基于核心素養背景提升學生數學運算能力的方法討論

●張瀚之 張志旭

一、核心素養導向下中學生數學運算能力現狀分析

學生進行數學學習，就不可避免地要進行運算，這里不僅指口頭或紙質的計算，認識數、會用抽象符號表示數等也屬于數學運算的一部分。數學運算貫穿中學學習的整個階段，并且隨著年級的上升，對學生的數學運算會有更高的要求，例如學生在初中階段學習數與代數時要求能夠準確進行計算、列式及求解，但是在高中階段的數學運算更加符號化與抽象化，不僅擴充了數域且計算復雜化，還要求在明晰數學概念與法則后進行求解。數學知識的理解與鞏固，離不開數學解題，主要表現之一是進行一定形式的數學運算，數學運算是數學活動的基本形式。[1]可以說數學運算能力的強弱甚至直接影響著學生的數學成績和學生對于數學學習的態度，現如今中學課堂上學生運算能力的缺失主要原因有以下幾個方面。

（一）對數學運算課堂重視度不高

中考和高考解題的計算量并不小，且考試過程中不得使用計算器，教師應當對學生的運算能力提出一定的要求，但現在的中學數學課堂上呈現一種較為浮躁的局面。一方面，教師對于教材運算的變式程度不高，只是停留在課本習題上，應該選取靈活程度較高的變式題，教會學生抓住數學計算的本質意義和討論變式運算的思路，教會學生自己舉一反三。另一方面，教師在課堂上留給學生計算的時間較少，且很少進行規范計算的講解，認為學生理所應當能夠“快”“準”“對”的熟練運算，將部分計算細節一筆帶過，學生無法理解。為了計算能力的提高又布置大量的運算作業，對于不必要的運算總是機械地、重復地進行。擠占了部分學生用來思考和反思的時間，導致學生在運算前不進行思考，只是背下了解題模板機械地進行苦算。

（二）對學生已有數學經驗重視度低

學習數學的最終目的不是進行解題，而是培養學生的邏輯思維和運用能力，并在日后可以加以運用。當老師在課堂進行單純的數字運算和推理時，學生難免覺得枯燥無味和難以理解，其實學生已經在以往的學習和生活中積累了部分數學經驗，教師應該重視學生已有的這些經驗，將題目在生活中找到依托點，在學生能理解的層面進行講解。例如講解分數方程式可以用整式方程的基礎為依托，在講解配方法時可以借助學過的圓的標準方程來理解，對于一些抽象的無理數運算，可以構造在平面幾何或者立體幾何中理解，總之，不要一味地講解他們難以理解的復雜運算，要從通俗易懂的生活常識中培養學生的數學感知力和計算能力。

二、核心素養導向下中學生數學運算能力培養策略分析

（一）應注重數學運算背后的理解，吸引學生興趣

中學階段的學生好奇心重，自控能力相對較弱，教師可以通過創設情境、設置數學活動和故事接龍等多種方法讓學生對數學運算產生興趣，同時穿插對數學算理的講解，讓學習了解數學運算背后的邏輯，在進行解題時更有運算支撐。

1.學生為中心，加強概念學習。在核心素養的背景下，學生應該成為學習的主體，課堂上教師不能只強調運算的正確性，而是應該從概念出發，讓學生理解題目、明白復雜抽象的運算符號的意義后再進行運算。概念的學習方式有很多，其中，教師可以設計一些情境活動，讓學生通過一系列的教學活動總結抽象出概念,達到真正的理解并掌握概念,從而筑牢運算的根基。[2]例如，教師以確定班級同學座位為情境，讓學生感受平面橫縱坐標的加減變化以及探究如何平面內確定一個點；對于抽象的數學概念，教師可以在生活實例中找到具體事物作為支撐點，學習正負數的時候可以借助溫度計這個具體的形象幫助學生理解有理數的運算，明白正負數相抵消的含義。學習無理數時，可以將的來源看成是邊長為1的正方形的對角線，讓學生進行裁剪和測量。同時一些尺規作圖等專門的數學活動也可以啟發學生數學思維的嚴謹性，從而確保畫圖的精準性。總之，只有透徹地進行概念的理解，學生的計算才是真實可靠的、能夠提高的。理解具體概念后做題，才可以在靈活的題目中抓到他的本質，例如在學習拋物線時，雖然明確了定義，但是學生對于一些提示不明顯的題目還是不會求解。例如，“在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的側面ABB1A1內有一動點P到直線A1B1與直線BC的距離相等，則在側面ABB1A1上動點P的軌跡與棱AB,BB1所圍成的圖形的面積是多少？”學生容易認為這是一道超綱的立體幾何的題目，其實教師只要提示學生根據題意畫出圖形，觀察動點P與一直定點、定直線的關系便能發現這道題主要考查的是拋物線的定義的相關概念。因為P到A1B1和BC的距離相等，BC垂直于面ABB1A1，所以BC垂直于此平面內任一直線，從而推導出PB垂直于BC，學生會發現這就是拋物線的定義，即B為焦點，直線A1B1為準線，進而找出所圍的面積，根據定積分進行計算即可。所以教師在進行概念講解時要透徹，并且加入一些變式練習，讓學生不拘泥于最直白的解析式，可以自己聯系學過的知識。

