在初中幾何教學中運用基本圖形法的實踐

王玉鳳 王國偉

幾何是初中數學教學中的重點內容，對學生數學思維的培養具有重要影響，但是這部分知識的學習對學生而言具有較大難度。而如何降低學生的學習難度，幫助學生準確理解幾何教學中的復雜圖形是當前教師所要思考的一個問題。本文圍繞“角平分線的應用”這一內容展開系統分析，旨在幫助學生理解基本圖形在幾何內容中的應用，優化解題思路，在多種策略的發展下，深化學生對這一知識點的理解和領悟，為提高學生數學成績做鋪墊。

一、趣味引入，初步感知

（一）問題導入，探究新知

教師播放視頻，讓學生分析蜘蛛結網現象，依據這一視頻引申角平分線圖，讓學生思考相關的數學問題：

問題1：蜘蛛在∠AOB平分線OC上一點P處，如果獵物出現在OA或者OB處，這個時候蜘蛛可以選擇哪一條路線？

問題2：判斷OA、OB的路線長度關系。

學生根據具體的圖示，結合蜘蛛結網和角平分線圖片展開分析，依據已有的知識經驗回答教師所提出的問題。

教師提示：點到直線距離垂線段的長最短，判斷蜘蛛選擇的路線為：第一條：P到A；第二條：P到B。

隨后根據學生的分析進一步提問。

教師：兩條線段的長度是否一樣？通過什么方式可以更好地判定？

教師提示：通過折紙的形式。

學生：先將∠AOB對折，然后再經過P點折出一個直角三角形。

教師：通過折紙大家可以得出什么結論？

學生：蜘蛛選擇的這兩條線路長度一樣。

隨后教師總結角平分線上的點的性質。

教師以預設的問題設置，讓學生應用推理的方式掌握角平分線的有關性質。

（設計意圖：本環節通過動態視頻演示，在直觀圖片的綜合對比下，引導學生深入思考，讓學生了解點到直線的距離知識，進一步判定角平分線上點到角兩邊距離相等的定理，在實踐的基礎上觀察分析點到角兩邊距離的關系，以此滿足學生的求知欲望，為后期知識的系統學習打下堅實的基礎。）

（二）啟發引導

在學習了點到直線的相關知識后，教師引導學生綜合分析基本圖形的形狀，幫助學生探究新的知識。

教師：常見的基本圖形有哪些？

學生1：平行四邊形、長方形、梯形、橢圓形、菱形、扇形。

教師：這些基本圖形有哪些特征？

學生回答。

（設計意圖：本環節旨在幫助學生探究基本圖形的形狀以及主要的特征，促使學生內化幾何元素，強化對所學基本圖形的知識理解，以此為新知識的學習夯實基礎。同時，師生之間的問答互動不僅可以融洽師生關系，拉近師生距離，營造輕松愉悅的數學學習氛圍，而且可以促使數學教師更直觀地掌握學生當前的知識吸收情況，并對其掌握的情況做出詳細分析，制訂具有針對性的教學計劃，提高學生的學習能力。）

二、任務驅動，加深知識理解

例題1.如圖2所示，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點P1，請分析∠P1與∠A之間的數量關系。

教師：請簡要陳述你的解題思路。

教師給予適當提示（依據角平分線性質，結合三角形內角和公式可以得出答案），邀請學生展示自己的解題過程。

學生展示后，教師評價，及時給予學生鼓勵。

教師：現在請大家分析下面的例題。

例題2.根據圖3分析在△ABC中，∠ABC的外角平行線與∠ACB的外角平行線相交于點P2，請分析∠P2與∠A之間的數量關系。

教師：前期大家針對例題的解答速度很快，而且準確率很高，現在請看遂寧考題，讓我們一起共同解答經典例題。這種考題在試卷中很常見，現在請大家根據自身的知識經驗，綜合分析這道例題的解答步驟，隨后我們邀請一位學生上講臺投影展示。

例題3.如圖4，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， 以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（? ）

①AD是∠BAC的平分線 ②∠ADC=60° ③點D在AB的中垂線上 ④S△DAC∶S△ABC=1∶3

A.1 B.2 C.3 D.4

（設計意圖：本環節據實際例題組織學生現場討論分析，隨后滲透歷年經典考題讓學生綜合分析，幫助學生掌握更多高效的解題方法，培養學生的逆向思維，掌握解題規律。）

三、布置任務，小組合作探究

教師：接下來我要給大家一個新的身份——福爾摩斯，請大家充當小福爾摩斯，分析下面的例題中所隱含的基本圖形，并總結這些基本圖形對最終的結論有何影響。

例題4.在△ABC中，∠ABC的平分線與AC交于點O，∠ACB的平分線與AB交于點P，BO與CQ相交于點Q，若∠A=30°，求證：QP=QO。

學生1：從角平分線上的點往角兩邊做垂線段，垂線段相等，有全等。

學生2：根據圖形可以截取一條線段與已知線段相等，從而構建一個全等三角形。

教師：通過剛才大家的陳述，我們可以得出在解答幾何題時，應用基本圖形能幫助我們掌握解題技巧，而針對同一個基本圖形的不同添線方式可以提高解題效率?，F在請大家根據自己的理解，將這道題目進行改編，換一個條件，看是否能夠通過基本圖形進行解決呢？

