大學數學學習之認知錯誤分析
——以工科線性代數教學為例

單妍炎

（內蒙古工業大學 理學院 數學系，呼和浩特 010051）

線性代數是以向量空間、線性方程組為主要研究對象，以矩陣、行列式為重要基礎工具，處理對象間線性關系的學科。作為一種解題工具，這種基本的數學理論在許多課程上被普遍應用。尤其對于主修工程、數學、統計、土木建筑和其他自然科學的學習者而言，它更是必備的知識。作為大學數學重要的基礎課程，線性代數建立在向量空間理論基礎上，以線性變換為其核心運作機制，是大學數學抽象性、形式化與實用性的典范。然而，正是這門繼高等數學之后的后續課程，對不少同學而言，并不是點燃了其對大學數學的學習興趣，而是由于接觸此課程后對后續課程的學習產生了困擾。事實上，在線性代數教學現場，缺乏“人、地、時、事、物”的傳統教學，局限與障礙日益凸現。1990 年1 月線性代數課程研究小組（Linear Algebra Curriculum Study Group），在美國國家科學基金（NSF）的支持下成立，旨在持續激發研究者與實踐者對本科生線性代數課程的興趣，并提高其教學質量[1]。同時，部分研究者從認知診斷分析入手，通過知識結構圖分析找出學習者的核心概念，旨在能更正確地描述學習者的實際能力，為教師補救教學及教學研究提供了科學的研究起點[2-3]。

一 研究目的

單一的認知診斷工具，滿足不了完整刻畫學習者學習狀況的需求。為了能有效地了解學習者的迷思概念和知識盲點，提升國內線性代數的教與學，本研究在專家對錯誤類型鑒定的基礎上，輔助以線性代數學習情感量表，搭配訪談資料，通過多元度量與聚類分析的整合模式，對學生進行適當的分群。除了有效分群以外，本研究對不同學生的知識結構圖進行了比較，并準確把握個體與各群之間的關系。此施測結果，可以為教師補救教學及線性代數的教與學提供科學依據。研究方法整合了多向度量尺、聚類分析和試題反應理論觀點，以結構化的圖像和學習情感分類來全面地展現每一集群中學習者的內在知識結構。

二 文獻探討

學習者在學習過程中注意力不集中或者記憶不牢固，會對知識產生誤解（mistakes）或混淆。而認知過程中的錯誤（errors），卻揭示了學習者相關知識的不足，是由于對基本事實、概念和技能掌握不夠造成的[4]。進一步地，在新創設的學習情境中，它與想象力和創造力緊密相連，因此，在很大程度上影響甚至決定著學習者能否做到不同領域知識間的相互連結。數學教學過程中，不可避免地學習者會出現這樣或是那樣的認知錯誤。教育研究者和實踐者不能一味地害怕或回避學生錯誤的出現，而應該營造學生能夠呈現自身認知錯誤的合適的情境和場域，然后從方法論上對其進行補救和糾正。

（一）數學學習過程中的錯誤研究

數學教育中學生出現的錯誤，并不是情境的偶然，也不是單純地由于學生的不確定和粗心而出現的結果。它產生于數學結構本身，或者是數學課堂上前期教學的產物。通常情況下，如果教師不從教學法上對其進行干預，這些學生的認知錯誤能持續數年。簡單地說，錯誤分析從兩方面獲得了人們的重視。一方面在于，它能診斷學習困難，更多地了解學生的能力，提高學習成績，從而改進教學；另一方面，它是數學教學過程研究的重要起點，是一種相當有前景的教育研究策略[5-6]。

通常情況下，在教學實踐和數學課堂分析中，研究者把數學上的錯誤（mathematical errors）和教學法上的錯誤（didactic errors）區分開來。數學上的錯誤是指學習者在某個特定的時刻把不正確的數學陳述認為是正確的，或是從數學的立場為不正確的陳述維護其合理性。教學法上的錯誤意味著一種情境，在這種情境中，教師的行為與教學法、方法論和常規準則相背離。在情境為基礎的數學任務中，這兩種錯誤的類型有時顯得更為突出[7]。無論是理解任務本身、把任務轉換成數學問題，還是操作數學程序、解碼并解釋研究結論在現實情境中的意義，都更加需要跨領域知識間的連結。連結是一種極其重要的能力，在數學課堂實踐中，教師只關注發展學生概念的內部連結是不夠的，更要注重應用的、延拓的外部連結。與連結有關的兩個指標性文件，分別是1989 年NCTM（National Council of Teachers of Mathematics，美國數學教師學會）[8]提出的課程標準和荷蘭的RME（Realistic Mathematics Education，真實數學教育）[9]。