2.教師為主導，揭示數學算理。學生是學習的主體，但是在課堂上教師依然發揮著重要的引導作用，大多數學生對于題目的解題過程都是機械式的重復，生搬硬套老師在課堂上講解的習題，并不理解運算的真正原因，這樣就會導致學生只知其一不知其二，進行題海戰術而不會變通。對于數學運算，明算理，識算理乃是第一位的。前蘇聯心理學家列昂節夫指出，內部活動與外部活動并不分離，內部活動和外部活動具有共同的結構。[3]教師引導學生明晰數學概念，在講題中揭示數學算理，在解題中穿插數學思想，才能真正地提高學生的數學邏輯和能力。算理就是學生計算中運算的道理，是計算過程中的一種思維方式，也就是讓學生明白為什么這樣算的問題。學生在學懂數學算理后對于計算有了邏輯思維，也就有利于解題和運算。數學的運算要求封閉性，但是進一步深究會發現正是一些不封閉的運算理念，才促使數學的進步，例如正因為整數的不封閉才有了有理數的出現，有理數的不封閉才有了無理數，進而人們開始發現超越數和代數數。學生在不理解算理時很難進行正確運算，教師可以深究其中的本質，利用數學算理本身的遷移性幫助學生理解，可以通過學生前期對運算加減乘除的理解和其性質與概念的運用，從本質上進行算理的潛移，讓學生更好理解“為什么要這樣運算”。一些數學問題都與最基礎的數學算理掛鉤，例如可以讓學生發現排列組合的本質可以對應加法和乘法運算，線性規劃與平移有關但實質上是函數的最值問題，命題的否定、對數函數和指數函數相互轉換以及反函數都是尋求一種逆運算，三角函數誘導公式就是角的加減，單調性可以和比較大小來對接，集合中交集并集的性質對應運算的加法減法。通過學生原有的知識經驗進行新知識的算理分析，有利于學生對于他們的吸收和運用。不僅對于運算原理進行分解，在習題講解時也可以探求一二，讓學生通過實際操作感受公式或定理生成的過程，加深他們對算理的理解。例如，在學習勾股定理的時候，教師可以先讓學生對幾組直角三角形的邊長進行測量，找出其數值的對應關系，引導學生進行推測。然后教師通過課本上所給例題進行證明，幫助學生理解勾股定理的轉換過程。在學生理解第一種課本給出的證明方法后，教師可以引導學生進行趙爽弦圖的證明，這個過程教師要給學生一些時間充分發揮他們的學習主體性，只要學生明白了其中面積相等的算理，就可以以不變應萬變，做出勾股定理的題目了。解數學題目的過程中本來就滲透了許多數學思想方法。教師要能夠將它們滲透到課堂內，幫助學生在解題時發散思維，尋找最優的方法。

（二）應注重數學運算的多樣性，全面培養數感

教師在培養學生的數學運算時不應當局限于卷面和書本上的現有題型練習，長篇的問題設置和單一的數字習題會讓學生感到過于功利化和目的性，反而會減弱學生對于數學運算的興趣，教師應該多方面發展學生的運算形式，培養學生對數字的敏感度和數學感覺。

