PCK視角下幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題教學(xué)價(jià)值的探討

摘 要 學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨(dú)特性，是衡量教師專業(yè)水平的重要標(biāo)志。作為數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題以及訓(xùn)練方式往往承載著豐富的信息，折射出教師的教學(xué)觀念、教學(xué)理解、教學(xué)策略以及教學(xué)藝術(shù)等視角，是構(gòu)成教師學(xué)科教學(xué)知識(shí)重要且特別的部分。而對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題的解讀與借鑒，也是教學(xué)實(shí)踐與研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容。基于PCK視角探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾道經(jīng)典習(xí)題所蘊(yùn)含的教學(xué)法價(jià)值，可以豐富教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特別是數(shù)學(xué)訓(xùn)練的針對(duì)性和有效性。

關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 經(jīng)典習(xí)題 教學(xué)價(jià)值 學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）

引用格式 李繼軍.PCK視角下幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題教學(xué)價(jià)值的探討[J].教學(xué)與管理，2023（08）：36-40.

數(shù)學(xué)習(xí)題是組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練的主要載體，也是教材中最有利于展現(xiàn)學(xué)生才能和創(chuàng)新能力的、最具活力的成分。長(zhǎng)期以來(lái)，廣大數(shù)學(xué)教師在用好教材配套例題、習(xí)題的同時(shí)，創(chuàng)造性地改編或設(shè)計(jì)了許多數(shù)學(xué)題，有些習(xí)題如同文化和藝術(shù)領(lǐng)域?qū)?yōu)秀作品的評(píng)價(jià)一樣堪稱經(jīng)典之作。這些經(jīng)典習(xí)題以及具體的訓(xùn)練方式往往承載著豐富的信息，折射出教師的教學(xué)觀念、教學(xué)理解、教學(xué)策略以及教學(xué)藝術(shù)等諸多視角，成為教師知識(shí)結(jié)構(gòu)中獨(dú)特且重要的組成部分。這種帶有濃厚情境性、實(shí)踐性，并指向解決學(xué)科具體問(wèn)題、特定內(nèi)容的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與方法，按照有關(guān)教師知識(shí)的理論，可歸入美國(guó)學(xué)者舒爾曼提出的“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”（pedagogical content knowledge，簡(jiǎn)稱PCK）的范疇。所謂PCK，是指教師將自己所掌握的學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的形式，它具體表現(xiàn)為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類比等來(lái)呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容，知道學(xué)生的理解難點(diǎn)[1]。學(xué)科教學(xué)知識(shí)體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨(dú)特性，是衡量教師專業(yè)水平的重要標(biāo)志。而對(duì)經(jīng)典習(xí)題的解讀與借鑒，也是教學(xué)實(shí)踐與研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容。下面以幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題為例[2]，基于PCK視角探討它們的教學(xué)法價(jià)值，以豐富教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特別是數(shù)學(xué)訓(xùn)練的針對(duì)性和有效性。

一、變式性訓(xùn)練，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解

習(xí)題1：如圖1所示：甲、乙兩人分別按規(guī)定路線從A點(diǎn)出發(fā)回到A點(diǎn)，那么誰(shuí)走得路程多？正確的選項(xiàng)是（? ? ? ? ? ）。