在提出問題之后，教師給學生留出時間，讓其思考分析，最后根據多媒體的優勢將正確的解題步驟投放在大屏幕上，讓學生對比自己在思考過程中的思路是否正確。

（設計意圖：在學生掌握角之間關系的內容之后，教師通過線段之間的關系分析，引導學生理解角平分線構造兩個三角形全等的方式，掌握證明線段相等的基本方法。本環節有助于培養學生一題多解的學習思路，拉近師生關系，讓學生養成主動思考、深入分析的良好學習習慣。）

四、課堂練習，發散學生思維

教師依據前期學生針對基本圖形概念、特征等內容的深入分析，在不同例題的解題經驗下，以“龜兔賽跑”的方式給學生分配角色，然后將班級學生劃分為兩個小組。根據教師前期準備的例題，讓學生深入分析，掌握角平分線的相關知識。

教師：前面的內容大家整體的表現非常不錯，現在我們以烏龜和兔子比賽的方式解決下列例題，看哪一個小組用時最短，解題思路更清晰，最終抵達終點的小組我們將給予相應的獎勵，例題如下：

1.如圖5，CD是△ABC的外角∠ACE的角平分線，交BA延長線于D.求證AC∶BC=AD∶BD.

2.如圖6，直線y=■x+4，與y軸、x軸的交點為A、B，點O是原點。若∠ABO的角平分線BC交y軸于點C，求點C的坐標。

在整個比賽環節，每一個小組的學習熱情非常高漲，特別是“烏龜”小組，在劃分小組之后，這一組并沒有直接開始答題，而是率先選擇了一名小組長，在小組長的帶領下，根據我所給出的例題進行分工，以同桌兩人為一小組解答一道例題。我發現這個小組的解題速度非常高效，相對于“兔子”小組用時最短。隨后，我看到“兔子”組也非?；钴S。在近距離了解了每一小組的解題過程之后，我發現“兔子”小組的解題思路非常清晰，正確率非常高。但是最后還是分工明確的“烏龜”小組取得了勝利。

隨后小組的發言，重點討論小組分工、互相幫助的重要性，以此增強學生團隊合作意識。在“龜兔賽跑”游戲結束之后，我發現大家意猶未盡，于是我又滲透了新的題型，組織學生繼續練習。

教師：同學們，剛才龜兔賽跑的比賽環節雖然有的小組取得了最終的勝利，有的小組以失敗而告終，但是我們不要氣餒，大家繼續加油，接下來我們以智慧大闖關的方式分析下列例題，與剛才不同的是，這次我們將男生和女生各分為一個小組，看哪組是最終的智慧闖關王。

通過分析互逆命題逆定理的具體案例，讓學生分析互逆命題是兩個命題之間的關系。即任意一個為原命題，另一個就是它的逆命題。

第一關：判斷下列命題的真假。

1.只要兩條直線平行，則同位角一定相等。

2.全等三角形的對應角相等。

第二關：判斷下列命題的正誤。

1.錯誤的命題是沒有逆命題的。

2.一個真命題的逆命題一定是正確的，反之則是錯誤的。

（設計意圖：以趣味性的“龜兔賽跑”方式，賦予學生比賽角色，讓其在規定的時間內，分析角平分線的應用內容，深化學生對角平分線性質的理解。同時，以闖關的方式促使學生掌握互逆命題的真假性關系，分析互逆定理的概念，并積累判斷一個命題是真命題還是假命題的解題經驗。）

五、教學反思

（一）注重基本圖形的合理應用

在教學活動中，針對基本圖形的運用，教師可以給學生提供更多的學習空間，讓其主動嘗試，深入分析，幫助學生解決幾何學習中的難題，提高學生對基本圖形的運用能力。

（二）培養學生的作圖能力

教師可以為學生設計更多作圖以及識圖的訓練，在激發學生興趣的同時，讓學生掌握規范作圖的步驟，注重規范書寫的注意要點。學生通過動手實踐分析，可了解基本圖形的基本特征，以此形成空間概念，簡化學習難度。同時，教師還可以利用網絡媒體的技術優勢，利用希沃電子白板、翻轉課堂等多種方式進行講解，以此減輕學生的學習壓力。

（三）明確教學側重點

按照《義務教育數學課程標準（2022年版）》的要求，教師可以給學生設置相應的探究任務，讓學生從不同的維度思考例題，明晰解題步驟，抓住核心要點，強化學生對基礎概念知識的理解，提高對問題的分析以及解答能力，養成良好的學習習慣。

（作者單位：1.蘭州市第三中學；2.蘭州市第五中學）

編輯：張俐麗