關注高三專題復習?搖 促進數學學力發展

［摘? 要］ 數學家萊布尼茲曾經說過，“用一，從無，可生萬物”. 數學專題復習即從“一”出發，讓學生有針對性地突破某個知識難點，促進解題能力的觸類旁通. 文章以“解析幾何中的動點問題”為例，從“循序漸進，激活思維”“深入探索，發展思維”“一題多解，提煉思想”“歸納總結，發展學力”四方面展開分析，并提出幾點思考.

［關鍵詞］ 專題復習；動點問題；數學思想

專題復習是指立足實際教情、學情與考情，有針對性地選擇一個切入口小的復習專題，力求讓學生通過對幾個典型問題的研究，學會觸類旁通，提高解題能力. 高三專題復習課的質量，對學生知識與技能的掌握程度、數學思想方法的提煉、思維能力的提升以及數學學科核心素養的形成與發展具有直接影響.

教學過程

1. 循序漸進，激活思維

思維發展遵循一定的規律. 復習課上的內容，雖說學生學習過，但結合艾賓浩斯遺忘曲線可知，經過一定的時間，出現遺忘屬于正常現象. 因此，在專題復習課的伊始，教師需要借助一些低起點的問題讓學生的思維“熱熱身”，使學生循序漸進地進入專題復習的探索狀態.

解析幾何中的動點問題是高中數學教學的重點與難點內容之一. 鑒于學生對這部分知識內容有所遺忘，筆者根據學生的實際認知水平，精心挑選了以下三個問題，由淺入深地激活學生的思維，讓學生進入自主探索狀態.

問題1 已知在△ABC中，AB，BC，AC三邊成等差數列，點B（－3，0），C（3，0），寫出點A的軌跡方程.

解題實況 此問，學生主要呈現以下兩種求解方法：①直接法，設點A的坐標，再化簡；②定義法，借助橢圓的定義獲得點A的軌跡為橢圓. 很明顯，定義法優于直接法. 通過交流發現，學生對于曲線方程相關知識比較生疏，對于求軌跡方程必須檢驗其完備性出現了遺忘現象.

設計意圖 設置問題1意在引發學生自主學習，讓學生回顧用直接法和定義法求解動點問題的思路. 顯然，定義法在應用時，比直接法更加簡便. 這要求學生熟悉圓、橢圓、雙曲線與拋物線的定義. 另外，本題提醒學生求動點的軌跡方程時務必檢驗其完備性.

問題2 已知在平面直角坐標系xOy中，如果點P為一個動點，且在拋物線y=2x2+1上移動，點M是點Q（0，－1）和點P連線的中點，寫出點M的軌跡方程.

問題3 已知在平面直角坐標系xOy中，點Q（2a，a－3），點P是圓C：（x－1）2+y2=4上的任意點，求線段PQ的最小值.

解題實況 大部分學生都選擇用兩點間的距離公式獲得點Q與圓心距離的最小值，而后減掉半徑，即得問題的解；也有少部分學生選擇用消參法獲得點Q的方程是一個直線方程，如此將最小值問題轉化成點到直線的距離問題.

設計意圖 本題意在讓學生用消參法來求動點的軌跡方程. 但從解題實況來看，學生在這方面的意識并不強，因此課堂中應注重軌跡思想的滲透.

此環節用時10分鐘，在學生自主解決問題的基礎上，主要引導學生鞏固相關概念與解題方法等. 對于學生存在的疑問，筆者給予適當的點撥與引導，為本節課的教學夯實了思維基礎.

2. 深入探索，發展思維

鑒于專題復習的針對性強，選題不可能做到面面俱到，這就要求教師結合課程標準與學生在知識、方法與能力方面的弱點，擇取合適的問題，讓學生在有限的問題探索中獲得最大程度的發展.

本節課，筆者在章建躍先生所提出的“理解教學、理解學生、理解數學”（簡稱“三個理解”）的基礎上，又精心設計了以下三個問題，以期增強學生對“解析幾何中的動點問題”的認識，為形成良好的解題技巧與思維能力奠定基礎.

問題4 已知圓（x－2a）2+（y－a－3）2=4上恒有兩點與原點的距離是1，求實數a的取值范圍.

設計意圖 設置本題意在深化學生對解析幾何中的動點問題的理解，為優化學生的解題思路奠定基礎.

設計意圖 讓學生從常用的兩種解法出發，發現解法2的優勢在于計算更簡便、直接. 在此基礎上適當引導與拓展，具有拔高學生思維的作用，讓學生學會自主探尋知識間的聯系與區別，從而更好地發現與把握知識本質.

從學生在課堂中的表現（大部分學生直接應用的是解法2）來看，在軌跡思想的應用中，學生的能力有所提升. 以阿波羅尼斯圓為背景的引導與點撥，進一步培養了學生的創造意識，讓學生學會了靈活轉化，這是學習能力有效發展的表現.

