關于解析幾何內容的備考探究

張薇

［摘? 要］ 解析幾何復習備考階段，需要對其知識與方法進行梳理，回歸教材基礎，歸納簡算方法，開展一題多解，總結二級結論. 研究者對解析幾何內容進行綜合分析，結合高考提出四點復習建議，以期對教師教學與學生備考有所幫助.

［關鍵詞］ 解析幾何；備考；教材；簡算；多解；結論

綜合分析

解析幾何是高中數學的重難點知識，在高考中有極為重要的地位，常作為壓軸題出現，考查學生的綜合能力. 小題中以基本概念和性質為主，大題中則更關注其綜合性，如弦長問題、存在性問題、定值定點問題等. 備考探究中需要對解析幾何知識進行整合，明確高考大綱及常規考查方式，下面為新課標與高考大綱對解析幾何復習與考查的要點的整合.

（1）結合平面直角坐標系，認識直線、曲線的幾何特征，建立對應的標準方程.

（2）運用代數法認識幾何圖形的性質，了解直線與曲線之間的位置關系，運用幾何法解決數學問題、實際問題，感悟其中的數形結合思想.

（3）根據幾何問題的圖形特點，利用代數語言將幾何問題代數化，通過分析幾何問題及其圖象，探索問題解決思路.

（4）運用代數法分析幾何圖形，推導常用的結論，并對代數相關結論進行合理的幾何剖析，構建幾何與代數的對應關系.

（5）探究并重視解析幾何中的數學思想，注重提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學建模和數學抽象等素養.

復習建議

關于解析幾何的備考探究，要注重學生知識與能力的全面提升. 實際教學中要圍繞高考考點，梳理整合重點知識，明確教學目標. 總體上可細分為三大要點：一是直線的傾斜角、斜率及方程的整合；二是曲線的定義、標準方程、幾何性質的整合；三是構建直線與曲線的知識聯系，探求綜合性問題的破解方法. 下文圍繞解析幾何經典問題，對解析幾何備考內容進行探索，提出相應的備考建議.

1. 追本溯源，夯實基礎

高考經典問題為復習備考提供了指向，考題實際上源于教材又高于教材，常以教材習題為背景而整合命制. 因此復習備考時可對考題進行溯源探究，關注其命制過程，總結解析思路、破解方法.

例1 設F為拋物線C：y2=4x的焦點，點A在C上，點B（3，0），若AF=BF，則AB=（? ）

溯源：本題為2022年高考全國乙卷理數第5題，為拋物線焦點問題. 實際上，本題與人教A版選擇性必修第一冊3.3.2中的例4相似. 本題解析的關鍵是將線段相等（AF=BF）轉化為兩點（點A，B）間的距離.

備考建議：復習備考要引導學生回歸教材，重視教材的核心價值；要認真研究并立足教材中的例題和習題，但不能拘泥于教材；要適度開發教材，引領學生再理解例題和習題、知識內容、數學思想等，使學生從問題中突破，在解題中升華；要讓學生注意知識間的內在關系，幫助學生完善知識體系.

2. 優化過程，強調運算

“運算過程煩瑣、復雜”是解析幾何的特征，對學生的運算能力有較高要求. 學生在考場上需要快速確定解題思路，找到優化過程的方法. 因此，復習備考要引導學生構建運算過程，優化運算方法，總結運算技巧，強化運算訓練，不斷提升學生的運算能力.

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，證明：直線MN過定點.

解析 本題為一道解析幾何綜合題，第（2）問為核心之問，其證明過程中的運算較為煩瑣，需要優化運算方法、關注簡算技巧.

①簡算技巧1——整體代入.

②簡算技巧2——因式分解.

（**）式為含參方程，需要對其進行因式分解，是解題的關鍵和難點之一.（**）式可先通分，再整理為4k2+8km+3m2-2m-1=0，將兩個參數中的一個視為未知量，另一個視為常數，然后對其進行因式分解.

備考建議：“過程優化，簡算推導”是解析幾何問題分析運算的關鍵，有助于考場節約時間，提高解題效率. 解析幾何問題中的簡算技巧有很多，教學中要指導學生總結歸納，充分掌握簡算技巧的精髓. 在此總結常用的四種：

（1）設而不求，整體代入. 該技巧常用于直線方程與曲線方程聯立推導中，如上述問題利用該技巧將向量積轉化為含參方程.

（2）活用定義，巧用性質. 對于部分解析幾何問題，要靈活運用其定義和性質，如涉及解析幾何焦點、準線的問題，可以嘗試直接運用對應定義轉化距離條件.

（3）借用幾何性質. 數形結合是研究解析幾何的重要方法，對于其中的運算問題，必要時可以借用對應的幾何性質，直接推導結論. 如中位線的幾何意義、向量積為零的幾何意義等.

（4）主元設定，靈活轉換. 該技巧常用于含有兩個參數的方程的簡算，對于方程中的兩個未知數，可以設定主元，靈活轉換，對方程進行因式分解. 如上述簡算技巧2中的因式分解，方便求解參數關系.

3. 一題多解，思路拓展

復習備考需要注意解析幾何問題的多解探索，幫助學生拓展思路. 既需要注重通性通法，還需要重視一題多解的探究. 一題多解的探究可以從兩個方面進行：一是探究多解的方法；二是探究多解的思路構建.

（1）求C的方程；

解析 本題是一道解析幾何綜合題，第（2）問為核心之問，求解兩直線的斜率之和，可采用不同的方法來設定直線的方程.

方法1：設直線的點斜式方程.

方法2：設直線的斜截式方程.

方法3：設雙直線二次曲線系方程.

備考建議：開展一題多解的探究是復習備考的重要環節. 在該環節中，要指導學生完成兩方面的內容：一是總結類型題的常規解法，即通性通法；二是在此基礎上開展多解思路、多解視角、多解方法、多解技巧等的分析.

總結歸納，活用二級結論

面對圓錐曲線問題時，活用一些二級結論可以簡化解題過程，提高解題效果. 因此復習備考時應整理一些關于圓錐曲線的二級結論，包括兩點：一是二級結論的內容，二是二級結論的類型.

備考建議：圓錐曲線的二級結論較多，涉及眾多知識內容，教學探究中需要引導學生注意兩點：一是總結歸納二級結論的類型；二是探索證明二級結論，挖掘其背后的性質原理，深刻理解其內涵.

圓錐曲線的二級結論類型豐富，包括與“焦點三角形”面積相關的二級結論，與“中心弦”性質相關的二級結論，與“中點弦”性質相關的二級結論，與“焦點弦”性質相關的二級結論.

寫在最后

解析幾何的知識內容較多，涉及眾多考點，復習備考階段需要對考點內容進行梳理. 教學中教師要圍繞高考大綱引導學生夯實知識基礎，總結歸納方法，拓展解題思維. 上文所提的四大備考建議是基于考向的總結，教學時可結合考題進行強化，促進學生知識與能力的全面提升.