遷移經驗建模 賦能思維發展

顧瑩盈

引導學生用好以往的學習經驗，完成知識學習的遷移，從具體數據的討論上升到規律的發現與歸納，最終形成相應的數學模型，這個過程就是學生數學模型思想的經歷與體驗過程，也是學生數學基本活動經驗的積累過程。下面以蘇教版四年級下冊“運算律”中“加法交換律和乘法交換律”的教學為例，對如何遷移經驗建模進行詳細分析。

一、教材分析

在現行的蘇教版“運算律”單元課時編排中，加法交換律和結合律是一課時的內容，乘法交換律和結合律是一課時的內容。這樣的編排是基于學生的已有知識與經驗的。學生在加法計算中對交換律和結合律的感知比較豐富，聯系已有經驗，能夠通過自主探究獲得結論。同時，我們發現加法交換律和乘法交換律、加法結合律和乘法結合律在數學模型的結構與意義上具有一定的關聯性和相似性。為此，在具體教學中，我對單元內容教學順序進行了適當調整，第一課時先教加法交換律和乘法交換律，幫助學生積累數學模型構建的經驗，第二課時教加法結合律和乘法結合律。這樣學生就可以將第一課時所學的知識和經驗遷移運用到結合律模型的構建中，更利于學生遷移能力的培養。

二、學情分析

加法交換律和乘法交換律對于學生來說并不陌生，在之前的學習中，他們已經逐步接觸了一些例子，有了一些感性的認識。但這些認識都是具體化、情境化的，且學生缺乏把一種數學現象抽象、概括、提煉成一種規律的意識和能力。四年級學生對運算律模型的推理與構建還存在較大的困難。

