統計學專業基礎課混合式教學模式探究
——以幾何與代數課程為例

張興發，張新風，尹居良

（廣州大學 經濟與統計學院，廣州 510006）

統計學是設計實驗獲取數據，然后在這些數據的基礎上組織、概括、演示、分析、解釋和得出結論的一門學科[1]。統計學專業的主要培養目標是：培養具備系統的統計學理論知識和應用技能，掌握統計學的主要方法和相關的計算機技術，具備處理特定行業數據問題的能力，能在經濟、管理、金融、保險、商業、信息技術、教育、環境和醫學等相關領域中從事數據搜集、分析與決策的創新型人才。因此，在“立德樹人、專通相融”的人才培養理念指導下，統計學專業將著重培養學生掌握統計理論、方法及收集數據與分析數據的能力。從上述培養方案可見，統計學專業在學生培養中一方面要注重專業基礎知識的傳授，如數學分析、幾何與代數、概率論、數理統計和回歸分析等數學類學科基礎課程幫助學生夯實理論基礎，另一方面還應注重專業知識的應用能力，在多元統計分析、時間序列分析和抽樣調查等課程中加入實踐教學環節，令學生在面對各行各業的不同問題時，可以靈活變通地用統計方法解決。

一、統計學專業基礎課混合式教學模式引入的必要性

為更好地實現上述培養目標，國內外高校的專家和學者們從教學模式上進行了大量的研討和改革，并于2000 年左右提出了混合教學法。Drysdale[2]回顧了2000—2011 年幾篇被引用最多的混合式教學法方面的文獻及書目，總結了早期關于混合教學法的一些研究成果；Spanjers[3]調查了混合式教學法對于教育潛力的促進作用，并嘗試指出混合式教學法的未來研究機會及研究對象所在。在混合教學法方面，除比較成熟的MOOC（Massive Open Online Course）模式外，還有以SPOC（Small Private Online Course）、雨課堂智慧教學方案等為媒介的混合式教學模式。在教學行為上，MOOC 將授課過程錄成視頻資料，開放給學生自主學習，主要用于大規模線上教育，一般來說具有教學成本較低、學生數量多、師生互動較少、課程完成度相對較低的特點；SPOC主要面向小班教學，學生可先在MOOC 網站上進行學習，教師會在規定時間開放在線或線下討論，并完成作業或其他課程任務，除將教學內容推廣給學生以外，還增加了對教學內容的思考、討論，進而引導學生對教學信息進行主動整合[4]；雨課堂智慧教學方案在教學方面并不拘泥于采用線上或線下的形式，但可將習題、課程作業、課外資料閱讀和考勤等工作放在線上進行，同時兼具線上線下教學的優勢，降低了教師的重復工作量，同時提高了教學時效性[5]。

對于大學理科課程，尤其是大學數學類課程，因其內在邏輯性較強、需要學生對課程有較高的掌握度，因此目前更常見的教學模式是以SPOC 及雨課堂為主的混合式教學模式，如王輝等[6]將雨課堂+SPOC 的混合式教學模式用于電力電子技術課程；楊文霞等[7]將SPOC和翻轉課堂的混合教學法用于大學線性代數的公共課教學，比傳統教學模式獲得了更好的教學效果；吳開寧等[8]總結了將雨課堂應用于大學數學類課程教學的優缺點，并指出即使在混合式教學模式下，也應適當保留定理證明及例題計算的板書過程，提升學生的課堂參與度。

統計學是一門注重應用的學科，統計方法在應用到各學科時，都要根據其專業特點進行一定調整。為了使同學們在畢業后可以靈活應用統計方法，我們在開設專業基礎課時，主要強調知識結構的嚴謹性，對于基礎課的應用性沒有給予充分的重視，因此導致學生不知基礎知識有什么用，也不知該如何將其應用在后續學科及實際問題中。因此，為深化學生對課程的理解，提升學生的學習興趣，我們可以嘗試引入混合式教學模式，在保留專業基礎課程原有的理論性、嚴謹性等基礎上做出改進，使其具備更強的可應用性。統計學的專業基礎課都是數學類課程，下文將以幾何與代數課程為例研究教學模式的改革。

