淺談結構力學教學中約束條件的理解

孫旭峰

（揚州大學建筑科學與工程學院，江蘇 揚州 225127）

在結構力學中，計算簡圖是指表現出實際結構的主要特點而略去次要因素的一個簡化圖形，它是結構力學與實際結構聯系的紐帶，是結構分析的前提基礎和最基本概念，換句話說，結構力學的分析對象是計算簡圖而非實際結構。但在實際教學中，這部分內容和概念卻未得到應有的重視，從而造成學生不能深入理解和運用結構力學的計算方法。

結構力學中計算簡圖的概念一般在緒論部分進行講解，對于桿系結構來說，最主要的就是支座和結點等約束條件的簡化，一般包括活動鉸支座、固定鉸支座、固定支座、滑動支座、剛臂以及鉸結點、剛結點、組合結點等[1-3]。在講解了結構的位移計算后，實際上約束條件還包括忽略軸向拉壓變形（EA=∞）、忽略彎曲變形（EI=∞）等，此外對稱性的應用也可視為一種廣義的約束條件，而這些約束往往是初學者容易混淆的地方。以下就一些容易出錯的問題，從三個方面來淺談一下結構力學解題及鋼筋混凝土框架結構求解中約束條件的理解和運用。

1 撓曲線的繪制

繪制撓曲線是對荷載、內力、剛度、約束等基本概念以及圖乘法等計算原理的綜合考量，例如[4-5]需體現彎矩圖的受拉側（撓曲線應凸向受拉側）、反彎點處需畫出撓曲線的拐點、某些結點處的線位移及角位移方向需根據圖乘法定性判別等，但這其中對約束的正確理解仍然最為關鍵。在固定鉸支座處，可以有角位移而不能有線位移；在固定支座處，角位移和線位移都為零，對于這兩種支座約束學生通常掌握較好。但是在繪制活動鉸支座和滑動支座處的位移時，卻往往容易出錯，常見的錯誤是將圖1a中C處的位移畫成圖1b那樣。究其原因有兩點：（1）不清楚計算簡圖與實際結構的區別，雖然計算簡圖是從實際結構簡化而來的，但計算簡圖中的約束僅僅是一個符號，而非實際構造，它只是表示某種位移限制而已；（2）不清楚活動鉸支座和滑動支座對線位移的約束性質為限制鏈桿方向的線位移，這就代表在小位移小變形的前提假設下，結構在發生變形后鏈桿的方向是不會變化的。

圖1 撓曲線繪制時的支座位移畫法

除了對支座理解的錯誤，在圖1a中，典型錯誤還表現在畫撓曲線時，將B結點處兩根桿件的夾角畫成鈍角或銳角，也就是不清楚剛結點處各桿件夾角保持不變的約束性質。此外，剛架中忽略軸向拉壓變形（EA=∞）的假定還決定了B、C兩點具有相同的水平線位移，以及B結點的豎向線位移為零，這一點也是經常容易弄錯的。在準確理解上述概念的基礎上，當活動鉸支座、滑動支座、桿件等變為斜方向時，則正確繪制撓曲線就不再困難了。

事實上，在利用對稱性取半結構進行計算時，正是基于撓曲線的對稱性質來選取適當支座的，也就是說半結構的確定實際上是反向運用了約束條件對撓曲線繪制的影響。例如圖2a所示正對稱結構，如果能理解剛結點D不能有水平線位移及角位移（滑動支座）、鉸結點H不能有水平線位移但不約束角位移（活動鉸支座）、DH桿不能有彎曲變形且忽略軸向拉壓變形（鏈桿），則不難畫出其半結構如圖2b所示。