三、教學目標

1.引導學生通過對熟悉的實際問題的解決進行比較和分析，找到不同解法之間的共同特點，初步感受運算規律，理解并掌握加法交換律和乘法交換律。

2.促使學生在探索加法交換律和乘法交換律的過程中，遷移運用舊知進行分析、歸納和總結，初步形成獨立思考和探究問題的意識和習慣。

3.讓學生在經歷觀察、比較、歸納、解釋、概括規律的過程中，感悟數形結合思想，初步形成模型意識和符號意識。

四、教學過程

（一）創設情境，解決問題

出示教材第55頁例1情景圖（見圖1）。

師：學校實施體育課后服務以來，同學們的運動變得更加豐富多彩了。從這張圖片中，你能得出哪些數學信息？

生1：男生和女生跳繩的人數。

生2：踢毽子的女生人數。

師：你能依據這些信息提出一些用加法計算的問題嗎？

問題1：參加跳繩的一共有多少人？

問題2：跳繩的和踢毽子的一共有多少人？

師：我們先來解決問題1，針對參加跳繩的一共有多少人，應該怎么樣列式計算？

生：28+17＝45（人）。（教師將算式板書在黑板上。）

師（追問）：表示什么意思呢？

生：“28+17”是用男生人數加上女生人數。

師（追問）：還有不同的列式方法嗎？

生：還可以17+28＝45（人）。（師板書算式。）

師（追問）：又表示什么意思呢？

生：“17+28”是用女生人數加上男生人數。

師：兩道算式都表示跳繩的總人數，所以都等于——（45人）。

（二）觀察猜想，邏輯推理

師：觀察這兩個算式，你們能發現什么？它們有什么相同和不同？

學生認真觀察、討論。2分鐘后學生代表發言。

生：兩個算式的加數相同，結果一樣。

生：兩個算式加數的位置不同。

師：這兩道算式都是求什么的人數的？得數相同的情況下，我們能不能用“=”把它們連成一個等式？

生：兩道算式的得數相同，求的都是參加跳繩的總人數，所以，可以用“=”連接。

教師板書：28+17＝17+28

師：你們認真觀察這個等式，在等式的兩邊，什么發生了變化？什么沒有變？

同桌交流，然后班級分享個人發現。

生：等式兩邊加數的順序改變了。

生：雖然順序改變了，但結果沒有變。

師：又有什么共同的地方呢？

生：兩個加數都相同。

生：還有，和也相同！

師：交流得很好，你們肯定也有了很重要的發現，能不能總結一下呢？

生：交換加數的位置，和不變。

師：同學們發現“交換加數的位置，和不變”。可剛才你們只是通過對一個例子的觀察得出這樣的猜想的，這個猜想正確嗎？

生：正確。（都非常肯定。）

（三）驗證猜想，經歷建模過程

師：為什么交換兩個加數的位置以后它們的和不變？你能嘗試用自己的方式來說明或解釋它嗎？

學生先獨立思考，然后進行小組交流，并共享討論結果。

生：買一件上衣和一條褲子，買上衣花了100元，買褲子花了60元，先買上衣和先買褲子花的錢總數都是160元。

師：也就是說，在計算購物總價時，不需要考慮商品的先后順序。這個例子非常好，還有沒有其他的解釋？

生：四（1）班人數為63人，四（2）班人數為60人，這兩個班級無論是（1）班加（2）班，還是（2）班加（1）班，它們的總人數都是不變的。

師：是的。我們在計算班級總人數時，不需要考慮班級人員的先后順序，和都是相同的。那還有沒有不同的解釋呢？

生：我舉了三個例子，都能驗證加法交換律是正確的。

例1.20+35=55 35+20=55 20+35=35+20

例2.60+5=65 5+60=65 60+5=5+60

例3.☆+○=10 ○+☆=10 ☆+○=○+☆

師：你們覺得他的解釋正確嗎？有什么特點嗎？

生：他用兩位數進行了驗證。

生：他還用符號進行了驗證。

師：非常不錯，用圖形來輔助解釋的想法很好。那還有沒有其他方法呢？

生：我還可以用畫線段圖的方式來解釋。從學校到公園要經過書店，假如說從學校到書店的距離是300米，書店到公園的距離是1000米，那么從學校到公園的距離就是300+1000=1300（米）；從公園回到學校，從公園到書店的距離是1000米，從書店到學校的距離是300米，所以，距離還是1000+300=1300（米）。

生：我還試了下，小數也符合這個規律，比如，1.5+2=3.5，2+1.5=3.5，所以，1.5+2=2+1.5。

師：真棒。我們學過的數不僅僅有整數，還有小數，所以兩個數的組合有很多種，如兩個數都是整數或是小數，還可以兩個數一個是小數，一個是整數等。那么，針對這些情況，上述猜想還成立嗎？

學生小組討論，繼續給出了很多實例，還有的小組提出了可以兩個分數相加、整數與分數相加，最終通過不完全歸納法論證了最初的猜想是正確的，這正是我所期待的。

師：剛才同學們用自己喜歡的方法驗證了我們發現的規律，這些規律叫運算律。如果用字母a、b分別表示兩個加數，我們發現的規律就可以寫成a+b＝b+a，這個規律我們給它起個名字叫加法交換律。

（四）遷移學習，自主構建模型

師：我們根據一個猜想，用不同的方法進行了驗證，最后得到了這個結論。學習不要止步于此，你還有沒有新的猜想？除了加法有交換律，你覺得哪些運算可能也存在交換律？任意兩數相減，交換它們的位置，差不變？任意兩數相乘，交換它們的位置，積不變？任意兩數相除，交換它們的位置，商不變？請試著解釋或驗證你們的猜想。

學生小組交流，提出自己的猜想，進行驗證，并完成學習任務單。（見表1）

師：誰來說一說你們還發現了什么新規律？

組1：我們發現減法不存在交換律。例如，35-20≠20-35。

組2：我們反對，6-6=6-6，10-10=10-10，所以減法存在交換律。

師：剛才我們討論加法交換律的時候，你們允許反例的出現嗎？那怎么現在就允許了呢？

組3：我覺得減法沒有交換律，只要找到一個反例，就可以推翻它了。

師：對！驗證結論過程中，只要舉出一個不符合結論的例子——反例，就可以說這個結論不成立。

組4：我們也發現除法不存在交換律，例如，25÷5≠5÷25。

師：不錯，那乘法呢？

組5：我們發現乘法存在交換律，比如，26×12=312，12×26=312，交換兩個乘數的位置，積仍然不變。

師：大家能不能舉出一個反例？

生：不能。

師：為什么交換兩個乘數的位置，積會不變呢？誰可以來解釋一下？

生：比如5×3和3×5，它們的積都是15，所以積相等。

師：聽懂了嗎？誰可以再來解釋一下？

生：我可以用數方格的方法來解釋。如圖2，5×3可以表示5列3行小方格的總個數，是15個；3×5可以表示3行5列小方格的總個數，也是15個。

師：不錯，不管是先數行，還是先數列，其本質都算的是小方格的總數，只是觀察的視角不同而已，所以，乘法有交換律這個猜想是正確的。那你們能不能像前面加法交換律一樣，用字母來表示這個猜想呢？

生（齊）：a×b=b×a。

（五）歸納總結，感受新知

這一節課，你們都學習了哪些知識？請將你的收獲記錄下來，然后小組內交流。

五、教學小結

1.在不露痕跡的追問中深化認識。學生舉出符合加法交換律的實例后，教師引導學生回到加法意義去思考、理解加法交換律。雖然數數過程不同，但結果相同，變化具體數量講的是相同的“故事”，幫助學生從加法意義這一本源上證明并理解了加法交換律，突出了加法交換律的價值、意義。同時，通過追問促使學生思考、發現自己概括出的等式中的文字和符號可以具體化為實例中的數。從具體實例到用一個式子表示，學生以符號代替數，得到運算律的一般性表達，此時學生對運算律字母表達式的理解仍停留于“替代”狀態。從一般回到具體，讓學生自主說明運算律字母表達式中的字母具體表示實例中對應的數，意識到用字母表達規律的一般性，增強了學生的符號意識。

2.利用學生已有知識和經驗，引導自主探究活動，并掌握運算律。在本節課教學中，我首先由生活情境中的數學問題引出一組等式，讓學生初步理解兩個數交換位置，和不變；再讓學生通過舉例驗證，通過不完全歸納法推理得出加法交換律和乘法交換律并用字母表示。這樣學生就經歷了“加法、乘法交換律”的推理過程：提出問題—引發猜想—驗證猜想—概括歸納—類比遷移，有效促進了學生推理意識的培養。

（作者單位：昆山市信義小學）

編輯：常超波