二、幾何與代數課程目前存在的問題

幾何與代數課程是一門理論性非常強、課程內容聯系極度緊密的專業基礎課，且因其抽象程度高，大多數學習內容在書本上僅以定理形式給出，并需要經過嚴密的理論推導證明來驗證。本課程為統計學的專業基礎課，是同學們從高中進入大學首先要面對的一門課程，因此本門課程的任務不止是向同學們傳授高等代數與解析幾何的知識，還需引導同學們適應高等數學的問題描述方法及解決思路，完成從高中到大學階段學習重點及學習習慣的轉變，幫助同學順利完成從高中到大學階段的銜接。

為進一步完善課程內容，改革教學模式，在完成2019—2020 學年、2020—2021 學年的授課過程后，任課教師向學生發放了調查問卷，問卷共發放162 份，有效回收116 份，從調查問卷中，可總結出目前的課程教學中存在以下幾個問題。

（一）高中到大學的銜接工作有待加強

在兩次調查中，共有60.34%的學生認為在學習方法方面，大學課程的學習方法與高中完全不同。探討學習方法不同的主要原因，有94.87%的同學認為大學的課程內容比較深奧，需要通過更深入的思考才能掌握，而高中的學習則更加偏重大量的練習。繼續研究大學課程難度的主要來源時，有超過70%的同學給出了下述幾個原因：（1）在學習統計學專業基礎課時，數學知識體系比較龐大，短期內難以理解透徹；（2）為構建知識體系，課程中有大量的定義，而學生的知識儲備和思維習慣難以支撐對這些定義的深入理解及知識體系的完整建立；（3）對于概念與概念之間、概念與知識體系之間的邏輯關系理解不深。

（二）課程的課時不足

幾何與代數課程包含多項式、解析幾何、矩陣及行列式、方程組、線性空間及線性變換、λ-矩陣及變換和二次型等內容，邏輯性強、抽象程度高，需要學生有極強的空間想象能力。調查顯示，有超過半數的同學認為自己對于課程內容理解不夠透徹，導致在課程結束時有種“入寶山而空回”的遺憾。因此，有77.59%的同學建議增加單元測試、期中考試等階段性測驗。半數以上的同學建議增設習題課，要求老師介紹該課程與其他課程之間的聯系，加大計算和證明的講解力度，在理論課程中加入實例介紹。還有部分同學提出要學習數學軟件的應用，以便將注意力集中于知識架構而非繁瑣的計算方面。這些要求真實反映了學生的心聲，體現了同學們對于課程的學習熱情，但是目前的課時量僅夠完成理論課部分的教學，并未留出足夠充分的時間滿足學生的這些要求。

（三）課程應用及拓展在當前教學過程中難以體現

代數學科是當代科學的基石之一，其方法及思想在其他學科中有廣泛的應用。同時，代數也是統計學科的基礎，在后續的理論課程及實踐環節中應用十分頻繁。目前的課程教學由于授課方式及課時的限制，在課堂上只能完成理論課教學任務，沒有時間也沒有合適的平臺介紹代數方法的應用，因此部分學生學完本課程之后，對于計算和證明十分擅長，但對于如何將代數方法用于實際問題卻一無所知，在后續學習其他專業課程時也無法做到靈活變通，因此有58.62%的同學建議老師在講課時詳細介紹每個知識點的應用。

同學們提出的意見和建議十分中肯，非常真實地反映出學生在課程學習時遇到的主要問題。綜合同學們的反饋，我們嘗試應用混合式教學模式解決上述問題，在不增加課時量的基礎上，補充線上教學環節及教學資源，完善課程體系，達到理論與實踐教學并進的教學效果。

