對分數(shù)指數(shù)冪概念的進一步分析

新課標高中數(shù)學(xué)必修一教材闡述了分數(shù)指數(shù)冪的概念，可是很多高中學(xué)生，甚至有些數(shù)

學(xué)教師對其概念理解不是很透徹，因此對分數(shù)指數(shù)冪的概念有必要進一步分析.

首先我們來看教材上分數(shù)指數(shù)冪的概念.

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（1）規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是

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amn=nam （a＞0，m，n∈N*， n＞1)；

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（2）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是

a-mn=1amn（a＞0， m， n∈N*， n＞1)；

（3）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

那么負數(shù)有沒有分數(shù)指數(shù)冪呢？

例如，①能比較(-1)13與(-1)26的大小嗎？

②求冪函數(shù)f(x)=x13的定義域，自變量x能取負數(shù)嗎？

這些問題容易使人產(chǎn)生困惑.因此深入理解分數(shù)指數(shù)冪的概念是必要的.

1.所有的根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式，

即nam=amn （ m， n∈N*， n＞1).

也就是說分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種書寫形式，只要根式有意義，不論a為何值，都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.但是要注意的是此時指數(shù)mn是一種記法形式，不具有數(shù)的性質(zhì)，不是真正意義的分數(shù).不能比較分數(shù)指數(shù)的大小，也不能進行約分、通分等運算.

例①中比較(-1)13與(-1)26的大小時，不能簡單認為因為13=26，所以(-1)13=(-1)26.

正確的做法是先還原成根式，再化簡后比較大小.

解：∵(-1)13=3-1=-1，

(-1)26=6(-1)2=1，

∴(-1)13＜(-1)26.

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例②中：∵f(x)=x13=3x，

∴函數(shù)的定義域為R.

2.在分數(shù)指數(shù)冪或有理數(shù)指數(shù)冪運算時，我們要強調(diào)底數(shù)a必須大于0，

否則就會出現(xiàn)錯誤.

例如化簡 ［(-1)2］12=（-1）2×12=（-1）1=-1 ，而這一結(jié)果顯然是錯誤的，正確結(jié)果應(yīng)為1.

究其原因，分數(shù)指數(shù)mn只是一種記法形式，不具有數(shù)的性質(zhì)，不是真正意義的分數(shù)，當然不能參與運算.

當?shù)讛?shù)a＜0時，對指數(shù)mn進行約分、通分等運算后的結(jié)果和把分數(shù)指數(shù)冪化成根式后進行運算的結(jié)果有很大的差異.

當?shù)讛?shù)a＞0時，對指數(shù)mn進行約分、通分等運算后的結(jié)果和把分數(shù)指數(shù)冪化成根式后進行運算的結(jié)果完全一致.此時指數(shù)mn與傳統(tǒng)意義上的分數(shù)作用效果是相同的.這時把指數(shù)mn認為是普通分數(shù)是合理的.

所以有理數(shù)指數(shù)冪運算時，我們必須強調(diào)底數(shù)a大于0.

(責(zé)任編輯 金 鈴）