培養模型觀念的初中函數教學實踐

繆娟

摘 要：初中階段培養模型觀念，需要借助具體的教學內容，如“數與代數”中的方程、不等式、函數，“圖形與幾何”等.針對“用一次函數解決實際問題”一課進行教學實踐，既關注數學與實際的結合，讓學生體會一次函數是刻畫現實世界數量關系的有效數學模型，加深對模型觀念的認識與理解，又讓學生借助函數圖象分析問題，形成解決問題的思路，發展模型觀念，會用數學語言表達現實世界.

關鍵詞：模型觀念；一次函數；函數圖象

《義務教育數學課程標準（2022年版》）明確指出函數的教學目標：能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系，理解函數值的意義；能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，并會求函數值；能結合函數圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析.由此可見，實現目標的關鍵能力是：“關注數學知識與實際的結合，讓學生在實際背景中理解數量關系和變化規律，經歷從實際問題中建立數學模型、求解模型、驗證反思的過程，形成建模觀念.”模型觀念作為初中階段的核心素養之一，應在平時教學實踐中積極嘗試，促其落地生根.

1 教學價值

“用一次函數解決實際問題”是初中數學（蘇科版）首次運用函數知識解決實際問題的標志性內容，圍繞學生進入初中后“用圖象解決問題”的難點，筆者針對這一難點，以行程問題為載體進行一次函數應用專題復習教學實踐，期望幫助學生打開突破口，培養模型觀念和應用意識，并且一次函數應用題是歷年來南京中考的常考題型，它常把應用題與一次函數融合在一起，又高于應用題，它需要學生具備一定的綜合能力.

2 問題思考

結合學生在解決與實際生活密切聯系的一次函數應用題時，可發現其主要的困惑有：（1） 不知道先去想象實際情境，不能還原實際情景，導致不知道題目說的是什么意思；（2） 不知道從圖象上何處獲取信息，怎樣獲取信息；（3） 習慣用算術或方程方法，不知道建立函數模型解決問題，所以對于過程比較復雜，量的變化比較多的題目，無法理順這些量之間的關系.然而解決這類問題往往需要通過讀圖識圖、借助數形結合來幫助學生分析、解決問題.鑒于此，教學實踐分為從以下三個活動進行.

3 教學實施

3.1 基于理解，緊扣變量，看圖說話

問題1：請你把這個故事說完整.

圖中的線段OA和折線OBCD分別表示一列慢車和一列快車沿直線從甲地開往乙地……

學生1：在一條直線上有甲、乙兩地，一列快車和一列慢車從甲地同時出發開往乙地，慢車以50km/h的速度勻速行駛了6小時到達，快車以100km/h的速度勻速行駛共3小時到達乙地后停留了1小時，再以150km/h的速度勻速行駛2小時返回，慢車到達乙地時快車正好返回到甲地.

教師追問：要想把這個故事說完整，你是如何分析函數圖象，從圖中獲取信息的？

教學說明：引導學生根據圖象把故事說完整再進行追問，師生交流得到從圖象獲取信息的關鍵是基于對函數圖象的三個理解：首先要理解變量x、y的實際意義；再理解特殊點的實際意義即根據特殊點的坐標明確每段路徑中的時間、速度等相關信息；最后理解點與點之間的關系即實際情景每段具體的行駛路徑.“看圖說故事”活動的設置是將實際生活情境與圖象進行對接，讓學生學會閱讀圖象.

3.2 依據經驗，借助手段，轉化信息

問題2：請畫出一些關鍵時刻兩車行駛的線段示意圖.

快車、慢車相遇時線段圖

教師追問：選擇的時刻和圖象中哪個點是對應的？為什么？

學生2：因為變量y表示兩車距離甲地的距離，所以當兩車距離甲地的路程相等時，即兩車相遇.

教學說明：根據以往的學習經驗，對于行程問題可以借助線段示意圖幫助理解兩車之間的行駛路徑，把函數圖象上某一特殊時刻的實際情景用線段圖來表示，從而把圖象信息向實際情景進行轉化，進而深刻理解題意，幫助學生強化綜合與分析的能力.

3.3 聚焦探索，注重提煉，應用信息

問題3：請提出一些問題并解決.

學生3：求出各段的函數表達式？

慢車：yOA＝50x（0≤x≤6）.

快車：yOB＝100x（0≤x≤3），

yBC＝300（3＜x≤4），

yCD＝300-150（x-4）（4＜x≤6）.

教學說明：學生利用已知點的坐標，運用待定系數法或數量關系法都可以求出每段圖象的函數表達式及其它各點坐標，求出相關圖象的函數關系式，后面可以利用函數關系式解決實際問題.

學生4：兩車何時相遇？

當yCD＝yOA時，列得方程50x＝300-150（x-4），解得x＝4.5，即兩車在出發4.5小時后相遇；

教學說明：求兩車相遇的時間就是求圖象上點P的橫坐標.

學生5：兩車何時相距50、100、150km等等？

以相距100km為例：

當0≤x≤3時，列得100x-50x＝100，解得x＝2；

當3＜x≤4時，列得300-50x＝100，解得x＝4；

當4＜x≤6時，列得50x-［300-150（x-4）］＝100，解得x＝5.