三、混合式教學模式構建

統計學專業基礎課混合式教學模式的實施需要解決上述三個問題：中學與大學的課程銜接、課時不足、增加課程拓展。從這幾個問題出發，我們主要通過雨課堂智慧教學方案平臺，從下述四個方面構建混合式教學模式。

（一）增加線上資源“課程Tips”“學科故事”，完成從高中到大學的過渡

在高中階段同學們面對的數學問題大多為具體問題，教師介紹一個主要知識點，后續學習以此知識點的橫向展開為主，練習也主要集中在計算方面。進入大學后，大多數同學不太適應高等數學中的抽象表達方式，對于知識的縱向拓展、命題及定理的證明，抽象問題的運算和空間想象力的培養等均需付出大量的時間及精力。在學習中，部分同學由于不能在短期內完成學習習慣的轉換，無法熟練掌握課堂內容，不懂的問題越來越多，逐漸形成滾雪球效應，到課程后半段很難跟上授課進度，也有個別同學會因此產生自暴自棄、甚至徹底放棄學業的行為。經過分析，高中到大學轉換過程主要分為兩方面：知識儲備、心理落差，因此我們在課程方面準備“課程Tips”“學科故事”兩方面的線上資源，幫助同學們順利渡過這個轉換過程。

1.“課程Tips”

大一同學的高中數學基礎不盡相同，在大學數學課堂上用到的高中知識點時，明顯可以看出有些同學掌握的很好，而有些同學則一知半解。為盡量消除這些個體差異，我們在上課前將此部分知識點做成“課程小Tips”小視頻，放到雨課堂的課前預習中，這樣會有更好的教學效果。例如：幾何與代數的第一節課，我們在證明中會用到數學歸納法，大多數同學反映在高中沒有學過這個方法，或者學過但不會應用。因為課時的限制，教師不可能在課堂上詳細講解高中的知識，故而要求同學課前預習此部分內容，盡量減輕因高中基礎導致的學習差異。

2.“學科故事”

統計學的學科基礎課每節課教學容量大，教學進度快，學習方法和高中截然不同。部分同學在入學后習慣性地沿用高中的學習方法和思考方式，卻并未取得良好的學習效果，由此產生較大的心理落差，覺得自己已經足夠努力，但仍然看不懂書上的內容，對于證明題也毫無思路，從而質疑自己的學習能力。從高中到大學階段的過渡期間，學生在心態方面會有一個“否定—迷茫—重塑”的過程，這是每個人都會經歷的正常階段。當學生處于這個階段期間，教師除了完成教書任務，還應開展育人工作，給予學生充分的鼓勵和支持，引導學生順利度過這段重要的時光。這部分工作可結合課程思政進行，如在課堂上分享數學家的小故事，或在雨課堂中導入數學發展史中的學科故事，令學生了解到數學上的每一個進展都是大量數學家的研究成果積累而得，甚至可能花費了幾百年才能讓人們接受。例如，二次方程的解法最早出現在公元前2000 多年的美索不達米亞遺跡中，而三次方程求解直到公元11 世紀才成為一個正式的數學問題[9]。在短時間內能透徹理解前人的智慧結晶是相當困難的，所以初學大學數學類課程時看不懂書、不理解定理、不會做題都是正常的，但我們不能因此放棄，只有持續不斷地思考、理解并接受數學思維，才能順利完成從中學到大學的過渡過程，為后續學習打下堅實的基礎。

