引例分析突破，解法反思整合

盧平

［摘? 要］ 在圓錐曲線綜合題探究中，需要關注問題類型，整合條件突破過程，總結類型題的求解策略. 同時要精選問題開展應用探究，幫助學生內化吸收，提升學生的解題思維. 文章圍繞一道圓錐曲線綜合題展開解題探究，并提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；存在性；定值；面積

圓錐曲線是高中數學的重難點知識，涉及函數、直線、解析幾何等相關知識. 研究位置關系，聯立方程簡化問題、轉化條件，使用對應技巧整合條件、構建思路是常規解題策略. 下面結合實例深入探究.

引例探究

1. 問題呈現

（1）求橢圓C的標準方程；

2. 思路分析

題設兩問，第（1）問根據上述核心條件即可求解；第（2）問整體上可視為存在性問題，涉及定值分析，面積最值求解，綜合性極強，需要采用“聯立方程—整合韋達定理—構建面積模型”的策略. 具體求解時建議采用分步突破轉化的方式.

3. 過程突破

（2）探究存在性問題，采用分步突破轉化的方式.

第一步，聯立方程，整合韋達定理.

第二步，利用向量，轉化定值條件.

第三步，構建模型，分析面積最值.

解后反思

上述針對一道圓錐曲線綜合題展開解題探究，涉及圓錐曲線、解析幾何、代數方程、不等式等相關知識. 題設兩問，第（1）問為常規的求圓錐曲線的方程，第（2）問則是綜合性極強的應用題. 下面進一步思考，探索求解方法，總結求解策略.

1. 探索求解方法

上述求解圓錐曲線的兩問采用的是常規方法，第（1）問構建模型轉化面積條件，推導其中的特征參數；第（2）問則是聯立構建，重點轉化分析向量運算. 實際上對于上述兩問，還可以采用不同的解法，下面具體探究.

2. 總結求解策略

上述第（2）問有極強的綜合性，實際上屬于圓錐曲線的常見類型題，下面總結對應的求解策略.

（1）存在性問題的求解策略.

特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過探究其中的特殊情況，得到所求要素的必要條件，然后再證明所求要素也可使得其他情況均成立.

核心變量的選取：由于解決存在性問題的核心為求出未知要素，因此通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要時再消去.

核心變量的求法：

①直接法：利用條件與輔助變量直接表示所求要素，并求解.

②間接法：若無法直接求解要素，則可將核心變量整合到條件中，列出關于核心變量與輔助變量的方程（組），利用方程思想求解.

（2）定值問題的求解策略.

①確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余變量均利用條件用核心變量進行表示.

②所求表達式用核心變量來表示（有的甚至就是核心變量），然后化簡，看能否得到一個常數.

（3）問題的求解策略.

①直接求解：尋底找高，需要確定兩條線段的長度，為簡化運算，通常優先選擇坐標法，即用坐標來表示底（或高）.

②分割法：將不規則多邊形分割成若干個面積易于計算的三角形.

應用拓展

問題2 已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到準線的最短距離為2，且橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3. 設A，F分別為橢圓C的右頂點和左焦點，過點F的直線交橢圓C于點M，N，直線AM，AN分別與直線l：x=－3交于點P，Q.

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：直線FP和直線FQ的斜率之積為定值；

（3）求△AFP與△AFQ面積之和的最小值.

評析 上述圓錐曲線問題設計了三個小問，其中后兩個小問為核心之問，分別是：證明斜率之積為定值，求解面積之和的最小值. 證明斜率之積為定值，先將斜率之積用核心變量表示出來，然后化簡求出常數（定值）. 求解面積之和的最小值，則尋底找高直接構建模型，將其轉化為關于核心變量的函數，再利用不等式的性質求解.

教學建議

上述對圓錐曲線綜合題進行探究解析，總結方法策略，并強化應用，其探究思路有一定的參考價值. 下面結合教學實踐進一步思考，提出相應的教學建議.

1. 挖掘知識考點，透視問題本質

圓錐曲線問題是高中數學的核心問題，需要學生歸納題型，掌握對應的解法. 解題教學的初始階段，需要引導學生關注問題特征，挖掘其中的知識點，透視問題本質. 可從以下三方面進行：一是讀題審題，結合圖形理解題意；二是重點關注其中的核心條件和問題，挖掘其中的知識點，明確問題考查的內容；三是聯系教材，深入思考問題，透視問題本質，明晰問題考查的重點知識、方法，為后續解題思路的探索做鋪墊.

2. 過程解析探究，整合方法思路

圓錐曲線問題的綜合性較強，探究時建議采用過程解析、方法思路整合的策略. 即圍繞類型問題，總結破解方法和策略. 以問題1的第（2）問為例，采用的是分步突破轉化方式，即先分步拆分解題過程，然后針對問題（存在性問題、定值問題、面積問題）總結求解策略. 教學中建議采用這種方式，設置例題引導學生分步拆分解題過程，然后圍繞核心問題總結方法策略，讓學生明晰類型問題的探究思路.

3. 強化解法應用，拓展解題思維

在解題教學中，要注意完成方法思路整合后，精選問題引導學生進一步探究，強化解法應用. 應用探究可分為三個環節：第一，引導學生分析問題，定位問題，思考求解方法；第二，構建解題思路，探索過程，求解問題；第三，反思解題過程，思考解題使用的方法和策略，完善解法. 教師要關注學生的思維變化，適度引導，拓展學生的思維，幫助學生內化吸收，形成自我的求解策略.

寫在最后

圓錐曲線綜合題涉及眾多知識點，解題探究中要關注核心之問，明晰類型問題，總結破解方法和策略. 在教學中，教師要注意課堂引導，給學生留足思考時間，培養學生的解題思維；合理滲透數學思想方法，提升學生的綜合素養.