利用導數工具，求解單調區間問題

■河南省商丘市第一高級中學 張志華

利用導數知識求解函數單調區間問題,是考查學生知識掌握靈活程度的很好的一個題型,是高考命題的熱點問題。對于這一塊知識,我們主要把握以下三點。

設f(x)在區間(a,b)內可導,且它的導函數是f′(x)。

1.f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在區間(a,b)內單調遞增(減)的充分不必要條件。

2.f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在區間(a,b)內單調遞增(減)的必要不充分條件。

3.由f(x)在區間(a,b)內單調遞增(減)可得f′(x)≥0(f′(x)≤0)在該區間內恒成立,而不是f′(x)>0(f′(x)<0)在該區間內恒成立。其中“=”不能少,必要時還需對“=”進行檢驗,使得f′(x)在區間(a,b)上的任何子區間內都不恒等于零。

接下來,大家看幾道典型例題,感悟解題中的曲曲折折,做做思維的體操,以期有所提高。

例1已知函數f(x)是定義在(0,+∞)上的非負可導函數,且滿足xf′(x)-f(x)≤0,對任意正整數a,b,若a

A.af(b)

B.bf(a)

C.af(b)≤bf(a)

D.bf(a)≤af(b)

因為x>0,xf′(x)-f(x)≤0,所以g′(x)≤0,g(x)在(0,+∞)上為減函數或常數函數。

選C。

總結:一定注意本題中的g′(x)≤0包括兩種情況:g′(x)<0,或g′(x)=0,即g(x)在(0,+∞)上為減函數或常數函數,從而能夠對于函數單調性的必要不充分條件有著更深入的理解。

例2已知函數f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,試討論函數f(x)的單調性。

解析:由題意可得:

(1)當a≤0時,由f′(x)>0,得01。

(2)當a>0時,由f′(x)=0,得x=1或

總結:分類討論思想是歷年高考的必考內容,它不僅是高考的重點與熱點,而且是高考的難點。含參數的函數的單調性問題一般需要分類討論。常見分類討論標準一般有以下幾種:(1)未知數系數含有參數,該系數要與零比較大小;(2)方程f′(x)=0是否有根;(3)若方程f′(x)=0有根,求出根后判斷它們是否在函數定義域內;(4)若根在定義域內且有兩個,需要比較它們的大小。

例 3已知函數f(x)=lnx-

(1)若函數f(x)存在單調遞減區間,求實數a的取值范圍;

(2)若函數f(x)在[1,4]上單調遞減,求實數a的取值范圍。

又因為a≠0,所以實數a的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)。

總結:根據可導函數的單調性求參數取值范圍的一般思路是:

(1)若函數f(x)在區間(a,b)上單調,區間(a,b)是相應單調區間的子區間;

(2)若函數f(x)在區間(a,b)上存在單調區間,則f′(x)>0(或f′(x)<0)在區間(a,b)上有解集,從而把函數的單調性問題轉化成不等式問題;

(3)若函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增,則f′(x)≥0在區間(a,b)上恒成立。

例4已知函數f(x)=2x3+a(x-1)ex在區間[0,3]上不是單調函數,求實數a的取值范圍。

當x∈(0,1)時,g′(x)>0;

當x∈(1,3)時,g′(x)<0。

所以g(x)在區間(0,1)上單調遞增,在區間(1,3)上單調遞減。

總結:若函數f(x)在區間[a,b]上不是單調函數,則f′(x)區間(a,b)上有正有負。因函數f′(x)在區間(a,b)上是連續的,故方程f′(x)=0區間(a,b)上必有解。

學習包括兩個方面:學和習,學是模仿,習是重復。通過老師講解或者例題示范,我們是在模仿現成的思路,而只有接著進行重復演練,才能達到熟能生巧的效果。要做到:大家都會的題,不出錯;大家都怕的題,還能做。在關鍵點處進行感悟,在猶豫不決處下功夫,及時解決問題,把一個個問號變成感嘆號,這才是學習的真正目的。