是線段的兩頭都畫上點;另一種是只在線段的某一頭畫上點;最后一種是線段兩頭都不畫上點，最終求在這三種方式下各自的畫點數。

二、鼓勵自主探究，構建數學模型

構建數學模型是進行數學建模的重要環節。在小學階段，數學模型主要是指用字母、數字以及各種數學運算符號反應特定問題或特定的事物的數學關系，由此建立起來的代數式和關系式[1]。數學模型的有效建立往往依托于學生對于問題本質的理解程度，自主探究與合作交流是幫助學生更好地把握住問題核心的關鍵。同時，數學學習理應是一個主動的、有趣的以及富含生命力的過程。因此，教師應當積極地鼓勵學生進行自主探究，在反復的嘗試和驗證中構建出一個通俗易懂的數學模型。

比如，在完成了上一環節的教學后，教師可以創設以下教學片段：

第一步，教師讓學生在不改變點與點之間距離的前提下，通過改變線段的長度，來探究三種方式下各自的點數。在實際教學中，有的學生將線段延伸至30厘米，然后通過畫圖的方式依次得到在三種方案下所需的點的數量分別為7個、6個以及5個;還有的學生將線段延長至50厘米，按照同樣的方式依次得到點的數量為11個、10個以及9個;隨著線段長度的不斷增加，學生逐漸體會到畫圖法的局限性。

第二步，教師引導學生進行合作交流來發現其中蘊含的規律。在不斷地交流與溝通中，有細心的學生發現：不管線段的長度如何變換，“某一端不畫點”方案下的所需點數與間隔距離以及線段長度之間存在著不變的數量關系，即線段長度÷間隔距離=點數。根據除法的意義，線段長度與間隔距離之間的商應為段數，所以段數與點數相等。為了驗證這一規律，教師可以讓學生利用畫圖的方式進行驗證。在驗證環節，學生先畫1條有一定長度的線段，然后根據間隔距離依次添上點;同時，時刻關注段數的變化情況。隨著點數的不斷增加，學生驚喜地發現，段數與點數一直處于相等的狀態。學生認為，在“某一端不畫點”的方案下，“點”恰恰承擔了分段的作用，即每增加一個點，就會多分出一個小段，因此點數與段數相等。此時，教師可以引入“間隔數”這一數學名詞，以此來替代“段數”。由此，針對“某一端不畫點”的方案，學生得出結論：通過利用除法運算，求出線段的長度與間隔距離之間的商，即間隔數，間隔數就是相對應的點數。在成功解決這一方案后，學生可以在此基礎上探討其余兩種方案的答案。

通過細致的觀察與研究，學生得出，在“兩端均畫點”的方案中，首先可以在已知線段的一頭畫上一個點，然后在通過不斷添點的方式，最終得到的點數永遠要比間隔數多一個;在“兩端都不畫點”的方案中，其實只需要在“某一端不畫點”的方案的基礎上扣除一個點，因此最后的點數永遠要比間隔數少一個。

最后一個環節，教師進一步提煉學生的結論：在“某一端不畫點”的方案下，點數=間隔數;在“兩端均畫點”的方案下，點數=間隔數+1;在“兩端都不畫點”的方案下，點數=間隔數-1。由此，該方法是解決植樹問題的通用方法。

三、進行科學練習，應用數學模型

合理應用數學模型是數學建模過程中一項必不可少的環節。在該環節中，學生不僅能進一步地熟悉數學模型，還能體會到數學模型的實際用處，從而有效增強學習信心。因此，教師應給予學生大量科學訓練的機會，讓學生利用數學模型來解決各種數學問題;同時，教師也可以對數學問題進行一定程度的變化，以此來培養學生的思維力和創造力，讓學生發現新問題，解決新問題，從而深化應用數學模型，最終提升數學能力和數學素養。

比如，在上一個教學環節中，學生已成功地探究出“植樹問題”模型。這時教師可以讓學生利用該數學模型解決初始問題。通過利用數學模型，學生快速得出：在道路兩頭都種樹的情況下，樹木的棵數=道路長度÷間隔距離+1，即樹木的棵數=500÷5+1=101（棵）;在其余兩種情況下，樹木的棵數分別為100和99。此時學生已經熟練掌握了該題型的解法，在此基礎上，教師要幫助學生走出“種樹”題型的限制，提出疑問：“該數學模型只能用于種樹問題嗎？該數學模型還可以用于哪些生活場景中？”

