也談數學學科育人的“懂而不會”現象

［摘? 要］ 扎扎實實地打好學習基礎是學好數學的秘訣. 然而，“懂而不會”的現象在如今的數學教學中屢見不鮮. 如何夯實學生的知識基礎，實現“既懂又會”呢？文章以三位教師的“對數運算性質”的教學設計為例，具體從三方面談一些看法：理性看待教材的“再創造”；注重核心知識的“聯結性”；強調課堂節奏的“緩慢性”.

［關鍵詞］ 懂而不會；再創造；聯結性；緩慢性；思維

不少學生都有過這樣的體會：課堂上能理解教學內容，課后作業卻錯誤百出. 出現這種“懂而不會”的現象，主要有兩方面的因素：一方面，學生所謂的“聽懂”與教學目標并不一致，對知識的理解只浮于表面，并沒有深刻理解知識的本質；另一方面，學生的思維處于操作層面，但實際應用時，對學生的思維要求達到了靈活層面，學生的思維出現了缺口.

為了消除這種“懂而不會”的現象，彌補學生思維的缺口，筆者進行了大量研究. 本文以三位教師的“對數運算性質”的教學設計為例，從以下三個方面談一些看法.

理性看待教材的“再創造”

教材是教學的依據. 教材內容的順序、結構體系等的編排凝聚了眾多專家學者的心血，所呈現的每一個字、每一幅圖都是經過編者考量篩選而來的，尤其例題與習題都是根據大部分學生的認知水平和認知特點精心設計的. 因此，教材具有顯著的嚴謹性.

隨著新課改的推進，不少教師也與時俱進地“創造性使用教材”，這是在“不是教教材，而是用教材”“教師是課程資源開發的主體”等理念的基礎上形成的教學行為. 跟上時代的步伐，創造性使用教材的行為并沒有什么問題，但有些教師卻偏離了教材，甚至出現了脫離教材、另起爐灶的行為，結果適得其反.

教學設計一

根據以下材料，回答兩個問題.

①log44，log416，log464；②lg10，lg1000，lg10000.

（1）分析上述各組三個值的關系；

（2）能否將以上關系一般化？嘗試寫出關系式，并證明.

從問題本身來看，“設局”非常明顯，大部分學生都能猜想出教師的實際意圖，即獲得關系式logaM+logaN=logaMN. 至于“研究該關系式的原因是什么”“其發生、發展的過程是怎樣的”不得而知. 顯然，問題是教師根據公式logaM+logaN=logaMN生搬硬套而來的，至于這個公式的證明過程，蘊含著怎樣的數學思想方法，等等，都無從考證.

單純從課堂上學生所呈現的結論來看，確實給出了教師所期望的公式，但“弄懂”的背后卻是“一知半解”，到實際應用時出現“懂而不會”的現象就在情理之中.

事實上，不管哪個版本的教材，在本節的開篇都提供了探究的重要線索，如“我們知道了對數與指數間的關系，能否利用指數冪運算性質得出相應的對數運算性質呢？”

從這一段文字來看，編者的意圖是讓教師帶領學生從對數與指數間的關系出發，結合指數冪運算性質，想方設法將對數問題轉化成指數問題來探索，由此獲得對數運算性質. 若教師領會到了編者的意圖，并以此作為教學核心，再結合學生的實際認知水平和認知特點進行教材的“再創造”，則可以帶領學生自然、深刻地理解關系式logaM+logaN=logaMN的本質，達到“既懂又會”的目的.

注重核心知識的“聯結性”

以核心概念或核心內容所反映的數學思想方法為聯結點，將零散的知識羅列到一張大網上，形成精中求簡、通俗易懂的知識脈絡，是完善學生認知結構的基礎. 形成良好的認知結構，形成自主吸納并內化新知的能力，是數學教學的重要目標，也是課堂教學的主要任務之一.

如何讓核心知識變成這個“聯結點”呢？這就要求教師不僅擁有過硬的專業水平，還要具備良好的洞察力，能發現學生的最近發展區，根據學生的實際情況靈活教學，引導學生在觀察、實驗、猜想、類比中抽象出核心知識，并提煉出相應的數學思想方法，形成以不變應萬變的能力.