（二）確定“線下授課+線上習題課+答疑課”的混合式教學模式

統計學專業基礎課程通常具有語言簡練、邏輯嚴密和計算復雜等特征，也有同學開玩笑說“上課時撿個筆，整個學期的課就再也沒有聽懂過”。由于課程難度大且邏輯性強，教師在授課過程中需時刻關注學生的反饋，如果授課期間學生表示對某個知識點存疑，則應在課堂可控范圍內轉換講解方法，盡量在課堂上解決學生的疑問。上述特點決定統計學專業基礎課不適合采用完全線上模式進行教學，甚至SPOC 等線上授課、線下答疑形式的混合式教學模式也不能取得滿意的教學效果。在教學模式方面，最有發言權的是19 級學生，因為在入學的第一學期，19 級的專業基礎課都以線下教學方式進行，由于疫情原因，第二學期的課程全部改為線上教學。作為唯一一屆同時經歷過線上與線下教學的學生，問卷中有75.2%的19 級同學選擇了線下教學模式。因此，對于統計學的專業基礎課來說，線下授課方式更適用于目前的教學。在線下授課過程中，課堂氣氛相對輕松，教師對于學生的學習狀況和心理狀態有直觀的感受，在授課時可以解析問題的思路，并將課程思政內容融入其中，令學生潛移默化地受到知識與思想上的雙重熏陶。

在對19 級學生的調查問卷中，有93.55%的同學選擇了需要開設習題課輔助教學。統計學的專業基礎課多為數學類課程，對于剛入大學的新生來說，課程體系與高中截然不同，大多數同學在短期內很難通過自學適應這個轉變。以當前的課時量來說，在課堂上開設習題課難度較大，如果在課后開設線下習題課，學生的時間又難以協調。因此經過協商，我們從20 級開始設置了線上習題課，以QQ 群課堂為載體向學生定期直播講解習題，時間沖突的同學可以在方便的時候回看，較好地解決了學生對于補充習題課的要求。同時還安排定期及不定期答疑，由任課老師安排課外時間對同學們進行答疑解惑。調查結果顯示，20 級同學中有74.14%表示線上習題與答疑課對自己的學習有幫助，87.72%的同學希望老師在習題課上能講解作業題目或學生指定的題目。

從調查反饋中可看出，“線下授課+線上習題課+答疑課”的混合式教學模式比較適用于統計學專業基礎課。這種教學模式的優勢是，線下教學模塊適用于難度大、邏輯性強的專業基礎課程，保留了線下教學互動性強、師生關系親密的特點；線上模塊部分主要用于講解習題及答疑，向有需求的同學傳道授業解惑，因材施教的同時也提高了課堂效率。這種教學模式的實施對教師要求較高，線上習題課安排在教師的非工作時間，備課及講解需花費大量的時間與精力；答疑課期間學生可能問到非課程甚至非專業的問題，需要教師具有大量的知識儲備及一定的人格魅力。

（三）把握課程深度，拓寬課程廣度

統計學是經國務院學位委員會批準的一級學科，本身具有完備的理論基礎與專有的研究領域，學生在學習時首先應深入了解統計學專業知識。作為應用型學科，統計方法被廣泛用于其他領域，因此授課時除了深挖專業知識，還應注重知識的拓展性，體現課程的廣度。這部分工作可從下述4 個方面進行。

1.注重“數形結合”

幾何與代數這門課程將高等代數與解析幾何內容雜糅在一起，課程內容主要以高等代數為主，代數思想大多數以抽象著稱，為了加深學生的理解，在授課期間可用解析幾何的圖形來輔助代數知識的講解。例如，在講解二次型化為標準形的知識點時，學生通常無法理解為何一定要變換一個多項式的形式，此時教師先給出一個非標準型的3 元多項式，要求學生辨別其圖形，學生表示看不出來，教師用Matlab 軟件展示其圖形為一個空間中傾斜的橢球，學生表示通過具體圖形可以分辨其形狀，但從多項式的原本形式看不出，由此我們引出化二次型為標準形的原因，這種數形結合的教學方法會給學生留下深刻印象，啟發學生在后續學習中觸類旁通。