教師追問1：“兩車之間的距離”能在圖象上表示出來嗎？

教師追問2：這些問題如何變成一個問題？能不能從函數的角度研究這個問題？

教學說明：“兩車之間的距離”就是在橫坐標相同時，圖象上的點的縱坐標的差，只要把兩車的函數關系式相減，即可表示出兩車之間的距離.利用函數模型解決問題就是將實際問題轉移到圖象上，把問題中涉及的量轉化為圖象上點的坐標，再利用函數關系式可以快速求得結果，既直觀又簡便.

學生6：兩車之間的距離s（km）隨x的變化而變化，s（km）是x（h）的函數.

教師追問3：如何畫出s（km）與x（h）函數圖象？

教學說明：s（km）與x（h）之間的函數是兩個一次函數的差，所以整個過程s（km）與x（h）之間的函數仍然是一次函數通過對圖1的分析可知圖象分為四段，確定出每一段與每一段之間的拐點的時間與距離，第一段（OB段）：兩車從甲地同時出發，圖象看出兩車之間的距離在不斷增大，直到快車到達乙地，此時兩車之間的距離為150km對應的時間是0≤x≤3；第二段（BC段）：快車到達乙地后停留了1小時，兩車之間的距離在慢慢變小，直到快車返回甲地，對應的時間是3＜x≤4；第三段（CP段）：兩車相向而行，直到相遇，這時s＝0km，對應的時間是4＜x≤4.5；第四段（PD段）：兩車相遇后繼續行駛，快車到達甲地同一時刻慢車到達乙地，這時兩車相距300km，對應的時間是4.5＜x≤6根據以上信息可描出相應的點，就可以畫出圖象.

4 對培養模型觀念的函數教學思考

4.1 整體教學是模型觀念培養的重要教學方式

《課標（2022年版）》要求數學教學要重視圍繞單元進行整體教學設計，既要體現各學科知識之間內在的邏輯關系，又要關注數學知識點與核心素養之間的外在關聯.本節課例是一次函數的應用，教師需要引導學生站在整個“一次函數”單元乃至“函數”大單元的高度，合理建構一次函數模型，運用一次函數的圖象與性質解決實際問題，加深學生對一次函數的理解與認識.學生在本章的學習和研究中，已經掌握了一些應用數學模型解決現實問題和建構數學模型的基本路徑，本節課的教學重難點是借助函數圖象解決較為復雜的現實問題，幫助學生進一步加深和鞏固數學模型的意識和能力.案例中學生4和學生5提出的問題都是可以用方程模型來解決的，甚至還有學生運用算術方法，但在教師的追問下，引導學生深入思考和體會“兩車之間的距離s（km）隨x（h）的變化而變化，s是x的函數.”這樣，教師逐步引導學生站在模型觀念的高度，結合已有經驗，運用不同模型解決問題，最終回歸函數模型.

4.2 “自”構情境，注重數學化過程，發展模型觀念

發展模型觀念需要選擇好的載體，而好的載體依托好的情景，教師可讓學生自主搭建情景，使其更貼近學生的最近發展區.問題1要求學生自主設計問題情景，目的是逆向為學生提供模型建構過程.活動過程中每一個同學都有話可說，讓學生的思維在與同伴的對話和老師的交流中涌出來.這一過程是用函數解決問題的逆向思考，培養學生的發散思維，進而加深對數學模型的理解，積累建模經驗，從而實現教學不僅能從條件推演結果，也可以從結果想象條件，這是數學建模的重要方法.

4.3 自主探究，提升“四能”，發展模型觀念

模型建構的過程離不開學生的問題意識，教師設置自主探索活動，由學生自己提出不同思維層次的問題.比如學生3的問題突出基礎，利用已知點的坐標和待定系數法或數量關系法，求出每段的函數表達式及其他各點坐標；學生4、5和6三位同學能夠將實際情境與圖象結合，挖掘圖象信息，提出了行程函數問題與方程、不等式的密切聯系的問題；最后教師引導學生體會用函數的觀念解決問題，利用圖象直觀看出兩人相距問題，其實就是在橫坐標相同時，圖象上的兩點的縱坐標之差，利用函數關系式運算即可得到結果.模型的建構需要學生先發現問題和提出問題，還需要教師適當引導或讓學生經歷猜想討論等活動.在進一步培養模型觀念的過程中，“四能”所涉及的能力自然得到提升，且提升效率較高.

4.4 滲透數學思想方法，發展模型觀念

近年來，中考對函數的考查開始回歸自然、回歸函數的本質，重視對函數建模思想和函數對稱性、增減性及最值等主要性質實際應用的考查，較好地體現了“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”這一知識形成與應用過程，對一線教師起到了正確的導向作用.在教學中引導學生自主建構模型、準確理解模型、熟練應用模型，既有利于學生深刻認識相關內容的核心，還能少走彎路，減少負擔.函數模型思想和數形結合思想的重要性無須再多贅言，我們要將數學思想在此題及拓展變式問題的解決過程中.

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基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題《基于“四能”的初中數學模型建構的案例研究》（批準號：B/2021/02/170）.