①甲走的路程多；

②乙走的路程多；

③兩人走的路程一樣多；

④無(wú)法比較。

本習(xí)題作為“周長(zhǎng)初步認(rèn)識(shí)”鞏固應(yīng)用階段的變式訓(xùn)練題，旨在考察學(xué)生對(duì)“周長(zhǎng)”概念的理解與把握。周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)屬于概念學(xué)習(xí)，小學(xué)教材一般將周長(zhǎng)定義為“封閉圖形一周的長(zhǎng)度”。理解周長(zhǎng)概念需從兩個(gè)要點(diǎn)入手：一是封閉圖形的一周，二是長(zhǎng)度。周長(zhǎng)的本質(zhì)是長(zhǎng)度，是相同單位長(zhǎng)度的累加，度量結(jié)果可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)。隨著對(duì)周長(zhǎng)概念的本質(zhì)理解，從定性描述到定量刻畫已成為當(dāng)前周長(zhǎng)概念教學(xué)的目標(biāo)定位和行為追求。對(duì)于一個(gè)封閉的平面圖形而言，它具有一維的“邊線”和二維的“面”，區(qū)域是通過(guò)封閉圖形來(lái)反映的，也就是說(shuō)用一維的邊“圍”出了二維的面。教學(xué)實(shí)踐表明，在較復(fù)雜情境中，它們之間往往會(huì)相互干擾，容易混淆，難以區(qū)分“邊線”和“面”，無(wú)法達(dá)成對(duì)周長(zhǎng)和面積概念的準(zhǔn)確理解和掌握。上海版數(shù)學(xué)教材在“圖形與幾何”領(lǐng)域的編寫上作了新的嘗試，吸收了皮亞杰關(guān)于兒童幾何認(rèn)知發(fā)展的有關(guān)觀點(diǎn)，即兒童對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)與幾何學(xué)的建立、發(fā)展順序相反[3]，教材按照“體—面—線”的線索安排圖形的認(rèn)識(shí)，不同于國(guó)內(nèi)其他版本，該教材在編排上先認(rèn)識(shí)面積（三年級(jí)上），再認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)（三年級(jí)下）。但教材順序的改變?nèi)匀粵](méi)有取得預(yù)期的教學(xué)效果。有研究指出，兒童在認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)和面積上所遭遇的認(rèn)知困惑和障礙，在一定程度上具有歷史相似性[4]。數(shù)學(xué)史還表明，在古代一段時(shí)期內(nèi)甚至有關(guān)數(shù)學(xué)家對(duì)周長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系都存在誤解，即認(rèn)為周長(zhǎng)長(zhǎng)短和面積大小之間具有同向變化關(guān)聯(lián)[5]。

認(rèn)知心理研究指出，在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中存在“編碼效應(yīng)”，即情境將影響學(xué)生的信息加工過(guò)程。為了克服記憶編碼中對(duì)特定情境的依賴性，避免將無(wú)關(guān)特征當(dāng)成概念的本質(zhì)特征，教師應(yīng)當(dāng)使用適當(dāng)?shù)淖兪角榫砙6]。本習(xí)題作為小學(xué)數(shù)學(xué)的一道傳統(tǒng)經(jīng)典習(xí)題，一直以來(lái)為學(xué)科教師所傳承和借鑒。這一習(xí)題兼有過(guò)程性變式和概念性變式的雙重功能：一是通過(guò)創(chuàng)設(shè)實(shí)際生活情境，將周長(zhǎng)概念蘊(yùn)含于實(shí)際問(wèn)題之中，要解決“誰(shuí)走得路程多？”需要轉(zhuǎn)化和抽象為 “一周的長(zhǎng)度即周長(zhǎng)”這一概念來(lái)解答；二是要理解各自周長(zhǎng)，需結(jié)合長(zhǎng)方形的特征且不為“面的大小”這一天然背景所干擾，通過(guò)理解和把握周長(zhǎng)概念的兩個(gè)要點(diǎn)，達(dá)到對(duì)概念對(duì)象的“守恒”，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)周長(zhǎng)的實(shí)質(zhì)性理解。實(shí)踐表明，變式教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解和能力形成的重要方法與手段。本題作為變式性習(xí)題，對(duì)促進(jìn)學(xué)生理解周長(zhǎng)實(shí)質(zhì)具有良好教學(xué)法價(jià)值。一方面，由于“面”和“線”共存于一個(gè)圖形之中，加上對(duì)圖形背景“面”的“夸張”處理，即用曲線分成兩個(gè)大小懸殊的面，從而干擾學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的清晰認(rèn)識(shí)，也就是對(duì)各自區(qū)域邊線的正確把握。通過(guò)本題的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，借助現(xiàn)代媒體技術(shù)演示有關(guān)“面”和“邊線”（即“一周”）的圖形要素，以觀察、對(duì)比、分離、比劃的方式引領(lǐng)學(xué)生區(qū)分“面”和“邊線”，從而達(dá)到對(duì)周長(zhǎng)概念的真正理解和把握。另一方面，這一習(xí)題也是一道在復(fù)雜情境中運(yùn)用概念命題的變式題，可以看作知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中的問(wèn)題解決，承擔(dān)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生高認(rèn)知水平的教學(xué)訴求。

