高考備考思路要轉變
——2022 年高考數列試題評析

■河北省張家口市第二中學 王 瀟

由于新課改,近兩年高考難度增大,所以我們高考備考思路一定要轉變。下面談談高考的難點在哪里。

難度一:動搖了高考試卷第17 題“無冕之王”這個位置

新課程全國卷的試卷結構是固定的,一般來說,第17題考查三角函數或數列問題,并且分為兩個小問,2022年、2021年、2020年理科第17題考查的都是數列。2021 年、2022年連續兩年高考Ⅰ卷數學難度驟然提升,2022年河北省的高考數學平均分為46.6分,其實2020年、2019年難度就已經有所增加。前幾年的高考試卷中,有很多常規題型,例如第17 題中上等程度的學生基本能拿滿分。第一問往往代入等差、等比數列的基本公式求通項公式,第二問就是數列求和,一般都考查錯位相減法,即使有些年份稍有難度,也是考查數列的通項an與前n項和Sn的關系,知識點非常明確,數列在選擇題中一般不會是壓軸題。換句話說,數列、三角函數題目一直以來都是中上等程度學生的拿分點,自從2020年開始,包括平時的各級各類模擬題目中,數列和三角函數難度增加,中上等程度學生不易再拿滿分。下面舉例說明。

例1(2022年高考全國乙卷)已知等比數列｛an｝的前3項和為168,a2-a5=42,則a6=( )。

A.14 B.12

C.6 D.3

分析:本題中由于數列{an}的前3 項和已知,項數比較少,很多同學一般沒有代入求和公式,而是直接寫a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)=168,此時再與另一個已知關系式相除,約掉a1,即可得公比q。但是要用到立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。這個公式大部分學生知道,但是在高中,極少有知識點應用它,僅僅在導數切線幾個特定的題目中用到,對于中等水平學生來說立方差公式運用不熟練,容易寫錯。

解:設等比數列{an}的公比為q,q≠0。

故a6=a1q5=3,選D。

方法二:若q=1,則a2-a5=0,與題意矛盾,所以q≠1。由題意得:

點評:注意方法二避開了立方差公式。同學們做題要多觀察,靈活應用,會省去不少煩瑣的計算過程!

例2(2021 年新高考Ⅰ卷第17 題)已知數列 {an}滿足a1=1,an+1=

(1)記bn=a2n,寫出b1,b2的值,并求數列{bn}的通項公式;

(2)求{an}的前20項和。

解析:(1)由題設可得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5。

又a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2,故a2k+2=a2k+3,即bn+1=bn+3,bn+1-bn=3。

所以{bn}為等差數列,解得bn=2+(n-1)×3=3n-1。

(2)設{an}的前20 項和為S20,則S20=a1+a2+a3+…+a20。

因為a1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1,所以S20=2(a2+a4+…+a18+a20)-10=2(b1+b2+…+b9+b10)-10=2×

點評:開始很簡單,列舉即可求出b1,b2,但是不能迅速得出數列{bn}的通項公式,其實在第17題位置上的第一問求通項,觀察已知即可猜出數列{bn}是等差數列,驗證bn+1-bn的結果是否為常數。但由于已給出分段形式的關系式,需要大家靜下心來厘清思路才能證明出來。第二問求和,要把{an}的前20 項和轉化成其10 個偶數項的和,從而轉化成數列{bn}求和,由于第一問已經證明{bn}為等差數列,故可利用等差數列求和公式。

難度二:加大計算量,加大題目的綜合度

新課標卷把原本送分題的20分刪掉后,整套試卷中幾乎沒有基礎題目,大部分是中等難度,對于中等程度的同學來說,需要在保證知識點非常熟練的情況下還要有較強的計算功底,原本高考卷中的一部分基礎題目幾乎不用計算,甚至很多同學即使在做解答題第一問時都能口算出結果,但這兩年的高考題中幾乎每個題目都需要計算,對于高考數學目標130分的同學加大了難度,他們難以在40分鐘內做完前16個題目! 所以我們要重視計算!

例3(2022年新高考全國Ⅰ卷第17題)記Sn為數列{an}的前n項和,已知a1=的等差數列。

(1)求{an}的通項公式;

點評:單看整個題目,沒有任何難度,這是第一道解答題,對于真正的學霸照樣幾分鐘可以計算出來,但是對于中等同學來說,若心理素質差些,就有意外發生! 第17題的第一問連續考查三個不簡單的知識點:等差數列的通項公式、看到關系式Sn能聯系到an與前n項和Sn的關系、累乘法求通項。需要同學們對知識點真正理解透徹!

