二項式定理的拓展應用

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

在各類考試中二項式定理的常規題考向都比較明確,試題難度也不大,只需按照題目要求并按部就班加以推理驗算即可。但有些問題看似與二項式定理無關,解答過程中卻往往離不開二項式定理,并且二項式定理能使解題過程更優化。

一、利用二項式定理證明組合恒等式

證明:令函數f(x)=(1+x)n+2(1+x)n+1+…+m(1+x)n+m-1,其中m,n∈N*,m

函數y=f(x)中含xn項的系數即為多項式(mx-1)(1+x)m+n+(1+x)n中含xn+2項的系數,為

點評:證明組合恒等式的關鍵是構造合理的函數,并利用二項式定理求指定項的系數,同時將該函數等價變形成另一種函數形式,再次利用二項式定理求出指定項的系數,由系數相等得到組合恒等式成立,這類問題考查同學們的創新思維及推理能力與計算能力,難度較大。

二、利用二項式定理證明不等式

例2已知數列{an}的通項公式an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3,…),證明:

證明:由題意知an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3,…)。

點評:利用二項式定理證明不等式的關鍵,是將某數的冪拆分成兩個數的和或差的冪的形式,再利用二項式定理將其展開,并根據所證結論對展開式中的項進行取舍,體現了不等式證明的放縮思想,具有一定難度。

三、利用二項式定理處理函數問題

例3已知函數f(x)=x(|x|-2),記,求集合[g(n),g(n+1)](n∈N*)中正整數的個數。

當n為偶數時,2n=3k+1;n為奇數時,2n=3k-1。

且n-2,n同奇偶,n-1,n+1同奇偶。

①當n為偶數時,正整數個數為:

點評:解答本題的關鍵是將2n變成(3-1)n,再利用二項式定理展開后考查它被3整除后的余數,體現了二項式定理的靈活應用,具有一定難度。

變式訓練3:已知a為正實數,n為自然數,拋物線與x軸正半軸相交于點A,設f(n)為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距。

(1)用a和n表示f(n);

(2)求對所有n都有成立的a的最小值。

解析:(1)由已知得,交點A的坐標為

(2) 由(1)知f(n)=an,則成立的充要條件是an≥2n3+1。

即an≥2n3+1對于所有的n成立,特別地,取n=2,得到a≥。

當a=,n≥3時,an>4n=(1+3)n

所以滿足條件的a的最小值是。