學生一旦經歷了知識形成與發展的過程，就能獲得觸類旁通的能力. 但有些教師常常忽略知識的邏輯性，無視學生的認知水平，用自己的思維創設問題，導致創設的問題高于學生的認知范圍，給學生帶來一種莫名其妙之感.

教學設計二

（1）回顧指數冪運算性質和對數概念，如am·an=am+n，am=M與logaM=m等價，logaN=n與an=N等價，等等.

（2）嘗試將指數冪運算性質am·an=am+n轉化成對數運算性質.

（3）嘗試將指數冪運算性質am÷an=am-n和（am）n=amn轉化成對數運算性質.

教師設計上述三個問題，意在從學生已有的認知結構出發，推導出對數運算性質. 但這三個問題缺乏邏輯性，對于學生而言過于突兀，不少學生表現出茫然的神態. 隨著這三個問題的解決，學生基本明確了探究的主題，但這是從指數冪運算性質出發，經過形式化的變形獲得的結論，學生因缺乏自主探究過程，無法將新知內化到原有的認知結構中，更無法讓核心知識成為新舊知識的“聯結點”.

這種設計，致使學生無法從根本上掌握知識的本質，出現“懂而不會”的現象是必然的. 其實，在對數運算性質的教學過程中，教師可帶領學生從類比思想、轉化思想出發，讓核心知識成為新舊知識的“聯結點”，學生將探索而來的新知與舊知膠著在一起，能融會貫通改善認知結構. 如類比思想的應用，能為學生提供明確的思維策略，讓學生明晰研究方向；轉化思想的應用，能為學生提供證明方法，讓學生獲得解決問題的具體策略.

為了讓核心知識的“聯結性”成為溝通新舊知識的橋梁，上述教學設計可作如下改進：

（1）大家已經學過了對數，還記得我們是如何定義對數logaM的嗎？

（2）求log216，并說明理由.

（3）當我們定義一種數后，無法避免其運算性質的研究. 比如我們認識指數后，就研究了其運算性質. 大家還記得指數冪運算性質嗎？為什么沒有我們熟悉的加減運算呢？

（4）與指數冪運算性質進行類比，對數也應該存在相應的運算性質，本節課咱們就是要探索對數運算性質，具體該從哪里下手呢？

循序漸進的問題串，以學生的思維為起點，讓每一個學生都明白教師問的是什么，需要解決的問題是什么，探索的主題又是什么，逐層遞進的問題成了學生思維拾級而上的“腳手架”，條理清晰、層次分明的問題讓學生將“對數運算性質”鎖定為本節課的核心知識，接下來就是圍繞這個核心知識進行探索.

強調課堂的“緩慢性”

數學教學也是思維的教學，尤其在促進學生邏輯思維的發展方面，具有其他學科無法比擬的優勢. 為了有效發展學生的思維能力，需要教師為學生提供更多的機會、時間與空間，讓學生經歷探索過程. 實踐證明，放緩課堂教學節奏是促進學生思維發展的重要手段.

1. 讓學生親歷知識形成的過程

在實際教學中，教師可適當延長知識的暴露時間，增加學生動手操作、思考與感悟的機會，讓學生在“延時滿足”中對知識產生更大的渴求欲. 學生在充滿“想法”與“念頭”的背景下探索新知，往往能有更好的思維體驗. 教師若將結論直接“奉送”給學生，則學生會因缺乏觀察、發現、猜想、驗證等過程，無法促進思維的發展.

事實告訴我們，只有經歷完整的知識探索過程，才能實現學生從感性認識上升到理性認識. 不論多么簡單的知識，都不要剝奪學生親歷探索的機會，這樣才能使學生從真正意義上理解知識本質，獲得“如何思考”的能力.

2. 提供充足的領悟時間與空間

學之道在于悟. 學生先回顧舊知，再接觸新知，最后內化新知，需要領悟的時間與空間. 俗話說“欲速則不達”，只有放慢教學的腳步，讓學生有充足的時間進行領悟，才能充分發揮學生的智慧，讓學生迸發出豐富的想象力，形成創新意識. 當然，課堂也會因為這種“慢”，而充滿靈性與智慧.

