HPM視角下的“球的體積和表面積”教學(xué)

文 /李德明

引 言

球是一種重要的幾何體，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、空間思維能力和直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)對“球的表面積和體積”的相關(guān)要求為：“知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積的計算公式,能用公式解決簡單的實(shí)際問題。”[1]人教A版教材對本節(jié)內(nèi)容的處理比較簡單，并未對球的體積公式進(jìn)行推導(dǎo)證明，僅在閱讀材料“探究和發(fā)現(xiàn)”中對祖暅原理，柱體和錐體的體積及球的體積公式的演繹推理過程進(jìn)行了簡單的介紹。筆者認(rèn)為教師不應(yīng)把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)僅僅停留在掌握球的體積公式、表面積公式及其簡單的應(yīng)用這樣淺層的知識技能層面，可以充分利用數(shù)學(xué)史材料，以球的體積、表面積為知識載體，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和文化涵養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和終身發(fā)展。

在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，以《中國高考評價體系》為導(dǎo)向，以教材為藍(lán)本，以學(xué)生學(xué)情為出發(fā)點(diǎn)，從History and Pedagogy of Mathematics（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育，以下簡稱HPM）的視角設(shè)計和實(shí)施本節(jié)課的教學(xué)。本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下。

（1）了解中國古人對球的體積公式的探索過程，體會古人“以方套圓,化圓為方”的思想方法，感受先哲的智慧；

（2）經(jīng)歷球的體積和表面積公式的探索過程，了解其中蘊(yùn)含的微積分思想方法；

（3）掌握球的體積和表面積公式，并能利用其解決簡單的相關(guān)問題。

一、歷史材料及其應(yīng)用

（一）阿基米德墓碑問題

阿基米德（Archimedes）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，是靜力學(xué)和流體力學(xué)的創(chuàng)始人。在阿基米德于公元前212年不幸被羅馬士兵殺害后，馬賽拉斯為他修建了一座頗為宏偉的陵墓，并在墓碑上鐫刻了球內(nèi)切于圓柱的圖形，以此緬懷阿基米德在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)。

（二）劉輝與牟合方蓋

在《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”中有一段關(guān)于球的體積公式的記載，認(rèn)為球的體積：圓柱的體積=圓柱的體積：正方體的體積=π∶4，（其中圓柱與正方體的各個面相切，球與圓柱體的底面與側(cè)面相切）。劉輝認(rèn)為這個求法不對，并構(gòu)造了一個新的幾何體——“牟合方蓋”（如圖1）。所謂“牟合方蓋”，就是指由兩個同樣大小但軸心相互垂直的圓柱體相交而成的立體圖形。

圖1

劉輝指出，牟合方蓋與相應(yīng)內(nèi)切球的體積之比=4∶π，只要求出牟合方蓋的體積就能計算出牟合方蓋內(nèi)切球的體積。劉輝雖然沒能最終得出球的體積公式，但這為此后祖暅推導(dǎo)球體的體積公式提供了重要的思路。

（三）祖暅及球體積公式的推導(dǎo)

南北朝時期大數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在劉輝研究的基礎(chǔ)上利用祖暅原理求得了八分之一牟合方蓋與牟合方蓋外接正方體八分之一差的體積，進(jìn)而求出了牟合方蓋的體積，推導(dǎo)出了球的體積公式。

二、教學(xué)設(shè)計與實(shí)施

（一）創(chuàng)設(shè)歷史情境，自然引出球的體積和表面積

圖2

師：同學(xué)們，你們看這張圖像什么？

生：……

（二）球的體積和表面積公式的推導(dǎo)

1.球的體積公式的推導(dǎo)

（1）中國古人對球的體積公式的探索

“化圓為方、以方探圓”是中國古人研究圓與球的重要思想。據(jù)《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”中的記載，中國古人認(rèn)為球的體積∶圓柱的體積=圓柱的體積∶正方體的體積=π∶4，（其中圓柱與正方體的各個面相切，球與圓柱體的底面與側(cè)面相切）。

（2）劉輝與牟合方蓋

劉輝認(rèn)為這個求法不對，他構(gòu)造了一個新的幾何體——“牟合方蓋”，并指出牟合方蓋內(nèi)切球的體積∶牟合方蓋的體積=π∶4，只要求出牟合方蓋的體積，就能計算出球的體積。