經(jīng)過(guò)歲月沉淀的經(jīng)典習(xí)題往往蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)法價(jià)值，有教師把它作為“周長(zhǎng)的初步認(rèn)識(shí)”新知學(xué)習(xí)的情境引入題，如有教師這樣改編：甲、乙兩人按如圖的規(guī)定路線從A點(diǎn)出發(fā)回到A點(diǎn)，這樣的比賽公平嗎？這樣的設(shè)計(jì)與安排，其價(jià)值就在于：教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行心理化、問(wèn)題化的組織，即從小學(xué)生普遍具有的“公正判斷”的道德認(rèn)知出發(fā)設(shè)計(jì)問(wèn)題，旨在通過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突和初步思考，了解學(xué)生真實(shí)的教學(xué)起點(diǎn)，繼而揭示課題，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地投入到新知識(shí)、新概念的學(xué)習(xí)之中。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)概念之后，教師在練習(xí)環(huán)節(jié)加以呼應(yīng)，把它作為變式題再次引導(dǎo)學(xué)生加以思考與討論。這一前后呼應(yīng)的教學(xué)處理，既激發(fā)學(xué)生的求知欲望和內(nèi)在動(dòng)機(jī)，又通過(guò)知識(shí)應(yīng)用促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的切實(shí)理解和把握，體現(xiàn)經(jīng)典習(xí)題所承載的豐富的學(xué)科育人價(jià)值。

二、逆向型思考，感悟數(shù)學(xué)抽象的力量和價(jià)值

習(xí)題2：（分步呈現(xiàn)題目）

第一步（如圖2），出示4本相同的字典，并在下方顯示“4a”。教師提問(wèn)：“看到 4a，你想到它可能表示什么？”

第二步，媒體隱去4本字典的具體形象，放大4a，教師繼續(xù)提問(wèn)：“只看 4a，這個(gè)含有字母的式子還可以表示什么？”

弗賴登塔爾就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)指出：“與其說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。”[7]實(shí)際上，數(shù)學(xué)化包括兩個(gè)方面：一是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)考察現(xiàn)實(shí)，即學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考與研究各種現(xiàn)象，形成數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算的法則，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型[8]；二是運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，即讓學(xué)生將通過(guò)抽象化、符號(hào)化和形式化所獲得的諸如數(shù)學(xué)概念、方法以及模型等成果，應(yīng)用和遷移到具體問(wèn)題的解決過(guò)程中。用字母表示數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，教材一般借助典型加法模型結(jié)構(gòu)和乘法模型結(jié)構(gòu)的具體情境，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的概括過(guò)程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和建構(gòu)。實(shí)踐表明，這種經(jīng)歷抽象化、符號(hào)化和形式化的數(shù)學(xué)化過(guò)程不是一蹴而就的，而是一個(gè)逐漸達(dá)成的過(guò)程。數(shù)學(xué)史上從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程有時(shí)要經(jīng)歷漫長(zhǎng)的演變，甚至是充滿矛盾、曲折和反復(fù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，相當(dāng)不易。基于上述認(rèn)識(shí)，用字母表示數(shù)的新知建構(gòu)以及后續(xù)相關(guān)數(shù)學(xué)訓(xùn)練，通常都是凸顯從具體到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，往往忽視從抽象到具體這一相反的數(shù)學(xué)化過(guò)程。

