三版高中數學新教材“等比數列前n項和”內容的比較研究

楊曉云　韓龍淑

摘 要：等比數列前n項和是高中數學的核心內容，以人教A版、北師大版、蘇教版教材中的等比數列前n項和為研究對象，對三版高中數學教材中等比數列前n項和內容的呈現位置和順序、例習題數量和難度以及數學史的融入情況進行比較研究，以此提出在教學中要注重啟發學生感悟數學思想方法的自然生成過程；突出問題情境創設的豐富性；重視例習題選擇的典型性和層次性；加強相關數學史的合理融入等啟示與建議.

關鍵詞：高中數學教材；等比數列前n項和；比較研究

1 問題的提出

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版）》的頒布，高中數學教材也隨之進行了修訂.教材作為重要的教育教學資源和課程資源，是教師課堂教學與學生學習的重要載體［1］.在一標多本的大背景下，不同版本教科書的優勢需相互借鑒.因此，深入分析三版新教材的異同有利于更好地進行數學教學設計與實施.

等比數列前n項和作為高中數學的核心內容，公式推導過程中滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，對于學生的數學學習以及日常生活起著至關重要的作用［2］，有利于發展學生的數學運算、邏輯推理等學科核心素養.

在中國知網搜索，目前關于“等比數列前n項和”的教材比較研究的文章只有3篇，較為欠缺.對三版高中數學教材“等比數列前n項和”內容進行比較研究，有利于挖掘核心素養背景下教材內容的設計意圖，從而優化教師對于教材的深度理解和合理運用.

2 三版高中數學新教材“等比數列前n項和”內容的比較研究

2.1 內容的呈現位置和順序不同

從章節的呈現位置和順序看，人教A版教材將“等比數列前n項和”放在選擇性必修二第四章3.2節，北師大版放在選擇性必修二第一章3.2節，蘇教版放在選擇性必修一第四章3.3節.

2.2 課題導入的情境不同

人教A版通過“古印度國王獎賞國際象棋的發明者”的故事情境引入特殊等比數列前n項和問題，使得求等比數列前n項和的問題成為必要，激發學生的內在學習需求.

北師大版以“小林和小明做貸款游戲”為故事情境引入，通過小明得到的貸款數復習回顧等差數列的前n項和，再通過小明要還的貸款數引出等比數列前n項和S30=1+2+…+229，求S30采用從特殊到一般的方法［3］.

蘇教版直接提出問題：已知等比數列{an}的第一項a1、公比q，如何求出它的前n項和Sn？通過變形、轉化推導出公式.

北師大版的“貸款”游戲在運用等差數列的前n項和知識基礎上引入，要解決此問題，需計算出第10天、第20天、第30天小林貸款的錢數，即等差數列的前n項和，以及他還貸支出的錢數，即等比數列的前n項和，因此具有復習舊知（等差數列的前n項和）、導入新課（等比數列的前n項和）、承上啟下、自然過渡的特點.此設計使得新舊知識相互融合，學生容易將新知的學習與舊知的復習進行類比、聯想.人教A版則從趣味故事入手，以計算棋盤上的麥粒總和為突破點引入新知.

人教A版和北師大版通過引入趣味的故事情境，引發學生感受新學習內容產生的必要性，人教A版同時滲透了數學史，增強了學生的數學文化意識，激發學生內在的學習欲望.

2.3 公式推導中思路和方法的生成不同

人教A版教材將“古印度國王獎賞國際象棋的發明者”的故事抽象成數學問題：1+2+22+…+262+263粒麥粒有多少顆？它可以看成是一個首項為1，公比為q的等比數列.設等比數列{an}首項為a1，公比為q，它的前n項和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（1），類比等差數列前n項和公式的求法，即倒序相加法，倒序相加法的目的是湊出相同的項從而消項.觀察發現（1）式從第二項起，每一項都在前一項的基礎上乘了q，為了出現更多相同的項，在（1）式兩邊同乘以q，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn （2）.

