一種微型航天器姿態跟蹤的四元數實現方法

馮路明 路坤鋒 劉曉東

1.北京航天自動控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854

0 引言

空間航天器在執行對目標跟蹤與觀測、編隊飛行、空間交會對接、軌道轉移等空間任務時，需要航天器姿態控制系統精確地跟蹤指令坐標系。姿態控制系統的設計效果對在軌服務性能的穩定性和可靠性有著十分重要的影響[1]，因此姿態控制系統研究一直是空間科學和技術領域的一個熱點問題。

航天器執行任務期間需要從初始姿態過渡到指令姿態并實現姿態指令的穩定跟蹤，描述飛行器的姿態運動通常采用歐拉角法和四元數法。由于航天器姿態機動范圍大，當采用歐拉角法時，歐拉方程將出現奇異點。而四元數微分方程是代數方程，在計算過程中不會出現奇異點的情況，因此本文采用四元數描述航天器姿態運動及姿態跟蹤方法。

目前姿態跟蹤控制器設計方法通常有LQR控制、滑模變結構非線性控制以及自適應控制方法。LQR基于姿態運動的線性化模型，通過最小化某一性能指標求出控制量，但該方法在實現姿態控制的同時不可避免地帶來系統線性化誤差。滑模變結構控制雖能有效地抑制外界干擾和系統不確定性，但因其采用三通道控制，不能實現能量最小控制。自適應控制通過設計動態的自適應控制器可以逐漸調整一部分系統參數，適應航天器內部系統參數具有較大不確定性的情況，因此廣泛應用在航天器姿態控制問題上[2-3]。

目前，航天器的四元數姿態控制方法研究大多集中在解決姿態控制性能需求方面。本文基于現代控制理論，將復雜的非線性航天器姿態運動模型轉化成一個特征結構可以任意配置的線性定常狀態空間模型。利用極點配置具有很大自由度的特點，通過極點配置法實現線性定常系統的穩定性，該方法的應用性和自由度都很高，設計靈活。

1 基于誤差四元數的姿態機動模型

1.1 航天器姿態跟蹤的四元數描述

航天器相對慣性空間以角速度ω1旋轉，旋轉四元數為qd。設期望坐標系相對慣性空間以角速度ωr旋轉，旋轉四元數為qr。定義由期望坐標系到航天器坐標系的旋轉四元數為誤差四元數qe，則[4]：

(1)

圖1 航天器運動四元數與指令四元數關系

航天器姿態運動的四元數微分方程為：

(2)

誤差四元數微分方程方程為：

(3)

則式(3)可以表示為：

(4)

定義：

(5)

根據剛體運動學理論，航天器姿態運動的動力學方程為：

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)，整理可得：

(8)

將式(5)表示的ω1代入式(8)，整理得：

(9)

1.2 基于四元數的姿態跟蹤控制系統模型

定義誤差四元數矢量部分：q=[qe1qe2qe3]T，由公式(3)可得：

(10)

對公式(10)求導，將一階的姿態運動學模型轉化成姿態動力學模型：

(11)

由式(4)得：

(12)

因此：

(13)

令：

則角速度ωe1可以表示為：

(14)

為了簡化推導，假設飛行器各通道之間轉動慣量無耦合，即：J1=diag(Jx1，Jy1，Jz1)

令：J=[Jx1Jy1Jz1]T

將ωe1、J1代入式(9)得：

(15)

其中：

則：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(16)～ (20)代入式(11)，得到由誤差四元數描述的姿態控制系統模型：

(21)

1.3 基于誤差四元數的姿態跟蹤問題描述

針對式(21)描述的關于q的航天器二階系統模型，其控制問題的提法是設計適當的控制律u：

u=f(q)=f(q1,q2,q3)

(22)

使得閉環系統

(23)

滿足:

(24)

當被控航天器的姿態誤差四元數矢量部分q從初始值到達平衡點qe=[0 0 0]T時，控制系統完成了航天器姿態跟蹤控制問題。

2 基于誤差四元數的姿態跟蹤控制器

控制器設計的目的是在系統存在干擾的情況下，實現航天器姿態的穩定與跟蹤，因此，對于系統確定性擾動，通過設計補償控制器來實現姿態控制系統的擾動抑制能力，因此控制器設計如下所述：

u=uf+uc

(25)

其中，uc補償是為了抑制系統的確定性干擾設計的補償控制器，uf為狀態反饋控制律。

2.1 擾動補償控制器

將式(25)設計的控制器代入式(21)描述的閉環系統，當選擇

即：

(26)

2.2 控制器設計

經過擾動補償后，控制系統的二階模型可以表示為：

(27)

狀態反饋控制量：

(28)

擾動補償后的閉環控制系統模型變為：

(29)

其中：

對式(29)表示的系統進行線性變換[5]：

(30)

其中：

則式(28)和式(29)系統的求解問題，可以轉化為式(31)描述的Sylvester方程求解問題：

(31)

其中：

式(31)系統左右互質分解及其解為[6-7]：

(32)

Z∈Rn×2n是自由參數，可根據具體的指標進行優化求解。

F∈R2n×2n是自由的待定參數，用于配置系統特征根，可以根據系統指標進行優化求解。

2.3 控制量優化求解

由于式(31)描述的穩定系統系數矩陣F可以自由配置，因此可以通過優化某一特定的性能指標Jopt求解狀態反饋控制器uf。

對于線性系統，通常以系統特征根靈敏度作為優化指標[8-9]，因此選擇系統特征根的二范數作為優化指標，即：

(33)

式(33)的優化問題，可以通過式(32)描述的帶約束非線性規劃方法求解：

minJopt(F,Z)

(34)

利用Matlab優化工具箱進行求解，可以得到λi，則

F=diag(λ1,λ2,…,λ2n)

優化出F、Z后，即可求解狀態反饋增益矩陣Kf，進而根據確定性擾動與狀態反饋控制量求解出系統的控制律：

(35)

將u代入式(6)，即可實現航天器姿態跟蹤的閉環控制。

3 仿真驗證

3.1 仿真條件

假設微型航天器初始時刻處于空間靜止狀態，指令坐標系以角速度ωr旋轉。

(36)

描述指令坐標系的四元數初值：

qr(0)=[0.5000 -0.6456 0.4655 0.3412]T

描述飛行器本體坐標系的四元數初值：

qd(0)=[1.0 0.0 0.0 0.0]T

誤差四元數初值為：

[0.5000 0.6456 -0.4655 -0.3412]T

在機動過程中，假設航天器的慣量矩陣不變，且各軸之間無交聯耦合。

Jx1=0.014kg·m2
Jy1=0.025kg·m2
Jz1=0.018kg·m2

通過極點配置后的閉環系統矩陣為：

F=diag(-0.18，-0.2，-0.22，-0.35，-0.44，-0.5)

仿真時間150s，控制周期20ms。

3.2 仿真結果

依據3.1節仿真條件進行仿真，結果如下所示：

圖2 qd與qr隨時間變化曲線

圖3 誤差四元數標量q0隨時間變化曲線

圖5 誤差四元數矢量導數隨時間變化曲線

圖6 控制力矩隨時間變化曲線

4 結論

建立了基于誤差四元數的微型航天器姿態控制系統該模型，同時基于狀態反饋控制器，通過配置系統的極點，滿足飛行器對姿態控制系統的性能需求。數學仿真驗證表明：通過四元數狀態反饋設計的控制器能夠穩定地以高精度跟蹤姿態指令。