本題同樣是一道變式性習(xí)題，在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時(shí)，作為練習(xí)鞏固階段的訓(xùn)練題，分兩步進(jìn)行：第一步旨在圍繞字典素材把含有字母的式子以開放題的形式進(jìn)行具體意義的回歸訓(xùn)練，即a可以表示其中一本字典的頁(yè)數(shù)、字?jǐn)?shù)、價(jià)錢、重量、厚度等，則4a分別表示4本字典的總頁(yè)數(shù)、總字?jǐn)?shù)、總價(jià)錢、總重量、總厚度等。第二步，隱去4本字典的具體形象，只留下代數(shù)式4a，那么這個(gè)式子表示的范圍則更廣、具體事例則更多。如有學(xué)生回答道：若a表示1袋大米的售價(jià)，則4a 表示這樣的4袋大米的售價(jià)；若a表示一輛汽車每小時(shí)行駛的路程，則4a 表示這輛汽車行駛4小時(shí)的路程，若a表示正方形的一條邊長(zhǎng)，則4a 表示這個(gè)正方形的周長(zhǎng)，等等。

可見，本題的數(shù)學(xué)訓(xùn)練價(jià)值在于改進(jìn)了以往數(shù)學(xué)教學(xué)中同方向、單通道的訓(xùn)練方式以及目標(biāo)視角，即以往教師比較重視從具體到抽象的概括過(guò)程，而忽視了從抽象到具體的想象、解釋過(guò)程。大家知道，用字母表示數(shù)是小學(xué)階段正式學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的開始，從算術(shù)思維到代數(shù)思維是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次飛躍和重要轉(zhuǎn)折。顯然，這正是本題所展現(xiàn)的學(xué)科教學(xué)法的價(jià)值所在。從數(shù)學(xué)思維方式而言，可逆性思維的訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生思維靈活性的重要途徑和手段。從抽象化的對(duì)象或結(jié)果，成為含有字母式子的抽象模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)具有高度的抽象性以及應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)。本習(xí)題的分步呈現(xiàn)處理以及不斷挑戰(zhàn)的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，既激發(fā)了學(xué)生的探求欲望和學(xué)習(xí)興趣，又彌補(bǔ)了以往數(shù)學(xué)訓(xùn)練的不足，在重視具體到抽象的過(guò)程的基礎(chǔ)上，增加新的教學(xué)功能。即引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從抽象到具體的解釋和想象過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的可逆性思維，以及提升學(xué)生的靈活性、創(chuàng)造性思維品質(zhì)；同時(shí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象的力量和魅力，體會(huì)代數(shù)思想和結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性。的確，本題是一道與具體教學(xué)內(nèi)容相配套的創(chuàng)新設(shè)計(jì)題，以開放題的形式引領(lǐng)學(xué)生多角度地思考與解答，并強(qiáng)調(diào)多解和求異，學(xué)生在解答過(guò)程中展現(xiàn)了與新知概念認(rèn)識(shí)過(guò)程相反的思維過(guò)程，豐富了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的方式。因此，在數(shù)學(xué)新課程的推進(jìn)過(guò)程中，這一習(xí)題逐漸被教師所認(rèn)可與推廣。

三、心理化處理，寓規(guī)律掌握于游戲活動(dòng)之中

習(xí)題3：轉(zhuǎn)盤游戲（如圖3）

出示游戲規(guī)則：一位小朋友轉(zhuǎn)動(dòng)，停止時(shí)指針?biāo)傅臄?shù)，再加上這個(gè)數(shù)的本身，和是奇數(shù)，就有獎(jiǎng)！和是偶數(shù)，就沒(méi)有獎(jiǎng)！