比較兩式發現，（2）式的第一項是（1）式的第二項，（2）式的第二項是（1）式的第三項，通過（1）-（2）作差，得（1-q）Sn=a1-a1qn=a1（1-qn） ，當1-q≠0.即q≠1時，Sn=a1（1-qn）/1-q，當q=1時，等比數列為常數列，每一項都等于a1，則Sn=na1.這種通過Sn構造出qSn，再作差的方法叫錯位相減法，此方法是通過構造相同項，作差抵消，化繁為簡［4］.

構造（2）式的目的是使兩個等式中出現n-1個相同的項，實現了由繁到簡，由多到少，體現“化無限為有限”的策略［5］.

人教A版和蘇教版教材都體現了為何要在等式兩邊同乘以公比q以及錯位相減法是怎樣產生的思維難點，在北師大版教材中則未能體現.

2.4 蘇教版教材的例習題難度較高

“等比數列前n項和”在人教A版教材中占用篇幅10頁，其中例題6道，練習8道，習題12道.在北師大版教材中占用篇幅6頁，其中例題4道，練習4道，習題14道.在蘇教版教材中占用篇幅8頁，其中例題6道，練習9道，習題13道，如表2.人教A版教材將習題和復習題分為復習鞏固、綜合運用、拓廣探索三類，北師大版教材將習題分為“A組”“B組”，蘇教版將習題分為“感受·理解”“思考·運用”“探究·拓展”三個版塊，如表3北師大版教材分類更明確，拓廣探索類習題設計了開放探究性題目，增強習題的探索性和開放性，發揮了教科書引導學生積極思考和探究發現的價值，習題的代表性更強，題目類型更加豐富，注重習題與實際生活的緊密聯系；三個版本教材都十分重視習題的結構［6］.依據難度對習題進行分類，如表4.

例習題難度比較采用鮑建生的綜合難度模型，綜合難度模型包含五個難度因素：背景因素、探究因素、運算因素、推理因素、知識含量因素［7］.

為了便于各因素的觀察和比較，根據以上數據制作了例習題綜合難度的雷達圖.

可以發現：從整體上看蘇教版教材例習題綜合難度較大，三版新教材中“等比數列前n項和”的例習題在運算方面的數值最高，這與數列學習的特點有關，大都涉及公式的運用和符號運算，其次是知識含量方面，而在背景、探究及推理三方面的數值較低.說明教材注重對學生運算能力與知識綜合能力的培養，但在推理及數學探究能力的培養方面略顯不足.

2.5 相關內容融入數學史有所不同

在數學史滲透方面，人教A版教材通過創設國際象棋傳說中棋盤擺麥粒的問題情境，引入“等比數列前n項和”內容，并且在“閱讀與思考”部分介紹了中國古代數學家劉徽、沈括、楊輝求數列和的方法.北師大版教材和蘇教版教材在“等比數列前n項和”中數學史的融入比較欠缺.

數學史和數學文化的融入體現了中國古代數學家的勤于實踐、勇于探索、敢于創新的求知精神，這些數學文化知識、思想方法的形成與積淀過程，有利于讓學生充分感受數學文化的魅力.

3 啟示與建議

3.1 注重啟發學生感悟數學思想方法的自然生成過程

《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀中指出：基于核心素養的教學，要特別重視情境的創設與問題的提出.知識的形成過程也是發展核心素養的重要依托.在錯位相減法的生成過程中，教師從學生的認知規律和已有經驗出發，通過類比等差數列的求和公式，探索等比數列求和公式的推導方法，引導學生理解問題的本質，提升思維的高度，符合學生的認知結構特點和思維發展規律［8］.人教A版教科書重視啟發引導學生感悟錯位相減法的自然生成，北師大版和蘇教版教材則有所欠缺.在學生經歷探究過程后，教師應及時整合知識內容，使學生形成結構化的認知體系，將數學思想方法與知識系統的學習相結合，將鞏固基礎知識與提高知識的綜合性、應用性相結合.

