利用導數探究不等式恒成立中的參數范圍

■河南省商丘市永城市小龍人高中 張振繼(特級教師)

已知不等式在某個范圍內恒成立,確定參數的值或取值范圍是高考中的常考題型,此類問題綜合性強,解法靈活,備受命題者青睞,本文給出幾種探究方法,供同學們參考。

一、賦值法

例1已知函數f(x)=x3+3ax2+3x+1,當x∈[2,+∞)時,不等式f(x)≥0恒成立,則實數a的取值范圍是_____。

再令h(x)=x3-3x-2,則h′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),當x∈[2,+∞)時,h′(x)>0,所以h(x)在[2,+∞)上是增函數。當x∈[2,+∞)時,h(x)≥h(2)=0,即g′(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,所以g(x)在[2,+∞)上是增函數,g(x)min=

點評:利用賦值法,可以縮小參數的取值范圍,回避復雜的討論過程,使問題快速獲解。

二、分離參數法

例 2【2019 年天津卷】已知函數若關于x的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,則a的取值范圍是( )。

A.[0,1] B.[0,2]

C.[0,e] D.[1,e]

解析:由題意知,當x≤1時,x2-2ax+2a≥0。當x=1時顯然成立;當x<1時,則

令g′(x)=0,得x=e。當1e時,g′(x)>0,此時g(x)在(e,+∞)上單調遞增。

所以當x=e時,函數g(x)取得最小值g(e)=e,故a≤e。

綜上所述,解得a的取值范圍是[0,e],選C。

點評:利用分離變量法,若a≥f(x)恒成立,則a≥f(x)max;若a≤f(x)恒成立,則a≤f(x)min。將問題轉化為求函數的最大(小)值問題。

三、數形結合法

例3已知f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-2)2恒成立,則k的最大值為( )。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由k(x-2)

易得直線y=k(x-2)恒過定點(2,0),由,得m-4-2lnm=0。

令g(m)=m-4-2lnm,則g′(m)=,所以g(m)在(2,+∞)上單調遞增。

因為g(e2)=e2-8<0,g(e3)=e3-10>0,所以e2

所以整數k的最大值為4,選B。

點評:依據圖形的直觀性,可以借助函數的圖像與性質,數形結合來解題。

四、構造函數法

1.作差構造輔助函數

例4【2006 年全國Ⅱ卷】已知函數f(x)=(x+1)ln(x+1)。若對所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實數a的取值范圍。

解析:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,則g′(x)=ln(x+1)+1-a。

令g′(x)=0,解得x=ea-1-1。

(i)當a≤1時,對所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函數。又g(0)=0,所以對?x≥0,有g(x)≥g(0),即當a≤1時,對于所有x≥0,都有f(x)≥ax。

(ii)當a>1 時,對 于01時,不是對所有的x≥0都有f(x)≥ax成立。

綜上,實數a的取值范圍是(-∞,1]。

另解:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,不等式f(x)≥ax?g(x)≥0。而g(0)=0,則g(x)≥0等價于g(x)≥g(0)對所有x≥0恒成立,只需要g(x)在[0,+∞)上是增函數,即g′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立。

因為g′(x)=ln(x+1)+1-a≥0 在[0,+∞)上恒成立,所以g′(x)min=1-a≥0,解得a≤1。

故實數a的取值范圍是(-∞,1]。

點評:通過作差構造函數,分類討論,剔除不合題意的參數取值范圍,從而求得參數的取值范圍。

2.同構構造輔助函數

例5已知不等式ex+alnx≥xa+x對任意x>1恒成立,求正數a的取值范圍。

解 析:ex+alnx≥xa+x?ex-x≥

令f(x)=ex-x(x>1),則f′(x)=ex-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上單調遞增。

于是ex-x≥elnxa-lnxa?f(x)≥f(lnxa)。

①當xa≤e時,lnxa≤1。因為x>1,所以x≥lnxa。

②當xa>e時,lnxa>1,已知x≥1,由函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增,得x≥lnxa。

所以當x>1時,總有x≥lnxa。

所以g(x)min=g(e)=e。因此,0

點評:通過構造同構函數,進一步把參數分離出來,從而求得參數的取值范圍。

練一練:

1.已知函數f(x)=(2x+1)ln(2x+1)。

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)當x≥0 時,f(x)≥2ax恒成立,求實數a的取值范圍。

2.已知不等式(x-2)ex+ax2-2x>-e-1在R 恒成立,求實數a的取值范圍。

參考答案:

1.(1)y=2x。

(2)實數a的取值范圍是(-∞,1]。

2.令x=1,得a>1,先猜后證,求得實數a的取值范圍是(1,+∞)。