由遞推公式構造新數列并求數列通項的基本方法

■河南省洛陽市孟津區第一高級中學 聶曉紅

新教材人教A 版《數學選擇性必修第二冊》第41頁第7題(題目1)和第11題(題目2),出現了由遞推公式構造新數列并求數列通項的題型,現將求數列通項的常見基本方法總結如下,以供大家參考。

題目1.已知數列{an}的首項a1=1,且滿足an+1+an=3×2n。

(1)求證:{an-2n}是等比數列。

(2)求數列{an}的前n項和Sn。

解析:(1)由an+1+an=3×2n,可得an+1-2n+1=-(an-2n)。因為a1=1,所以a1-2=-1,從而an+1-2n+1=-(an-2n)≠0。

類型一、形如an-an-1=f(n),用累加法構造常見數列

類型三、形如an=pan-1+q(p ≠0),用待定系數法構造常見數列

例3已知數列{an}滿足a1=50,2an+1=an-1,且滿足不等式akak+1<0的k(k為正整數)的值為____。

分析:先用待定系數法求得{an}的通項,進而解不等式akak+1<0求得k的值。

練習3:已知數列{an}滿足a1=1,且an+1=2an+1,則an=_____。

答案:an=2n-1。

類型四、形如panan-1=an-an-1,取倒數后構造常見數列

例4已知數列滿足an+1·an=anan+1,,則a2023=____。

分析:由遞推公式可知為等差數列,根據等差數列的通項公式可求得結果。

解:因為an+1·an=an-an+1,a1=,所是以2為首項,1為公差的等差數列。

類型五、形如an=pan-1+qn(p,q≠0),除以因式qn 后構造常見數列

又21a1=3,所以數列{2nan}是以3為首項,1為公差的等差數列。

所以λ≥2,實數λ的最小值為2。

練習5:在數列{an}中,an+1=3an+(-1)n,a1=1,則an=_____。

類型六、直接構造常見數列

例6已知數列滿足a1,a2分別為直線2x+y-2=0 在x軸,y軸上的截距,且,則an=_____。

分析:原式可化為an+2=2an+1+3an,可用待定系數法設an+2+xan+1=t(an+1+xan),求出x=1,t=3,借助等比數列求解。

解:由題易知a1=1,a2=2,可化為an+2=2an+1+3an。

設an+2+xan+1=t(an+1+xan),即an+2=(t-x)an+1+xtan,所以解得x=1,t=3。

故an+2+an+1=3(an+1+an),{an+1+an}是以a1+a2=3 為首項,3 為公比的等比數列,即an+1+an=3n。

練習6:已知數列{an}滿足a1=1,a2=4,且an+1-3an+2an-1=1,n≥2,n∈N*,則an=_____。

答案:an=2n+1-n-2。