（1）當(dāng)有3-4位學(xué)生嘗試后，教師介入并提問(wèn)：為什么沒(méi)人得獎(jiǎng)？

（2）如何修改規(guī)則，才有可能獲獎(jiǎng)呢？

本題是“奇數(shù)和偶數(shù)”新授課教學(xué)中一位教師開發(fā)的一道習(xí)題（上教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣場(chǎng)“點(diǎn)圖與數(shù)”）。本節(jié)課的教學(xué)主要包括兩項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容：一是借助點(diǎn)圖初步認(rèn)識(shí)奇數(shù)和偶數(shù)，屬于概念學(xué)習(xí)；二是探索兩個(gè)自然數(shù)之和的規(guī)律性，即奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，屬于規(guī)則學(xué)習(xí)或規(guī)律性知識(shí)的學(xué)習(xí)。針對(duì)規(guī)律性知識(shí)的學(xué)習(xí)，教學(xué)中以“觀察猜想—舉例驗(yàn)證—尋找反例—得出結(jié)論—鞏固應(yīng)用”為推進(jìn)線索，基于學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)借助不完全歸納，引領(lǐng)學(xué)生開展知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)對(duì)規(guī)律性知識(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)在訴求。在鞏固應(yīng)用階段，教師精心設(shè)計(jì)本題作為考察學(xué)生是否真正達(dá)到對(duì)有關(guān)規(guī)律的理解和掌握。從教學(xué)效果來(lái)看，由于把教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的游戲活動(dòng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，學(xué)生的參與熱情較高。當(dāng)三位同學(xué)參與轉(zhuǎn)盤游戲后，都沒(méi)有得獎(jiǎng)。這時(shí)，教師及時(shí)介入并提問(wèn)：“為什么都沒(méi)有得獎(jiǎng)？”引導(dǎo)學(xué)生把對(duì)游戲本身的關(guān)注轉(zhuǎn)移到相關(guān)數(shù)學(xué)思考上，即引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察游戲活動(dòng)，用數(shù)學(xué)的思維思考游戲活動(dòng)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)與分析游戲活動(dòng)。當(dāng)學(xué)生用“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”的規(guī)律性知識(shí)，表達(dá)和分析出“這樣永遠(yuǎn)不會(huì)得獎(jiǎng)”時(shí)，教師及時(shí)介入：“如何修改規(guī)則，才有可能獲獎(jiǎng)呢？”課堂暫時(shí)恢復(fù)了平靜，學(xué)生經(jīng)過(guò)沉思后，又爭(zhēng)先恐后地提出修改建議，引發(fā)熱烈討論：①“可以這樣規(guī)定：和是奇數(shù)，沒(méi)有獎(jiǎng)！和是偶數(shù)，可以獲獎(jiǎng)！”“我認(rèn)為不好，這樣人人都會(huì)獲獎(jiǎng)！”②“每人轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，把兩次所指到的數(shù)相加，就有可能得獎(jiǎng)！”③“每人轉(zhuǎn)動(dòng)一次所指到的數(shù)和對(duì)面的數(shù)相加，可能得獎(jiǎng)！”“不對(duì)，一定不會(huì)得獎(jiǎng)！”“為什么？”“轉(zhuǎn)盤上相對(duì)應(yīng)的兩數(shù)恰好同為奇數(shù)，或同為偶數(shù)”。規(guī)則修改的互動(dòng)環(huán)節(jié)，再次圍繞著兩數(shù)之和的規(guī)律性知識(shí)引發(fā)學(xué)生開展積極思考和討論，在師生對(duì)話和生生對(duì)話中不時(shí)閃現(xiàn)出分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階認(rèn)知思維的火花。

數(shù)學(xué)教學(xué)游戲作為學(xué)科教學(xué)獨(dú)特的教學(xué)方式和訓(xùn)練方式，一直得到學(xué)科教師尤其是低年級(jí)教師的重視。正如維果茨基指出的：“游戲創(chuàng)造了兒童的最近發(fā)展區(qū)”，這一最近發(fā)展區(qū)意味著兒童在力所能及的范圍內(nèi)，在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行探索和思考。本題的關(guān)鍵是游戲活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)應(yīng)與學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握相關(guān)聯(lián)，為考察學(xué)生對(duì)規(guī)律性知識(shí)的理解與掌握程度，教師采用兒童最感興趣的游戲形式加以呈現(xiàn)與表達(dá)，把數(shù)學(xué)問(wèn)題置于游戲情境之中。游戲活動(dòng)是兒童最喜歡的教學(xué)形式，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行心理化與問(wèn)題化組織，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教與學(xué)的心理規(guī)律。借助游戲活動(dòng)，按照學(xué)生最感興趣或最樂(lè)于參與的方式表達(dá)出來(lái)，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)特別是數(shù)學(xué)訓(xùn)練活動(dòng)，做到既具“意義”又有“意思”，既獲得認(rèn)知發(fā)展又經(jīng)歷情感體驗(yàn)。在數(shù)學(xué)訓(xùn)練過(guò)程中，凸顯從程式化訓(xùn)練到游戲運(yùn)用的轉(zhuǎn)變，可以體現(xiàn)優(yōu)秀教師所具有的教學(xué)創(chuàng)新意識(shí)以及習(xí)題開發(fā)能力。