（二）知識結構的心理計量

傳統紙筆測驗的分數，不能完整說明學習者的真實能力或學習情形，擁有相同分數的不同學習者，其知識結構圖可能是不同的。從實證研究文獻可知，徑路搜尋、多向度量尺和聚類分析是知識結構圖心理測量常用到的方法[10]。這三種方法各有功用和自身獨到的價值，而不同方法的聯合使用則相輔相成，對知識結構的探究有重大的助益[11]。多向度量尺從整體觀點，敘述語意概念距離的空間性，在較低維的歐氏空間把客體的相似程度用圖形表達出來，從而揭示客體之間的真實結構關系。集群分析方法，根據語意概念之間的距離遠近，能化繁為簡做一個適當的組別歸類，并給予每個組別一個適合的命名。整合多向度量尺和聚類分析方法，可以互補訊息的不足，適合于對編制的試題進行內容效度分析。根據多向度量尺所分析的結果，可以得到適當的維度來解釋這些概念。每個維度可加以命名，而這些坐標表示各個概念在各個維度上的位置，也可據此判斷在該維度上的重要性。但是，多向度量尺不能把概念做適當的分類，所以我們可根據多向度量尺分析所獲得的各概念坐標資料，來進行聚類分析，將概念加以群組化。根據分析所得的集群的特性，必要時可將集群予以命名。就聚類分析而言，一般以群平均法及Ward 法較為精準，經常被一般研究者使用。在認知結構的大量分析文獻里，諸多研究是采用階層集群分析方法，因為其結果可以看出概念群組之層級性。在SPSS 提供的常用距離模型中，多維尺度分析還有一些其他的缺點：一方面，它們受各指標的量綱影響;另一方面，它們沒有考慮指標之間的相關性。因此，在進行多維尺度分析時，要盡量解決和避開這些缺點，特別是指標之間的相關性問題。

三 研究方法

本研究的具體工作是從理論和實踐兩個方面，進行線性代數學習認知的診斷與研究。研究學校位于中國西部漢族和蒙族的聚集地，是一所以培養理工科背景學生為主要任務的綜合類高校。在考查學生對線性代數主要內容掌握程度的初探性研究基礎上，透過405 位非數學類專業大二上學期學生參與封閉結構試題的有效作答，進行多元度量與聚類分析，并輔助于線性代數學習情感量表的口頭和文本資料，來探討學習者線性代數學習能力的分類。這些學生在施測過程中均為有效樣本，他們在校內均系統完整地學習過線性代數課程，就其所就讀的科系類別而言，可區分為土木工程、能源動力、環境科學、工業工程、測量控制和企業管理六大類別。

本研究的測量工具共分為兩部分，第一部分為數學概念題，用于分析不同專業背景的學習者對線性代數這門學科的實際掌握能力。以常用統計套裝SAS 和SPSS作為主要的軟體分析工具，經過信度考驗，15 個獨立題項的Cronbach's Alpha 值達.85。參考前期初探性研究的資料，題項經由7 位試題審查委員編寫，并聽取3 位在職工科數學講師的意見，最終將試題編制、修正完成。第二部分為線性代數情感量表，區分了對數學的情感和對數學學習的情感，并將數學學習情感界定為以下九個子構念：對數學成功的情感、家庭文化、學校氛圍、教師情感、數學的跨學科性、數學的實用性、學習數學的興趣、數學焦慮和學習動機。在實際應用上，盡量克服由于測量題目過多，而導致在短時間內無法了解一個班級或者學校對數學或數學學習的情感的局限性。

四 結果與討論

表1 是模型擬合優度的基本情況，該表中指標stress 的值為0.041 83，另一指標Dispersion Accounted For（D.A.F.）（類似于經典部分的RSQ）的值為0.958 17，表明模型的擬合效果比較好。研究者將受試者所有可能的錯誤類型，經由專家鑒定后，依據各樣本的解題表現，搭配錯誤類型以進行分群，作為日后分群補救教學的依據。分群分析的目的在于對文本資料進行有意義的分群，以有效地使用該資料，基本理念在于經過適當分群后，使同一群內的有效樣本同質性較高，而不同群集之間異質性較高。分群的階段性成果包括線性代數學習的核心概念、認知分析及五類知識結構圖類型。