反之，注入式的教學雖然能在短時間內提供大量知識，但這種漠視學生思維與智慧發展的做法，只會消減學生學習的積極性，讓學生浮于表面認識相關知識，無法達到既懂又會的境界. 長此以往，學生會因缺乏獨立思考問題的習慣，以及沒有自主建構的能力，而形成思維惰性，即便聽得懂也不會使用.

3. 鼓勵學生表達出自己的想法

新課標明確提出，要讓學生在數學學習中形成用數學語言表達世界的能力. 語言表達是將思維外顯的過程，良好的表達能力讓學生思維的嚴謹性落地生根，讓學生掃除“想不到”的障礙. 在教學中，有一種現象非常普遍，即學生遇到一個問題時冥思苦想，但就是找不到頭緒，而旁人輕輕一點撥，瞬間就恍然大悟. 為什么會出現這種情況呢？該如何化解呢？

這種學生“想不到”的情況，主要源于學生平時表達得少，數學綜合素養不高. 想要解決這個問題，最好的辦法就是放慢課堂節奏，為學生提供更多的表達機會，放手讓學生去“說”，鼓勵學生將自己的想法（不論是對的還是錯的）都勇敢地表達出來. 久而久之，學生的思維就會變得更加敏捷，遇到問題時也能抓到關鍵.

4. 盡可能不去干擾學生的思維

學生在盡情思考或表達的過程中，有些教師常會打斷學生的思路，企圖讓學生的思路完全沿著自己的思路走. 殊不知，每一個學生都是獨立的個體，都有自己的思路或思維，教師若貿然干擾學生的思路或思維，則會消減學生想表達的欲望，導致學生思路或思維的發展中斷.

“知己知彼，百戰不殆”. 教師可模擬學生的心理活動，為做好引導工作奠定基礎. 學生常見的心理活動有：①為什么都是你問我答？能不能我問你答？②我又不是天才，要是什么都會，還要老師做什么？③我還沒想好呢，怎么就往下講了？④我好像有點頭緒了，讓我表現一下吧！④討厭“題型＋技巧”的模式，我自己總結提煉出的方法好像更好一些……教師一旦了解了學生心中所想，那么教學就有了方向.

教學設計三

（1）回顧指數冪運算性質和對數定義.

（2）閱讀教材對對數運算性質的證明過程.

（3）分析對數運算性質的結構，然后練習訓練.

在該設計中，教師在課堂引導學生進行對數運算性質的證明，僅僅用了五分鐘的時間，課堂的大部分時間都用在了對數運算性質的練習訓練上. 通過交談得知，這位教師“直奔主題”的設計原因在于：他認為對數運算性質并不復雜，讓學生明確本節課教學的核心就行，將大量時間用在練習訓練上，能提高學生的解題能力與思維能力.

這位教師的想法具有一定的代表性，在“減負增效”的背景下，確實有不少教師出現了急功近利的教學行為. 這種不了解學生真正需求的教學方法，看似熱鬧，實則是學生“懂而不會”現象出現的根源.

對于對數運算性質而言，難度系數確實不大，學生理解起來也不費勁. 但要讓學生理解其運算性質的本質與內涵，達到深度掌握并能靈活應用的程度，還需要教師放慢教學節奏，帶領學生經歷對數運算性質形成與發展的過程，提高學生以不變應萬變的解題能力. 鑒于此，教師可根據學情設計教學方案，讓學生在獨立思考、自主探索與合作交流中互相啟發、補充，達到良好的教學成效.

“懂而不會”現象的形成與師生雙邊都有關系，想要徹底解決這個問題，就要立足章建躍教授提出的“理解數學、理解學生、理解教學”的觀念，帶領學生對知識做到“知其然且知其所以然”. 如本節課的“其然”為對數運算性質，而“其所以然”是指用化歸思想證明對數運算性質的過程，實際上這也是學生發現問題、提出問題與解決問題的過程.

總之，“懂而不會”現象形成的原因是多方面的，教師應在“三個理解”的基礎上，培養學生的“三會”能力，這是數學教學的根本任務，也是突破學生思維障礙的重要工序. 只有讓學生做到“既懂又會”，才能使學生養成獨立處理問題的能力.

作者簡介：曹梅（1985—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，海安市骨干教師.