2.學習簡單計算軟件及統計軟件

在應用上述數形結合的教學方法時，會應用到數學軟件或專業統計軟件，對于大一的學生，還未開設專門的軟件課程教學，因此可推薦學生自學一些簡單的數學計算軟件或SPSS 等初級統計軟件。在課程后續的學習中除了畫圖，也應學會用軟件處理一些計算過程，以便將精力集中于知識本身而非繁瑣的計算上。例如，在學習若爾當標準形的時候，為了將一個方陣化為若爾當標準形，應先計算其特征值和特征向量，這個過程需要求解幾個線性方程組，很多同學在方程組求解過程消耗了大量的精力，反而未把注意力放在最重要的若爾當標準形方面，完全是本末倒置。為減少這種學習上的內耗，我們可以先講授一些用于矩陣計算的軟件知識，這樣學生可以把大量的計算工作交給軟件處理，將更多精力聚焦到課程本身。

3.課程間的交互拓展

作為統計學的專業基礎課，幾何與代數的課程內容幾乎可以應用于后續全部專業課程上，甚至也可廣泛用于計算機及其他專業的理科課程上。為拓寬學生的眼界，我們可以在授課時進行適當的推廣，講述所學知識點與其他課程的聯系。例如，在講解拉格朗日多項式時，可以延伸到拉格朗日插值法，并簡要介紹其在計算機圖形學方面的應用。但在進行課程間的拓展時，需注意到其他課程的教學進度。比如，在講解多項式特點時，介紹多項式最顯著的一個特點是容易求值，這個特征在數學分析課程中的Taylor 公式處得到充分的應用，但是從教學進度上看，數學分析的Taylor 公式部分的教學晚于幾何與代數課程多項式內容，因此此處僅需做簡要介紹，或者留到后續再詳細講解。此部分工作可以在課堂上進行，也可以在雨課堂系統中加入一些課程應用的內容介紹，供于感興趣的同學自學。

介紹課程間的交叉內容，可以令學生理解統計學專業的課程整體性，同時也幫助同學們將思想從一門課程擴大到整個學科。幾何與代數之所以被列為專業基礎課，就是因為其是后續所有專業課程的學習基礎，也是同學們統計思想建立的基礎，因此無論是任課老師還是同學，都應在這門課程上付出自己最大的努力，除學好課程內容外，還應放寬眼界，了解代數知識在其他學科的應用。

4.推進學科競賽及科普講座

除了以線下授課及線上資源形式提供課程拓展知識，學科競賽也是拓寬課程廣度的一個好機會。統計學科希望培養既有理論研究能力，又具備實際應用能力的創新型人才，參與各類競賽可將同學們平時所學的理論知識應用于實際問題，是大學生展示能力的最佳平臺。目前適合本專業的學科競賽主要有以應用為主的“正大杯”全國大學生市場調查與分析大賽、統計建模大賽，以及更強調理論創新的全國大學生數學建模競賽。參與比賽的同學在收集資料、準備文檔的過程中學會應用專業知識解決實際問題，個人能力得到了全面提升。

多數大學生因受到專業細分的影響，在創新思維方面有一定的局限。學科專家具有開闊的眼光、豐富的學識與經驗，他們所作的科普講座可令學生加深對本專業的了解，增進對專業的興趣，同時會介紹新的研究及應用方向，有助學生提升創造力與建立創新思維。在后疫情時代，專家的線上講座資源非常豐富，教師可以選擇合適的講座推薦給學生，幫助學生進行課程的橫向拓展。

四、結束語

統計學的專業基礎課是學科體系的基礎，也是學生學習的基礎，扎實掌握專業基礎課的知識，后續課程的學習將會事半功倍。為此，我們應該嘗試摸索新的教學模式，不斷豐富教學資源，發揮線上線下混合式教學的優勢，突破傳統教學模式在時間上的限制，通過現代教育技術與網絡資源為學生構建友好的教學環境，促進學生的學習能力，拓寬學生的知識面，提高學生解決問題的能力，從而培養出更多創新型統計學人才。