四、賦能型增值，變封閉習(xí)題為策略性開放題

習(xí)題4：有一板雞蛋，每個(gè)雞蛋的質(zhì)量如下：

56g，55g，54g，58g，55g，53g，54g。

這板雞蛋平均一個(gè)有多重？同一批次的100個(gè)雞蛋大約有多重？

本題是一位教師基于教材配套習(xí)題的改編題，原題只有第一問(wèn)。大多數(shù)教師認(rèn)為，這是一道常規(guī)的習(xí)題，其安排目的無(wú)非是鞏固平均數(shù)的一般計(jì)算方法，即方法1：（56+55+54+58+55+53+54）÷7=385÷5=55（g）。但在課堂實(shí)踐與交流活動(dòng)中，這位教師通過(guò)對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的教學(xué)法處理以及習(xí)題功能的挖掘與開發(fā)，使之由常規(guī)的封閉性習(xí)題變成一道策略性開放習(xí)題，其所蘊(yùn)藏的豐富的教學(xué)法價(jià)值被其他教師所理解和接受，逐漸成為平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義教學(xué)中的一道經(jīng)典習(xí)題。學(xué)生的解題策略與方法還有：

方法2：（如圖4）即通過(guò)“移多補(bǔ)少”的操作方法獲得答案55g；

方法3：50+（6+5+4+8+5+3+4）÷7=50+35÷7=55（g）；

方法4：（如圖5）

由于解題策略的開放性，在反饋評(píng)講的師生互動(dòng)交流中，充分展示了“一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的”學(xué)習(xí)過(guò)程[9]。為何一道普通習(xí)題在課堂上會(huì)展現(xiàn)出豐富的教學(xué)內(nèi)涵和目標(biāo)訴求，變得如此富有教學(xué)活力呢？

首先，是教師對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的過(guò)程性教學(xué)。平均數(shù)作為反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，在小學(xué)課堂一般是如何演繹的呢？據(jù)課堂觀察，隨著新課程的不斷推進(jìn)以及課堂教學(xué)交流活動(dòng)的不斷深入，學(xué)科教師大多能從實(shí)際問(wèn)題情境出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的操作活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。即在總數(shù)量不變的前提下，通過(guò)“移多補(bǔ)少”的方法，得到平均數(shù)，并把學(xué)生的操作活動(dòng)借助“條形統(tǒng)計(jì)圖”的方式給予展示，繼而感悟并初步理解平均數(shù)的意義。在此基礎(chǔ)上得出平均數(shù)計(jì)算的基本數(shù)量關(guān)系與一般方法：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)。這種基于學(xué)生認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)的教學(xué)法處理，彰顯了有經(jīng)驗(yàn)教師豐富的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，使得數(shù)學(xué)課堂充滿教學(xué)活力。