3. 一題多解，提煉思想

縱然不少教師非常希望自己能將復習專題課上好，讓學生達到舉一反三的解題能力，但理想很豐滿，現實總是很骨感. 確實，專題復習課雖然有高度的針對性，但高考試題的綜合性很強，考查的是學生的思維能力與數學思想方法的應用情況.

究竟怎樣能讓學生通過課堂中的幾道題形成以一通百的解題能力呢？這是一個永不過時的問題. 實踐證明，借助一題多解、一解多題等方式，能有效幫助學生提煉數學思想方法，讓學生獲得用數學思想方法來“統領”零碎知識的能力，為形成觸類旁通的解題能力奠定基礎.

設計意圖 上述兩種解法，在設點上存在差異，但思路不約而同——都是從點出發探尋所設點的軌跡方程，此為曲線軌跡方程問題的求解本質. 學生通過一題多解的練習訓練，不僅深化了對“用相關點法求動點軌跡方程”的認識和理解，還從中提煉出了相應的數學思想方法，為后續解決更多問題奠定了方法基礎.

4. 歸納總結，發展學力

師：回顧本節課學習的知識，請大家談談自己的收獲.

設計意圖 這是一個典型的開放式總結，不同水平層次的學生都可以參與，從學生的言談中辨析本節課教學的成敗，為后續調整教學方案提供了依據.

在總結過程中，有學生緊扣核心概念對曲線方程問題的解法總結得很到位；有學生對動點軌跡方程的求解提出了不同的想法；還有學生總結了本節課所涉及的數學思想方法. 學生的娓娓道來表明其思維自然流暢，體現出了課堂的生態性.

最后，筆者給學生留下一組關于“解析幾何中的動點問題”的高考模擬題作為課后作業，力求達到“學以致用”的目的，從綜合性的角度幫助學生鞏固本節課所學的知識，從真正意義上促進學生學習能力的發展.

幾點思考

1. 課程設定需合理

鑒于高三復習時間緊、任務重，不可能將所有知識都設計成復習專題，因此教師在專題復習課程的設定上需要花費一點功夫. 教師可結合課程標準、考綱與考試說明等要求，通過對近些年的高頻考點的分析，將一些難度較大的教學內容科學地分成若干個小專題，應用多種教學手段逐個突破.

如本節課所研究的“解析幾何中的動點問題”就屬于直線與圓錐曲線下的一個子專題. 通過一節課的針對性復習，可以有效幫助學生突破思維的障礙，為打破知識間的界限奠定基礎. 在專題復習后再進行綜合訓練，不僅能有效提高學生的解題技巧，還能加強知識章節間的縱橫聯系.

2. 問題選擇需謹慎

既然為專題復習課，必然離不開問題的輔助. 而問題的選擇，則決定著一節課的成敗. 專題復習課的問題用于幫助學生突破原有認知障礙，攻克教學重點與難點，為高考服務. 此背景下的問題選擇要求比較高，除了難易程度要適中外，還要具有示范性與創新性.

專題復習課的問題不在于難度大，而在于典型；切忌從教輔資料上隨意摘取，而應結合學生的實際認知水平與特點，盡可能設計能夠幫助學生積累解題經驗，發展學生的數學思維，提煉學生的數學思想方法的問題，讓學生在問題的剖析中獲得舉一反三的解題能力.

3. 思想方法需滲透

雖說搞教育的人都知道數學思想方法的重要性，但數學思想方法的形成并非一朝一夕的事情，而需經過日積月累的滲透，讓學生自主提煉而來. 如本節課的問題都滲透著轉化思想，思路都指向動點軌跡方程的求解，只要學生能踏踏實實地分析、解題，一節課下來基本能提煉出相應的數學思想方法.

從學生解題的實際情況來看，不少學生容易忽略求動點軌跡方程的思想方法. 鑒于這種情況，教師需要有意識地帶領學生提煉數學思想方法，鼓勵學生自主探究問題本質，想方設法挖掘掩藏在問題背后的數學思想方法，從而跳出“題海”.

4. 復習過程有梯度

專題復習中的內容，雖說學生學習過，但學生的思維在復習前仍處于“休眠”狀態，這就需要教師從低起點出發，創設跨度小、密度大的問題，激活學生的思維，讓學生做足“準備活動”，使學生的思維充滿條理性，提高教學效率的同時讓學生感到學習帶來的成就感，增加學生的學習信心.

總之，高三專題復習應從高考熱點、難點與核心點出發，挖掘知識深度的同時還要關注知識模塊間的聯系、學習能力的培養以及數學思想方法的滲透等，從真正意義上提升學生的綜合解題能力，發展學生的數學學科核心素養.

作者簡介：王海娟（1982—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲江陰市先進工作者榮譽.