表1 應力和擬合度量表

線性代數學習的六大核心概念包括以下內容。①矩陣的運算與性質。包括矩陣的加法、乘法、運算規則、矩陣轉置、逆矩陣和三種初等變換。學習過矩陣加減法及數乘運算以后，學生對矩陣與矩陣之間乘法的“自然方式”產生期待。國內線性代數教材所介紹的矩陣的乘法規則及應用價值對學生來說，是一個挑戰[12]。學習者在學習“矩陣的乘法”的過程中，若對于矩陣乘法的產生、規則及其價值沒有清楚地認識，常常會產生以下困惑：矩陣為什么要這樣乘？實際的工作生活中，矩陣乘法的用途體現在哪里？樣本中的受測者對于較復雜矩陣的乘法，出錯的概率較大。②行列式的計算。行列式運算的三種方法、行列式的性質和克萊姆法則。學習者缺乏必備概念知識，將導致不當的召喚程序。受測者因認識不清楚，經常發生誤用公式或規則的情形。如四階及四階以上行列式的計算，誤用二階和三階行列式的對角線法則；將矩陣的運算規則誤用于行列式之上，數乘以行列式等于數乘以整個行列式的所有元素。從受測樣本的答題情況來看，一些從數學本身來看非常簡單和明顯的事實，在線性代數教學中卻并非如此。③線性方程組的求解。包括線性方程組解的結構和判定、基礎解系的性質以及解法。樣本資料顯示，學習者對基礎解系的由來和求法倍感陌生。缺乏具體化操作的線性代數教學，使學生無法建立數學概念知識與程序知識之間的關聯。同時，在求解線性方程組時，對系數矩陣（增廣矩陣）作初等變換化為階梯形矩陣時，誤用了初等列變換。④向量組的基。包括向量空間中線性相關性、矩陣的秩、向量組的基、向量在不同基下的坐標和內積。向量空間是線性代數的主要研究對象和核心運作機制。從施測樣本資料來看，線性相關、最大線性無關組等非機械性的概念知識，會給學習者帶來更多的認知負荷。在廣泛的應用領域中，從歐氏空間類推到Rn空間，需要恰當的教學活動設計來化解一般知識概念的抽象性與形式化。⑤二次型的標準型。利用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法，求解二次型的標準形式。相比于配方法和初等變換法，這種方法再次用到矩陣特征值和特征向量的概念，這需要學習者對相關概念有足夠的熟悉度。⑥方陣的特征值與特征向量。包括方程組的求解、相似對角化的條件和方法。從有效樣本資料來看，在完整解決問題的一些重要節點上，能有效使用數學概念并建構長期記憶的程序知識，顯得至關重要。因此，在引入幾何例子的基礎上，搭配學習者專業上的實作經驗來介紹特征值與特征向量，是一種改進了的教學策略。鑒于僅僅依靠紙筆測驗的分數，不能全面刻畫學習者的學習狀況，如果聚焦學習教材的核心概念并給予合適的權重，計算出來的加權分數搭配知識結構圖、數學學習情意量表，可以確認學習者可能的迷思概念，以作為補救教學的依據和參考。

通過K-Means 聚類分析，搭配線性代數學習情意量表，按照知識結構圖的良好程度（從結構缺失、結構不合理、結構尚可、結構良好到結構優化），可以把有效樣本分成五大群（各個群集之間的距離關系見表2），各群學生分別有75 人、78 人、98 人、26 人和128 人。例如，編碼為5 和10 的樣本，雖然按照傳統紙筆測驗分數一致為71 分，但是他們分屬于群集5 和群集3；編碼為124 和127 的樣本，傳統紙筆測驗分數均為53 分，但是他們分屬于群集3 和群集1。因理工科大學入學是依據高考成績相近的學生安排在同一系所就讀，所以，研究者在學業成就同質性較高的同校學生中，檢驗學習者的知識結構圖和情意面向，從而進行有意義的分類，具有其實際應用的價值。

表2 五個群集之間的距離關系

總之，線性代數這門課程相對于高等數學而言，內容較少，結構相對簡單，但是它更形式化、更抽象。只簡單講授運算規則的線性代數教學，是遠遠不夠的，是與培養21 世紀現代專業人才核心素養的目標相偏離的。原理、法則背后的原因和邏輯關系更為重要，它們是培養學生跨學科解題、知識連結和演算能力的基石。也就是說，在了解線性代數基本概念、應用范圍及認知診斷教學的基礎上，學生只有將所學知識技能應用到自身專業領域，才能逐漸具備分析和處理實際問題的能力。為破除線性代數學習中的認知障礙，教育者可以從問題情境、教學活動和學習環境三方面進行復雜工程問題解決的教學設計[13]。一方面在文化脈絡中，使學生弄清楚數學知識的由來，以降低課程的抽象性和形式化程度，瓦解學生對數學運算機制的首要認知沖突；另一方面，可以對程序知識的具體操作進行層次教學，分步驟地使學生獲得矩陣乘法規則的完整圖式。創設情境并通過實例，激發學生掌握并運用數學工具解決現實問題的意識和本領，讓學生自主進行數學學習與專業知識發展的連結。