例4(2022 年全國甲卷理科數學第17題)記Sn為數列{an}的前n項和。已知

(1)證明:{an}是等差數列;

(2)若a4,a7,a9成等比數列,求Sn的最小值。

解析:(1)由,可得2Sn+n2=2nan+n。①

當n≥2時,2Sn-1+(n-1)2=2(n-1)·an-1+(n-1)。②

①-②得,2Sn+n2-2Sn-1-(n-1)2=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1),也即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1。

故2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),所以an-an-1=1,n≥2且n∈N*。

因此,{an}是以1為公差的等差數列。

(2)由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8。

又a4,a7,a9成等比數列,所以=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=-12。

所以an=n-13,則Sn=-12n+

當n=12或n=13時,(Sn)min=-78。

點評:本題整體難度低于全國Ⅰ卷,第一問考查an與前n項和Sn的關系、等差數列的定義;第二問考查等比中項、等差通項公式、前n項和、數列的最值,都是最基本、最簡單的知識點。本題的難點還是在第一問:計算量大且字母較多。學霸會根據第一問的問法簡化計算,但是對于中等同學來說,①-②這一步會耽誤時間,可能還出不來結果。所以同學們平時練習不能省略計算,只看重方法,否則只會對高考題目紙上談兵。

例5(2021 年高考全國甲卷文科數學第18題)記Sn為數列{an}的前n項和,已知a>0,a2=3a1,且數列是等差數列,證明:{an}是等差數列。

當n≥2 時,an=Sn-Sn-1=a1n2-a1(n-1)2=2a1n-a1。

當n=1時,2a1×1-a1=a1,也滿足an=2a1n-a1。

故數學{an}的通項公式為an=2a1na1,n∈N*。

an-an-1=(2a1n-a1)-[2a1(n-1)-a1]=2a1,故{an}是等差數列。

點評:以上三道高考題,都考查數列中通項an與前n項和Sn的關系,本題是這三道題目中最簡單的一道,都要注意在利用an=Sn-Sn-1求通項公式時一定要討論n=1的特殊情況。我們要對這個知識點重視起來。新高考的考生要注意,第17 題數列的考查越來越難,這個知識點會出現各種形式的考查,但實際上一直沒有出現生冷偏僻的題目,大多就是加大計算的難度,加大題目的綜合度。

例6(2022 新高考全國Ⅱ卷第17題)已知{an}為等差數列,{bn}是公比為2的等比數列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4。

(1)證明:a1=b1;

(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素個數。

故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素個數為10-2+1=9。

點評:本題第一問僅僅考查等差數列、等比數列通項公式,但是因為已知和求證全都是字母,那么中等程度的同學思路就有點不暢了,好不容易花費幾分鐘求證出結論,到了第二問有點傻眼,還是都是字母。思路清晰的學霸會分別將等比數列{bk}、等差數列{ak}的通項公式分別代入整理得出結果,不少心理素質較差的學生就有點心慌了,可能會先放下,做后面題目,他們在17 題這個位置上浪費不起這個時間。所以,新高考的同學們平時就應該有這種心理準備,第17題秒算的時代過去了。

難度三:與實際生活應用的題目增多

故b2b4。

依此類推,可得b1>b3>b5>b7>…,b7>b8,A 錯誤;

b1>b7>b8,B錯誤;

點評:這類題目的難點并不在應用,而是抽象出來的數學模型涉及的知識點五花八門,形式比較復雜,本題就屬于這一類,形式簡單卻難以找到解決問題的突破口。本題考查函數在 (0,+∞)上單調遞減;不等關系,若a>b>0,則。解答本題需要同學們有較強的觀察能力和邏輯思維能力。

這里提醒同學們高考新課改后,出題變化很大,平時的練習、模擬考試中注意把握好這個度。需強調一點:高考難度加大,并沒有出什么偏題、怪題,考查的知識點還是歷來老師們強調的那些基礎知識。下面列出了數列的重要考點,只是現在的題目都比較新,新題很多,而且考查得很巧妙,這才是培養、選拔人才的最佳模式。

高考常考查數列的知識點如下:

1.等差數列、等比數列的通項公式;前n項和公式;2.正確理解等差數列、等比數列的性質,優化解題思路;3.正確理解數列的通項an與前n項和Sn的關系;4.正確應用等差數列、等比數列定義或等差中項、等比中項進行證明;5.掌握數列求和方法,裂項法、分組法、倒序相加法、錯位相減法;6.掌握簡單的遞推數列及其求解方法。