經過思考，有的學生說，排桌子、排凳子以及排隊等，都與植樹問題類似;有的學生說，在做核酸檢測時，志愿者會在地上按照一定的間隔標準進行畫線，這種場景也和植樹問題類似。通過集思廣益，學生總結出了多種多樣與“植樹”模型相關的數學問題。這樣一來，教師即可出示更多相關題型，讓學生在反復訓練中進一步體會和領悟數學模型。當然，小學數學學習的目標不能只滿足于讓學生機械式地利用數學模型來解決數學問題，更多地要培養學生的思維能力，讓學生能夠靈活運用數學模型。因此，教師需要改變出題方式，比如出示以下習題：已知有一個邊長為60米的正方形池塘，李大伯要在該池塘邊上每隔5米種1棵樹，4個角上各種1棵，那么50棵樹苗夠嗎？拿到題目后，學生首先想到了用“植樹”模型來解決，但“4個角”以及“正方形”成了解決該問題的難點。此時，教師可以進行一定程度的引導：“正方形是由什么組成的？”有個學生答道：“4條長度相同的線段。”這時，學生恍然大悟，認為可以對正方形進行拆解，然后逐段分析。在講述環節，有的學生指出：“在原始題目中，池塘的4個角都種上了樹苗，但在實際解題中，其實可以先將題目改成4個角均不種樹苗，然后便可把正方形看成4根長度相同的線段，最后轉化為‘兩頭不畫點模型。”

根據這個思路，學生列出式子：60÷5-1=11（棵），11×4=44（棵），44+4=48（棵）。當然，還有的學生成功地運用“兩頭均畫點”和“某一頭畫點”模型解決了該問題。

四、助力拓展延伸，豐富數學模型

構建及應用數學模型并不是小學數學建模學習的終點，恰恰相反，學生可能只是窺探到冰山一角。在前幾個階段的學習中，學生已經能較為系統地抽象出數學模型，并且獲得了一定的解決“植樹”問題的經驗。筆者通過觀察發現，學生僅僅找到了形如“棵數=間隔數+1”的簡單規律，無法運用這個規律求出路線的長度。究其原因是學生的認知起點與認知結構存在差異，即缺少逆向思維。因此，教師需要將這一數學模型進行拓展延伸，擴充學生的學習容量，助力學生收獲更多的學習體驗[2]。

比如，教師可以出示下列拓展延伸題：已知在一段路的兩頭及中間種植了50棵樹，并且樹與樹之間的距離為3米，求這段路的長度。不同于之前的“求樹木棵數”題型，這種新穎的問題內容讓學生無從下手。這時，教師可以稍加引導：“已知長方形的長和寬，可以求什么？已知長方形的周長和長，又可以求出什么？”學生答道：“可以求出長方形的周長和寬。”此時，教師讓學生用這種思路去探究這個問題。有的學生說道：“在知道路長和間隔數后，可以求出樹的棵數;那么在知道樹的棵數和間隔數后，就有可能求出路長。”沿著這個思路，學生積極主動地在紙上比畫著路長的求解方法。通過畫圖，有的學生發現，路長其實就是間隔數與間隔距離的積，間隔距離是明確的，所以要求間隔數。關于“間隔數”的求法，教師可以讓學生重新審視之前的數學模型，通過觀察，在“兩頭均種樹”的方案中，間隔數只比樹木的棵數少1。因此，在知道“樹木棵數”的前提下，就可以求出間隔數，最終關于“路長”的問題也會迎刃而解。

回到原題中，則可以列式：50-1=49（棵），49×3=147（米）。有了這道題的正確示范，學生便能快速掌握其余兩種情形下的路線長度的求解方法。當然，關于該數學模型的拓展延伸并不局限于上述方式，教師也可以對其他的已知量進行改動。比如，在已知樹木的棵數與路長的前提下求解間隔距離，最終目的一定是讓學生吃透數學模型。通過案例發現，在拓展延伸的學習過程中，教師引導學生積極聯系舊知，經過聯想和探究，挖掘出數學模型更多的可能性。

總之，數學建模具有重要意義。學生只有經歷了一個完整的數學建模過程，才能解決較難的數學問題，深化數學理解，從而提升數學思維能力和數學學習能力。教師要不斷精進自身的理論知識和實踐能力，確保成為學生求學路上的守護者。

參考文獻：

[1] 劉志彪. 探尋小學數學建模的有效路徑[J]. 小學教學研究，2021（20）：49-50.

[2] 葉雪君. “建模思想”在小學數學教學中的應用[J]. 基礎教育研究，2021（04）：53-54，57.