基于“三層面”看人教A版新教材變化

蘭素梅　孫海

摘 要：基本不等式是高中階段的重難點之一，具有工具性作用，在解決函數最值、實際問題等方面都具有重要的作用，同時也可以發展學生的數學抽象、數學運算等核心素養.因此，以新、舊人教A版教材為例，從教材參考依據、結構編排、內容呈現、課后習題四個方面對基本不等式的變化作出分析，并從“知識、學生、教學”三個層面分析其變化原因.

關鍵詞：新教材；舊教材；對比分析；基本不等式

基本不等式是高中數學最重要的內容之一，具有廣泛的應用性和強大的拓展性，常常涉及到化歸與轉化、數形結合等思想，由基本不等式可以推導得出柯西不等式、琴生不等式、排序不等式等.同時，基本不等式也蘊含著一定的數學文化和數學核心素養.在最新一次教材修訂中，基本不等式的位置、結構、內容、例題等方面都發生了一定的變化，下面以舊人教A版（2007年第3版必修5，下同）與新人教A版（2019年第1版必修1，下同）為例，對“基本不等式”一節進行比較分析.

1 人教A版新、舊教材變化分析

1.1 教材依據變化

數學課程標準是數學教材編寫的依據，是教師進行教學的直接材料，因此，在對新舊人教A版教材進行對比之前，也要對新、舊高中數學課程標準進行比較分析.

由表1可知，新課標對于基本不等式的證明過程不做要求，更加注重基本不等式的應用性，強調不等式中所蘊含的數形結合、化歸與轉化、消元等思想，將其作為初高中知識的銜接過渡放在“預備知識”中，在日后學習中可以輔助解決其他問題.而舊課標更加重視基本不等式與實際生活的聯系，希望學生能從實際情境中抽象出基本不等式，以培養學生用數學解決問題的能力.整體而言，舊課標在基本不等式一節中更加注重“雙基”的培養，而新課標在這一節中更加注重“四基”的培養.

1.2 結構編排變化

從教材序列上看，舊教材將基本不等式編排在必修5第三章，而新教材結合不等式的相關內容將其編排在必修一第三章，與前兩章一起構成高中數學的“預備知識”，有助于學生與初中所學知識聯系起來，體現出新教材更加注重初高中階段的銜接.

從教材章節上看，新、舊教材在這一章節中知識點存在差異，魏嘉通過ISM法對新、舊教材這一章節的核心要素進行分析，得出舊教材核心要素有18個，而新教材核心要素只有11個［2］.首先，新教材刪去了“二元一次不等式（組）簡單的線性規劃問題”一節，本節內容與高等代數相關，學生在學習的時候往往不能理解線性規劃真正的意義，大部分學生只是機械地操作教師教授的步驟.其次，新教材利用等式性質幫助學生理解不等式性質，培養學生類比的思維，且由于新教材將本章內容提前至必修一第三章，而舊教材不等式性質第8條涉及到指數運算的相關知識，故新教材對其進行了刪除.最后，新教材將“基本不等式”一節提前至本章第2節，并且將“一元二次不等式及其解法”改為“二次函數與一元二次方程、不等式”，體現了函數、方程、不等式三者之間的密切聯系.

1.3 內容呈現變化

首先，舊教材以數學大會會標和趙爽弦圖得到重要不等式，在此基礎上通過對a2和b2進行替換，得到基本不等式.新教材沒有改變重要不等式的引入方式，但是將重要不等式放在基本不等式一節之前，在用作差法比較兩個實數的大小之后放入重要不等式，緊接著用作差法證明重要不等式，體現了作差法的應用，為后面用分析法證明基本不等式作鋪墊.在基本不等式一節引入上，新教材提出“乘法公式在代數運算中有著重要作用，是否存在一些不等式在解決不等問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢”，明確了基本不等式的研究意義［3］.

其次，新、舊教材在得到基本不等式之后，新教材對基本不等式的代數意義進行了說明，而舊教材是在用分析法證明了基本不等式以及得到基本不等式的幾何意義之后，以批注的形式說明算術平均數和幾何平均數，并未對基本不等式的幾何意義進行說明.

1.4 課后習題變化

從習題數量上看，新教材相較于舊教材數量有所增加.從題型上看，新、舊教材所含題型無異，但舊教材更加側重于計算題和應用題，而新教材增加了些許證明題，更加突出了基本不等式在數學中的應用.舊教材在習題中更加注重培養學生用數學解決實際問題的能力，而新教材不僅注重培養學生用數學解決實際問題的能力，還注重培養學生的數學思維能力和數學思維方法，這也是新教材加入證明題的原因之一.從習題層次上看，舊教材將課后習題分為“A組”和“B組”，“B組”相較于“A組”難度有所上升.“A組”題量更大，更加注重基礎，滿足更多學生的需求；“B組”能夠讓學生掌握基礎的情況下繼續提高數學思維能力.新教材仍然分層設計習題，但將課后習題設置為“復習鞏固、綜合應用、拓廣探索”三個層次，這三個層次難度層層遞進，相較于舊教材更加細致，能滿足各個水平階段學生的需求，也更有助于教師測評學生對于本節知識的掌握情況.

2 人教A版新、舊教材變化的原因

2.1 知識層面

新教材將基本不等式一節提前至必修一第二章，筆者認為主要有以下原因：第一、基本不等式具有基礎工具性的作用，將基本不等式提前至預備知識有助于學生后續用基本不等式解題.第二、在本章中，相等關系和不等關系學生在初中已經初步學習過了，所以將其放在預備知識中也是合理的，而在本章第一節講解不等式性質時，新教材類比等式性質幫助學生理解不等式性質，這種類比學習的思想在高中階段也是常用的方法.第三、新教材在編排不等式一章時，延續了初中研究等式內容的順序，即“現實背景—概念—性質—解法—應用”，所以將不等式一章提前是符合學生學習規律的.

2.2 學生層面

新課標強調數學要發展學生的核心素養.舊教材對于基本不等式一節，更加注重數學與生活的聯系，培養學生用數學解決實際問題的能力，缺乏對于學生數學核心素養的培養.新教材不僅注重培養學生用數學解決實際問題的能力，還注重發展學生的數學核心素養以及數學思維方法.

2.3 教學層面

舊教材將基本不等式編排在必修五最后一章，與其他部分脫離，難以發揮基本不等式的工具性作用，不利于教師教學.新教材將基本不等式提前至預備知識，學生在后續學習中可以充分發揮基本不等式的工具性作用.同時，基本不等式一節中蘊含著數形結合的思想、函數思想以及數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養，為后續學習作鋪墊.新教材將不等式一章提前至預備知識中，有利于在教與學的過程中明確基本不等式的地位和作用.

3 總結

通過對新、舊人教A版教材結構編排、內容呈現、習題對比分析，發現在結構編排上，新教材更加注重初高中知識的銜接，有利于學生的整體知識建構；在內容呈現上，新教材將重要不等式的推導放在了前面一節中，與不等式的性質聯系更加密切，同時，在基本不等式的引入上，新教材類比乘法公式在代數運算中的作用，更加明確基本不等式的研究意義.從整體上看，雖然新教材對于本節乃至本章的課程廣度和課程深度更低，但分給這一章的課時較少，所以課程難度相較于舊教材有所上升，這對于教師專業素養也做了更高的要求.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］ 魏嘉.高中數學人教A版新舊教材“不等式”部分比較研究［D］.哈爾濱師范大學，2021.

［3］ 張小吉.高中數學必修教材“不等式”內容的比較研究［D］.福建師范大學，2020.