應用兩個計數原理解決問題的方法和策略

■河南省鄭州市教育局教學研究室 馮瑞先

■河南省鄭州市第二高級中學 馮麗娟

當我們面對一個復雜問題時,一般通過分類或分步將它分解成一些簡單的問題,先解決簡單問題,然后再將它們整合起來使整個問題得到解答,達到以簡馭繁的效果,這是一種重要而基本的思想方法。兩個計數原理就是這種思想方法的體現,分類加法計數原理對應著“分類”活動,而且每一類方法都能完成相應的事情;分步乘法計數原理對應著“分步”活動,而且只有完成每一個步驟才能完成相應的事情。排列、組合是兩類特殊的計數問題,排列的特殊性在于排列中元素的“互異性”和“有序性”,組合的特殊性在于它只有元素的“互異性”而不需要考慮順序。排列與組合之間有緊密的聯系,從n個不同元素中取出m(m

下面從三個角度介紹應用計數原理解決問題的方法和策略。

一、用“五步自問法”構建計數問題的應用路徑

在初學階段應用計數原理解決問題時,一定要構建五步自問路徑:(1)要完成的這件事情是什么? (2)完成這件事情分幾類(步)?(3)每步能否獨立完成這件事情? (4)每步中分別有幾種不同的方法? (5)完成這件事情共有幾種不同的方法? 同學們的五步自問實質上是樹立仔細審題的意識,有助于認識計數原理中“分類”“分步”的本質,避免計數時重復與遺漏。

二、將“列舉法”作為分析和解決計數問題的基本方法

求解計數問題時,我們需要先列舉出一些結果進行分析,從而找到一般思路。如果遇到情況較為復雜,即分類較多,標準也較多,同時所求計數的結果不太大時,就利用表格、樹狀圖將其所有可能一一列舉出來,會達到出奇制勝的效果。

例 1[2020年全國Ⅱ卷(文數)]如圖1,將鋼琴上的12 個鍵依次記為a1,a2,…,a12。設1≤i

圖1

A.5 B.8 C.10 D.15

解析:本題是計數原理在音樂中的應用,我們先要理解原位大三和弦、原位小三和弦的數學定義,實質是在1 到12 這12 個整數中選取三個不同的整數k、j、i,其 中k最 大,i最小。原位大三和弦滿足k-j=3,j-i=4,即k-i=7,可以列舉出所有k、j、i的取值,我們可以從最小數i分析,i的取值可以為1、2、3、4、5,所以這12個數構成的原位大三和弦的情況有:

i=1,j=5,k=8;i=2,j=6,k=9;i=3,j=7,k=10;i=4,j=8,k=11;i=5,j=9,k=12。共5種。

同理,原位小三和弦滿足k-j=4,j-i=3,即k-i=7,這12個數構成的原位小三和弦的情況有:

i=1,j=4,k=8;i=2,j=5,k=9;i=3,j=6,k=10;i=4,j=7,k=11;i=5,j=8,k=12。共5種。

所以原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為10,故選C。

三、用模型化思想思考問題,掌握典型問題的技巧解法

常見計數問題,都可以化歸為元素和位置的對應關系問題,對于一些復雜的計數問題,同學們要掌握思考問題和解決問題的方法策略,從實際背景中抽象出數學問題,從元素和位置的角度模型化理解問題。

模型1:有限制條件的排列問題——特殊優先法。

限制條件一般指題中的特殊元素或者特殊位置,所以可以從優先安排特殊元素或特殊位置兩種角度解題。

例2從6名運動員中選出4名隊員參加4×100 米接力賽,如果甲、乙兩人都不跑第一棒,那么不同的參賽方案有( )。

A.180種 B.240種

C.300種 D.360種

解析:本例元素多位置少,利用先選后排的解題思路,可以從特殊元素或特殊位置兩種角度思考問題。

方法一(元素分析法):可根據甲、乙均不參加;或甲、乙中至少有1人參加分成三類。

由分類計數原理,可得共有24+144+72=240(種)方法,選B。

方法二(位置分析法):本題中的特殊位置是第一棒,所以可以先排第一棒這個位置,再排其他位置。

第二步:排其他三棒,在剩余的5個元素中選取3個元素排3個位置,有種排法。

模型2:相鄰問題——捆綁法。

例3用1,2,3,4,5這5個數字組成沒有重復數字的五位數,其中2和3相鄰的五位偶數有多少個?

解析:由于偶數的個位可以排2或4,所以根據個位數字分成兩類。

表1

①若2在個位,此時3在十位,只需用1,4,5這3個數排其他3個位置,這樣的五位數有=6(個)。

②若4在個位,此時2,3相鄰,需要分兩步完成,第一步把2,3捆綁,有種排法,第二步就相當于3個元素排3個位置,有種排法,所以這樣的五位數有(個)。

表2

由分類計數原理知,共有6+12=18(個)滿足條件的五位數。

模型3:不相鄰問題——插空法。

例4現有4名男同學,3名女同學站成一排,任何2名女同學彼此不相鄰,有多少種不同的排法?

解析:用插空法處理問題時,需要插空的元素一般都是最后一步排,體現分步原理。

模型4:定序問題——消序法。

例5書架上原來擺放著6本書,現要再插入3本書,則不同插法的種數為( )。

解析:(方法一)9本書排成一排有種排法,包含原來的6本書產生的種排法,由于原來的6 本書已經擺放好,故可以從9本書的全排列結果中消去原來6本書的排法數,即符合題意的插法種數為選C。

此種解法是定序問題的一般處理思路,此題還可以從以下兩種角度解決。

(方法二)9 本書排成一排,相當于9 個位置,原來6本書順序不變,故此題相當于在9個位置中選3個位置排3本書,有種排法,而原來的6 本書只有一種排法,故共有方法。

(方法三)因為要插入3 本書,故分三步完成:第一步,插第一本書有7 種方法;第二步,插第二本書,有8種方法;第三步,插第三本書,有9種方法。由分步計數原理知,共有7×8×9種方法。

模型5:至多至少問題——間接法。

例63個女生和5個男生排成一排,如果兩端不能都排女生,那么有多少種不同的排法?