圖2 半結構的選取

2 力法和位移法中基本未知量的判定

在力法和位移法中，約束性質直接決定了基本未知量的選取。例如對于圖3a所示結構，當采用力法求解時，如果切斷 BC桿會有幾個多余未知力呢？很多同學認為因為BC桿受彎所以應有三個多余未知力，并且想不通為什么明明是一次超靜定結構卻會出現三個多余未知力？事實上，該結構在圖示荷載作用下雖然BC桿受彎，但其彎矩和剪力卻是靜定的，也就是說在線性小變形假定下，該結構的多余聯系僅為BC桿的軸向約束，即多余未知力為軸力。

圖3 基本未知量的判定

在采用位移法求解圖3a所示結構時，線位移未知量會隨桿件的剛度假定而變化：如忽略所有桿件軸向拉壓變形（假設EA=∞），則僅有一個未知量（圖3b）；如假設BC桿的EA為有限值（假設EA=C），則有兩個未知量（圖3c）；而當假設所有桿件的EA都為有限值時，則有四個線位移未知量（圖3d）。在結構力學中，通常僅針對梁和剛架結構講解位移法，并且都默認忽略桿件的軸向拉壓變形，這就使學生產生了思維定式，認為所有情形下都是這樣，在碰到桁架和組合結構時就會出現未知量判定錯誤。

此外，在位移法中應用形常數、載常數以及在力矩分配法中確定轉動剛度和傳遞系數時，從梁和剛架忽略軸向變形的假定可以推知圖4（P205）所示的等效關系（EA=∞因為意味著B點的軸向線位移被約束了），此類情形會經常在斜桿、斜約束問題中遇到。

圖4 忽略軸向拉壓變形的等效約束關系

3 鋼筋混凝土框架結構求解中計算簡圖的約束條件

在土木工程專業的鋼筋混凝土框架結構設計教學中，為使學生了解其計算過程，通常會讓學生針對某一榀框架的計算簡圖，采用D值法、彎矩二次分配法等手算方法進行計算，并將手算結果與機算結果（一般指PKPM或盈建科的計算結果）進行比較。很多學生在比較時會發現結果相差比較大，并且不清楚為什么會出現這些誤差，實際上問題主要出在計算簡圖的約束條件上。

D值法用于求解框架結構在水平地震荷載作用下的內力，該方法的一個重要假定就是忽略桿件的軸向拉壓變形，也就是在計算中不考慮梁的弦轉角所產生的內力。因此，如果在計算軟件中不勾選“不計軸向變形”選項，那么即使對于常見的多層框架結構，在常見的材料尺寸參數條件下手算和機算結果之間也會產生相當的誤差[6]。

在求解豎向荷載作用下的內力時，常用的手算方法是彎矩二次分配法，該方法的假定中除了忽略軸向拉壓變形，還忽略了各結點水平方向的線位移。因此，當計算框架各跨的跨度相差較大或各跨荷載相差較大時，手算結果與機算結果之間就會產生較大的誤差。

需要指出的是，如果采用結構力學求解器校核手算結果，那么在求解器中就需要設定與手算方法相一致的約束條件，如設定EA=∞、在結點處增加活動鉸支座約束水平線位移等，否則計算的結果就不一致了。

4 結語

結構力學講的是結構分析方法和原理，但從實際結構到計算模型，必須理解計算簡圖是如何得到的，理解其與實際結構的區別和聯系是什么，這其中最為關鍵的就是對約束條件的理解。從廣義概念上來說，約束條件不僅是指活動鉸支座、固定鉸支座、固定支座、滑動支座、剛臂以及鉸結點、剛結點、組合結點等，還包括忽略軸向拉壓變形（EA=∞）、忽略彎曲變形（EI=∞）以及對稱性條件等，而初學者往往對后面的一類約束條件缺乏足夠的理解，這也是結構力學教學需要加強的部分。

約束條件的正確理解不僅對常規的內力圖繪制、撓曲線繪制、未知量選取、半結構選取等結構力學解題方法至關重要，而且對鋼筋混凝土結構等專業課教學中計算簡圖的正確選取也具有非常關鍵的意義。