1.重視口算與估算。進行筆算可以保證計算的嚴密性和加深學生正確運算的步驟，但是只進行筆算會讓學生對筆產生依賴性，且不能提升計算速度。數學運用于生活中的方方面面，不可能每一次在生活中進行計算都需要借助紙筆，所以教師要在課堂上刻意訓練學生的口算能力，一些簡單的、不必要的運算不用預留時間，而是鼓勵學生進行口算。難度可以循序漸進同時鼓勵學生課下練習口算，也可以讓學生直接記住一些常見的運算等，來減輕學生的口算壓力。這樣既可以培養學生的邏輯思維，提升運算速度和便捷性同時也可以更加方便生活中的運用。學生學習數學不僅要會精算，還要能夠估算：在生活中粗略估計物體的重量、購物的錢數和旅行的大概成本都是必要的，估算能力的培養非常重要，甚至可以影響到學生對數感的體驗，估算是為了讓學生對生活中常見的物體有一個大致的數學感覺，培養學生發現數學、運用數學的能力，提升學生對數字的敏感程度。所以教師在課堂上可以讓學生簡單估計一支筆、一桶油的重量，在學完體積之后讓學生估算書本的體積和教室的體積，同時，運用估算可以在做題時對答案范圍進行排除，學生估算出一個大概范圍后再進行精確計算，提高做題的效率和正確率。

2.應適當使用現代信息技術。雖然中考和高考不可以使用計算器，要求學生具備計算能力，但是對于數學運算也要有一定的取舍范圍：一些過于復雜和計算量龐大的題目并不會達到訓練數學思維和計算能力的作用，反而浪費學生的時間，加大學生課業負擔。遇到這種類型的題目學生可以借助計算器完成計算或查閱資料進行簡單估算，數學運算主要是讓學生掌握計算規律和方法后能夠獨立完成正常題目的運算，為的是讓學生掌握課程標準規定范圍內的計算能力而不是鉆牛角尖。此外，借助現代信息技術幫助學生運算還可以讓學生體驗數學的神奇之處，完成一些現有理論下無法進行的運算過程，借助現代技術還可以讓學生了解“超級計算機”學習一些學科思政等方面的內容，加強民族認同感，只要悉心鉆研，會發現運算結果依然可以找到相似的運算規律或者和結論定理的吻合之處，加強學生對數學學習的興趣。

三、核心素養導向下中學生數學運算能力與生活實際相結合

數學計算能力的提升如果只是依托于課堂上的教學和課后的練習作業，學生必然會覺得運算是枯燥無味的。核心素養大背景下，教師應該通過與實際生活相關的數學問題、實踐活動讓學生體驗數學運算的樂趣。教師可以布置一些思維導圖、章節總結或者錯題整理類的數學日記，留給學生一定的思考時間，也可以布置帶有目標的數學實踐活動。例如，在八年級學習《平均數、中位數和眾數》時教師可以布置數學日記，讓學生體驗一些真實的數字估算。學生們分組養小樹苗，用三周時間每天定點測量小苗的長勢和高度，最后將這些數據通過表格或者統計圖的形式記錄下來，計算他們的中位數、平均數和眾數，在之后的學習中還可以繼續用做方差和標準差的學習。用學生自己觀察和測量到的數據進行計算會增加學生的實際體驗感和興趣，比起重練習輕反思的計算模式，更應該注重學生做題的質量與思考總結。同時也可以利用智慧課堂來減輕一些計算的負擔。在課堂上教師通過幾何畫板精準計算畫圖、通過視頻軟件了解計算原理、通過幻燈片技術吸引學生興趣，對這些信息手段的合理運用可以減輕學生在課堂上計算的一些負擔，為計算提供一種新的可視化的角度，開闊學生的思維，讓他們明白多種維度的計算。同時也可以在課下運用信息技術：對于教學中的計算重難點，老師可以錄制微課視頻，以便利學生在課后進行反復觀看，學習老師解題的正確步驟。同時利用線上平臺的智能分析，教師可以在課堂上著重講解學生不太熟悉的題型，留針對性的作業任務，學生既避免了一味的重復的熟練題型的訓練，同時也可以分層次有針對性地進行練習。