解析:本例中“兩端不能都排女生”的意思是“兩端至少有一個男生”,我們可以根據兩端所排人員是男生還是女生進行分類,因此就有了第一種解法——直接法。也可以先不考慮限制條件,把所有的排列數算出,再從中排除全部不符合條件的排列數,即減去“兩端都排女生的排列數”,這種方法實際是對所求解問題的等價轉化,我們稱為“間接法”,也稱為“去雜法”。一般直接法分類比較麻煩時,可以考慮間接法,但必須注意去雜時要不重復,不遺漏。

方法一(直接法):①如果首位排了男生,則末位就不再受條件限制了,這樣可有種不同的排法;

模型6:分配問題——先組后排法。

命題角度①不同元素的分組、分配問題

例7有6本不同的書,分為3組,問:在下列條件下各有多少種不同的分組方法?

(1)每組2本;

(2)一組1本,一組2本,一組3本;

(3)一組4本,另外兩組各1本。

解析:本題屬于分組問題,其中第一問是平均分組,第二問是不平均分組,第三問是局部平均分組。

(1)有同學這樣想,6 本書分成3 組,每組2本就是從6個不同元素中依次選出2個元素,需要分三步完成:第一步,從6 本中選出2本;第二步,從剩余4本中選出2 本;第三步,把剩余2 本拿出來。由分步計數原理知,有種方法。是不是6 本書平 均 分 成3 組的結果數呢? 我們列舉出所表示的分組中的部分結果,進行分析。

設6本不同的書為a,b,c,d,e,f,將它們平均分成3 組中有一種分組結果為:ab,cd,ef。在進行分組的過程中,我們發現包含了ab,cd,ef;cd,ab,ef;ef,cd,ab;ab,ef,cd;cd,ef,ab;ef,ab,cd六種結果。這六種結果實際是一種分組結果,它們是由ab,cd,ef這三個組合結果因選取出的順序不同而產生,所以中包含了一種分組結果的種排列數,應該從的選取結果中消去同一分組中3組元素的順序不同產生的結果,故將6 本書平均分成3組的方法有

以上解題過程可以歸納為將幾個不同元素的平均分組過程,平均分為m組需要在分步選取的基礎上除以。

(2)一組1 本,一組2 本,一組3 本 的分組就是分三步選取,共有60(種)方法。

(3)方法一:一組4 本,另外兩組各1 本的分組仍然理解為分三步完成,由于其中有兩組的數目是相同的,我們稱這類問題為局部平均分組,需要在的選取結果上除以,消去平均分的2 組的不同順序結果,所以分組方法有

方法二:本題由于其中兩組都是1本,即元素自然成組,所以我們只需要分出4 本書組成的一組,其他2本書自然成2組,即用=15表示結果。

例8有6本不同的書,分給甲、乙、丙3人,問“在下列條件下各有多少種不同的分配方法?

(1)甲2本,乙2本,丙2本;

(2)甲1本,乙2本,丙3本;

(3)甲4本,乙、丙每人1本;

(4)每人2本;

(5)一人1本,一人2本,一人3本;

(6)一人4本,其余兩人每人1本。

解析:本題屬于分配問題,其中第一問、第二問、第三問由于每人分的本數固定,屬于定向分配問題,由分步乘法計數原理直接分配。

第四問、第五問、第六問屬于不定向分配問題,分配給3人,同一本書給不同的人是不同的分法,可看作兩個步驟:先分為3 組,再把這3組分給甲、乙、丙3人。

命題角度② 相同元素的分配問題

例9將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子,求下列方法的種數:

(1)每個盒子都不空;

(2)恰有1個空盒子;

(3)恰有2個空盒子。

解析:(1)6 個相同小球放入4 個盒子,即把6個小球分成了4份,每個盒子都不空相當于把6 個相同的小球排成一行(由于元素相同,排法只有1種),然后在6個小球之間的5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板,每隔開的一份對應一個盒子,有(種)方法。

(2)恰有1 個空盒子,隔板分兩步進行:首先在首尾兩球外側放置一塊隔板,并在5個空隙中任選2 個空隙各插一塊隔板,如|0|000|00|,有種插法;然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒,如|0|000||00|,有種插法。

(3)恰有2 個空盒子,隔板分兩步進行:首先在首尾兩球外側放置一塊隔板,并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板,有種插法,如|00|0000|;然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒。

①這2塊板與前面3塊板形成不相鄰的兩個盒子,如||00||0000|,有種插法。

②將2塊板與前面3塊板之一并排形成相鄰的2個盒子,如|00|||0000|,有種插法。

歸納小結:解決相同元素分配問題的常見處理策略為隔板法。

(1)如果將放有小球的盒子緊挨著排成一行,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干塊隔板,相鄰兩塊隔板形成一個“盒”。每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法,此法稱之為隔板法。隔板法專門解決相同元素的分配問題。

(2)隔板法的解題步驟:

①定個數,確定名額的個數、分成的組數以及各組名額的數量;

②定空位,將元素排成一列,確定可插隔板的空位數;

③插隔板,確定需要的隔板個數,根據組數要求,插入隔板,利用組合數求解不同的分法種數。