其次，是教師對(duì)習(xí)題所蘊(yùn)含的學(xué)科育人價(jià)值的深入挖掘。方法2在學(xué)生的解題過(guò)程中是否被允許？涉及到我們數(shù)學(xué)教師的教學(xué)理念問(wèn)題，隨著對(duì)“問(wèn)題解決”教學(xué)的深入探討，這樣的解題形式也逐漸被教師認(rèn)可與接受。實(shí)際上，方法2的解答中，體現(xiàn)了重視過(guò)程教學(xué)所給予的積極回報(bào)：一是學(xué)生感悟與理解了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，特別是在遇到一組很有特點(diǎn)的數(shù)據(jù)時(shí)，借助“移多補(bǔ)少”的方法加以解決，并留下了思維過(guò)程可視化的痕跡。當(dāng)然，其數(shù)學(xué)的原理或?qū)嵸|(zhì)在于“離差的代數(shù)和為零”。二是采用這種方法的學(xué)生，不是沒(méi)有掌握求平均數(shù)的一般方法，而恰恰是認(rèn)知水平高、且對(duì)平均數(shù)有深刻理解的那部分學(xué)生的個(gè)性化解答與表達(dá)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的“減縮”[10]。因而作為學(xué)科教師應(yīng)該給予充分理解與肯定。方法3和方法4，解題思路相同，即根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，分別以50和55為標(biāo)準(zhǔn)，把平均數(shù)的計(jì)算與學(xué)過(guò)的靈活運(yùn)算結(jié)合起來(lái)，同樣說(shuō)明學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的深刻理解并展現(xiàn)出相關(guān)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的核心目標(biāo)和學(xué)科內(nèi)在訴求。當(dāng)然，方法4只是個(gè)別學(xué)生的解答方法，涉及正負(fù)數(shù)知識(shí)，但值得稱道的是學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)用抵消思想給予順利解決。可見，學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展以及創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，所涉及的并非僅僅是題型的改變，更重要的是教學(xué)思想的轉(zhuǎn)變。一個(gè)問(wèn)題能否成為開放性問(wèn)題，不僅取決于問(wèn)題本身的特征以及學(xué)習(xí)者現(xiàn)有的知識(shí)準(zhǔn)備，更重要的是教師對(duì)所教知識(shí)的本質(zhì)理解、寬容態(tài)度以及站位視角。

再次，是教師對(duì)平均數(shù)意義教學(xué)的認(rèn)識(shí)高度以及相應(yīng)教學(xué)行為的表現(xiàn)。平均數(shù)從典型應(yīng)用題教學(xué)到作為統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)，經(jīng)歷了從理念到行為的變化過(guò)程。教師為平均數(shù)賦予統(tǒng)計(jì)意義的教學(xué)站位，體現(xiàn)了教師前后兼顧的教學(xué)理念以及教學(xué)行為，滲透平均數(shù)的重要用途之一——用樣本平均數(shù)估計(jì)、推斷總體平均數(shù)，初步體會(huì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷作用，發(fā)展學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決問(wèn)題的能力與意識(shí)。

由于教師充分挖掘習(xí)題潛在的教學(xué)與訓(xùn)練功能，讓一道普通習(xí)題成為“平均數(shù)”統(tǒng)計(jì)意義教學(xué)的多維度檢測(cè)題，即借助本題訓(xùn)練，從不同視角體現(xiàn)過(guò)程性教學(xué)的目標(biāo)訴求，實(shí)現(xiàn)對(duì)通則通法的理解與掌握，順應(yīng)靈活解決問(wèn)題的個(gè)性化需求。一道教材配套的普通習(xí)題，經(jīng)過(guò)教師的內(nèi)涵挖掘以及改進(jìn)設(shè)計(jì)，從訓(xùn)練功能上增厚學(xué)科育人價(jià)值，成就課堂教學(xué)的精彩，逐漸成為區(qū)域教師心目中的經(jīng)典數(shù)學(xué)訓(xùn)練題。

以上基于PCK視角就幾道小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題的教學(xué)法價(jià)值進(jìn)行了具體探討與分析，其主要目的在于幫助教師更新教育教學(xué)理念，改進(jìn)課堂教學(xué)行為，豐富教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)，從而提升教師的學(xué)科專業(yè)能力。可見，小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題承載著知識(shí)、教育、發(fā)展以及評(píng)價(jià)等諸多功能，蘊(yùn)含著豐富的學(xué)科育人價(jià)值。數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，選用、改編和創(chuàng)編數(shù)學(xué)習(xí)題既是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)，特別是數(shù)學(xué)習(xí)題的創(chuàng)新設(shè)計(jì)更需要教師的專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐智慧。讓經(jīng)典習(xí)題的研究與應(yīng)用成為豐富教師學(xué)科教學(xué)知識(shí)，激發(fā)課堂教學(xué)活力，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的有效策略與途徑。

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［責(zé)任編輯：陳國(guó)慶］