一題多變之二項式定理

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學 徐春生

點評:解決形如(a+b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量(常數項、參數值、特定項等)的一般步驟:第一步,利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式Tk+1=,常把字母和系數分離開來(注意符號不要出錯);第二步,根據題目中的相關條件(如常數項要求指數為零,有理項要求指數為整數)先列出相應方程(組)或不等式(組),解出k;第三步,把k代入通項公式中,即可求出Tk+1。有時還需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量。

令18-4r=6,得r=3,所以×a3=20a3=160,解得a=2。

變式2:若的展開式中第4項的二項式系數最大,則x6的系數是____。

變式4:若的展開式中各項的系數和為729,則x6的系數是_____。

點評:形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開式的各項系數之和,常采用賦值法,只需令x=1即可。

因為r∈Z,所以的展開式中系數最大的項為第3 項,T3=×24×x10=240x10。

點評:形如(a+bx)n(a,b∈R)的展開式系數最大的項,一般采用待定系數法,設展開式各項系數分別為A1,A2,…,An+1,且第k項系數最大,應用從而解出k。

點評:形如(a+b+c)n的展開式問題采用“逐層展開法”,即將三項式分成兩組,用二項式定理展開,再把其中含二項式的項展開,從而求解問題。

點評:解決形如(a+b)n(c+d)m的展開式問題的的一般思路:(1)m,n中有一個比較小,可考慮把它展開,然后分別求解;(2)觀察(a+b)(c+d)是否可以合并;(3)分別得到(a+b)m,(c+d)n的通項公式,再綜合考慮。