對于乘以公比q之后錯位再相減問題，可以引導學生發現從第二項起，后一項是在前一項的基礎上乘以q得到的，前一項乘以q變為后一項，每項乘以公比q實質是為了出現更多相同的項.通過環環相扣、逐步深入的問題串激發了學生的思維，學生在探究過程中感悟了特殊到一般、類比、加減消元、分類討論等數學思想方法，提升了邏輯推理和數學運算等核心素養，學生通過真實的探究活動，較好地突破了難點，即“為什么等式兩邊同乘以公比q？”［9］教師向學生提出一系列問題，讓學生自主地觀察發現、比較、思考和探究，進而自然地引出錯位相減法，提高學生類比、分析、綜合的能力，使學生體會到知識的發生發展過程.

3.2 突出問題情境創設的豐富性

人教A版通過使用“古印度國王獎賞國際象棋的發明者”的故事情境引入，進而把情境中的問題轉化為求等比數列前n項和問題；北師大版通過“小林和小明做貸款游戲”的故事情境，根據所要還貸款錢數引出等比數列前n項和問題.人教A版和北師大版教材都以實際問題情境導入，突出等比數列前n項和產生的現實需要.

教師是學生思維向導的主角，創設問題情境有助于更好地集中學生的注意力，誘發學生思維的積極性，引起學生更多的聯想，調動起學生已有的知識、經驗、感受和興趣，從而積極地參與知識的獲取過程、問題的解決過程［10］.核心素養視角下的數學問題情境創設需要根據不同知識內容的特點及學生學習需要，向學生呈現多樣化的問題情境，可通過設置探究式問題進行情境設計；通過組織教學活動構建問題情境；立足學生興趣進行問題情境創設以及利用多媒體創設動態問題情境［11］.

3.3 重視例習題選擇的典型性和層次性

人教A版在習題綜合運用的第九題設置了運用等比數列前n項和求流行病感染輪數和天數，北師大版在B組習題第一題設置了放射性物質衰減情況的題目，蘇教版在例5設置了銀行貸款的題目，突出了等比數列前n項和在實際生活中的廣泛應用，如貸款、醫療診斷、工廠產量等都要用到等比數列前n項和的知識，使學生體味到等比數列前n項和的應用價值，人教A版在拓廣探索習題中設計了數列求和的證明題，有利于發展學生的邏輯推理素養.

人教版的習題設置了“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次，北師大版的習題分為“A組”和“B組”兩個層次，蘇教版習題分為“感受·理解”“思考·運用”“探究·拓展”三個層次，教師可以根據學生的不同情況布置分層練習，從而達到因材施教、滿足學生個性化發展要求.

3.4 加強相關數學史的合理融入

數學史是提升學生數學素養的重要依托，教師在數學史材料的選取過程中，需遵循科學性、趣味性、人文性、有效性的原則，重視中國優秀傳統文化中的數學元素，促進學生德智共同發展［12］.人教A版在“等比數列前n項和”開頭介紹了古印度國王獎賞國際象棋發明者，進而求棋盤麥粒數的故事，有助于提升學生數學抽象和數學建模的核心素養.在閱讀與思考欄目展示了中國古代數學家求數列和的方法，通過利用幾何圖形與幾何模型進行求和公式的推導，培養學生的直觀想象素養，在數學教材中融入數學史有利于培養和提高學生的數學核心素養［13］.在三版新教材中“等比數列前n項和”比較研究的基礎上，需要整合各版本的優勢，從而創造性地運用教材.

參考文獻：

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［13］ 王保紅，郭甜甜，陳夢瑤.高中數學必修教材中數學史內容的比較研究——以人教A版和北師大版為例［J］.中學數學，2019（13）：24-27.

基金項目：山西省研究生精品教學案例項目 “數學課例分析”（編號：2023AL35）.

韓龍淑為本文通訊作者.