（3）祖暅與球的體積公式的推導(dǎo)

引理1——祖暅原理：夾在兩條平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等[2]。

圖3

（4）幾何模型的簡化

我們還可以對推導(dǎo)球的體積公式的幾何模型進(jìn)行簡化（如圖4），由祖暅原理，我們不難得出底面半徑為r，高為r的圓柱和與之同底等高的圓錐的體積之差等于半徑為r的半球的體積。

圖4

2.球的表面積公式的推導(dǎo)

所以，S=4πR2。

3.問題解決

例：如上圖5，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。

圖5

三、學(xué)生反饋

課后，我們以問卷調(diào)查、個別訪談和作業(yè)的形式，就本節(jié)課的教學(xué)情況和教學(xué)效果向?qū)W生進(jìn)行了調(diào)查研究。從學(xué)生課后反饋的信息來看，本節(jié)課很好地達(dá)成了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生能夠獨(dú)立思考完成課堂限時訓(xùn)練和課后鞏固練習(xí)，優(yōu)秀率達(dá)90%以上，從中反映出本節(jié)課知識技能方面的教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度很好。對于球的體積和表面積公式的探究歷史，100%的學(xué)生表示已了解公式的探究歷史。對于球的表面積和體積公式的推導(dǎo)過程，66.1%的學(xué)生表示理解，26.8%的學(xué)生表示基本理解，7.1%的學(xué)生表示還未理解公式的推導(dǎo)過程，主要問題集中于利用牟合方蓋推導(dǎo)球的體積的過程。其中，92.8%的學(xué)生表示喜歡這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入能夠使數(shù)學(xué)課堂更加有趣、豐富，有助于他們理解、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識；也有7.2%的學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入對其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有明顯的幫助，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入會占用一部分的課堂教學(xué)時間，導(dǎo)致其訓(xùn)練時間減少。

四、教師反思

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，合理地提煉數(shù)學(xué)史材料，使之發(fā)揮出最大的教學(xué)價值，而不能僅限于數(shù)學(xué)史材料的簡單堆疊。

我們認(rèn)為數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)過程應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)。

（1）選取的數(shù)學(xué)史材料應(yīng)在本節(jié)課教學(xué)中具有很大的教學(xué)價值和教育意義；

（2）數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入應(yīng)自然、流暢，在數(shù)學(xué)史材料的應(yīng)用過程中，教師需要考慮到知識發(fā)生發(fā)展的歷史性和邏輯性以及學(xué)生的學(xué)情，需對數(shù)學(xué)史材料應(yīng)用方式進(jìn)行充分考量和恰當(dāng)選擇，必要時需對數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行適度加工處理，使之更適合課堂教學(xué)；

（3）數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入需要課內(nèi)、課外相結(jié)合。教學(xué)課時的有限性導(dǎo)致我們在課堂教學(xué)中能夠?qū)W習(xí)的內(nèi)容是有限的，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的融入必然要占用一定的教學(xué)時間，我們想這也是導(dǎo)致HPM研究高評價、低應(yīng)用的一個重要因素[3]。因此，在教學(xué)中我們不僅要在數(shù)學(xué)材料的深度加工和應(yīng)用方法的恰當(dāng)選取上下功夫，提高課堂教學(xué)效率，還應(yīng)該課內(nèi)、課外相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)、圖書等各種平臺和途徑自主收集、整理相關(guān)數(shù)學(xué)史材料，學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史，以達(dá)到對數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史的深入學(xué)習(xí)和理解。

結(jié) 語

數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史積淀，是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓所在，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體。HPM的研究取得了很多令人矚目的成果，很多一線教師也通過教學(xué)實(shí)踐研究開發(fā)出了很多HPM視角下的優(yōu)秀課堂教學(xué)案例。但筆者認(rèn)為，HPM的研究是常做常新的工作，面對不同的教學(xué)內(nèi)容、不同的數(shù)學(xué)史材料和不同的學(xué)情，數(shù)學(xué)史材料的選取，融入課堂的方式應(yīng)有所差異。對于相同的教學(xué)內(nèi)容、同樣的數(shù)學(xué)史材料和相似的學(xué)情，教師也會有不同的教學(xué)設(shè)計思路和教學(xué)方法。筆者認(rèn)為這就是教學(xué)的魅力所在，也只有這樣我們的教學(xué)才能真正面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)[4]。