關(guān)于函數(shù)周期性與對稱性的探究

王軍 武嬋

［摘? 要］ 函數(shù)的周期性和對稱性是考查重點(diǎn)，常出現(xiàn)于函數(shù)綜合題中. 開展函數(shù)“雙性”探究，對總結(jié)函數(shù)綜合題的求解模板，探索函數(shù)性質(zhì)規(guī)律十分必要.

［關(guān)鍵詞］ 函數(shù)；周期性；對稱性；數(shù)形結(jié)合；圖象

周期性和對稱性是函數(shù)兩個重要的性質(zhì)，也是函數(shù)重要的研究內(nèi)容，高考中常綜合考查這兩個性質(zhì)以及其聯(lián)系. 在探究學(xué)習(xí)中，需要學(xué)生掌握常見函數(shù)的周期性和對稱性，并總結(jié)函數(shù)綜合性問題的求解方法，形成相應(yīng)的求解策略，下面分別探析.

函數(shù)周期性的探究

1. 總結(jié)策略

函數(shù)的周期性是其基礎(chǔ)性質(zhì)之一. 函數(shù)解析式的取值有一定的周期性，對應(yīng)的函數(shù)圖象呈現(xiàn)周期性變化. 探究函數(shù)的周期性需要關(guān)注其變化周期，結(jié)合函數(shù)的基礎(chǔ)知識求解. 求解思路分三步構(gòu)建.

第一步，合理利用已知函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行靈活變形.

第二步，熟記常見結(jié)論，準(zhǔn)確求出函數(shù)的周期.

（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=f（x－a），則函數(shù)f（x）的周期為2a；

第三步，用函數(shù)f（x）的周期性求解實(shí)際問題.

2. 解題示范

例1 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），若區(qū)間［-1，1］上f（x）=ax+2，－1≤x≤0，（a－2x）ex，0

解析 本題中的函數(shù)f（x）具有周期性，可以先推導(dǎo)其周期再求解，在此采用三步解析策略.

第一步，準(zhǔn)確求出函數(shù)f（x）的周期. 已知f（x+2）=f（x），可得f（x）是周期為2的函數(shù).

第二步，用函數(shù)f（x）的周期確定其解析式. 令x=－1，結(jié)合函數(shù)的周期可得f（－1）=f（1），即－a+2=（a－2）e，解得a=2. 所以，f（x）=2x+2，－1≤x≤0，（2－2x）ex，0

第三步，用函數(shù)f（x）的周期性求解問題. f（2017）+f（2018）=f（1）+f（0）=0+2=2.

評析 本題求解采用的是三步解析策略：確定函數(shù)的周期，推導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的周期完成求解. 函數(shù)的周期性是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)，對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，以及利用函數(shù)的周期性求值. 具體解析時可結(jié)合數(shù)值來檢驗(yàn)推導(dǎo)出來的函數(shù)周期，確定函數(shù)周期準(zhǔn)確無誤.

3. 強(qiáng)化應(yīng)用

A. －3 B. －2 C. 0 D. 1

解析 本題是周期函數(shù)求值題，可根據(jù)題意賦值，先確定函數(shù)f（x）的周期，再求出函數(shù)f（x）在一個周期中的f（1），f（2），…，f（6）的值，最后完成求解.

因?yàn)閒（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），令x=1，y=0，可得2f（1）=f（1）f（0），所以f（0）=2. 令x=0，可得f（y）+f（－y）=2f（y），即f（y）=f（－y），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

令y=1，得f（x+1）+f（x－1）=f（x）·f（1）=f（x），即f（x+2）+f（x）=f（x+1），可知f（x+2）=－f（x－1），f（x－1）=－f（x－4），故f（x+2）=f（x－4），即f（x）=f（x+6），所以函數(shù)f（x）的一個周期為6.

因?yàn)閒（2）=f（1）－f（0）=1－2=－1，f（3）=f（2）－f（1）=－1－1=－2，f（－2）=f（4）=f（2）=－1，f（5）=f（－1）=f（1）=1，f（6）=f（0）=2，所以一個周期內(nèi)的f（1）+f（2）+…+f（6）=0. 由于22除以6余4，因此f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1－1－2－1=－3. 故答案為A.

評析 上述解題過程為：先賦值變形，再推導(dǎo)函數(shù)的周期，得到一個周期內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值，最后完成求解. 對于周期函數(shù)的求和問題，整體上可以采用這個三步解析策略.

4. 變式拓展

例3 已知函數(shù)f（x），對于任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x－y）=f 2（x）－f 2（y），且f（1）=2，f（2）=0，則f（1）+f（2）+…+f（90）的值為_____.

解析 本題為函數(shù)取值探究題，需要解析函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)函數(shù)的周期或變化規(guī)律，再利用函數(shù)性質(zhì)來求值. 其中關(guān)系式f（x+y）f（x－y）=f 2（x）－f 2（y）較為復(fù)雜，可取特殊值來分析周期或變化規(guī)律，過程如下：

令x=2，y=1，則f（3）f（1）=f 2（2）－f 2（1），所以f（3）=－2；

令x=3，y=2，則f（5）f（1）=f 2（3）－f 2（2）=4，所以f（5）=2；

令y=2，則f（x+2）f（x－2）=f 2（x），所以f（7）=－2，f（9）=2.

所以，f（2k+1）=（－1）k·2（k∈Z）.

令x=3，y=1，則f（4）f（2）=0①；令x=4，y=2，則f（6）f（2）=f 2（4）②；令x=5，y=1，則f（6）f（4）=0③.

假設(shè)f（4）≠0，那么由③可知f（6）=0. 將f（2）=0，f（6）=0代入②式中，發(fā)現(xiàn)與f（4）≠0矛盾，所以f（4）≠0不成立，故f（4）=0. 同理可得當(dāng)x為偶數(shù)時，f（x）=0. 所以，原式=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（89）=2.

評析 上述解析抽象函數(shù)取值時，采用的是取特殊值的思路，推知函數(shù)f（x）的自變量取奇數(shù)和偶數(shù)時的規(guī)律，得到函數(shù)值的和. 函數(shù)周期性探究問題有兩類，一類是函數(shù)具有固定的周期，另一類是函數(shù)具有特殊的變化規(guī)律. 上述問題可以歸為后者，具有特殊的變化規(guī)律.

函數(shù)對稱性的探究

函數(shù)的對稱性也是探究重點(diǎn)，包括軸對稱和中心對稱兩種類型. 探究解析需要理解兩類對稱的含義及特性，概括常見的函數(shù)對稱性結(jié)論，并結(jié)合實(shí)例，生成相應(yīng)的思路. 對于一般的函數(shù)對稱性問題，同樣可以分三步進(jìn)行解析：第一步，解析變形與函數(shù)相關(guān)的條件，如函數(shù)關(guān)系式；第二步，確定并驗(yàn)證函數(shù)的對稱性；第三步，基于對稱性及相關(guān)結(jié)論完成問題求解.

1. 概括結(jié)論

對于函數(shù)對稱性問題，可以直接套用常見的函數(shù)對稱性結(jié)論，簡化解析過程.

2. 解題示范

解析 本題為多函數(shù)求值問題，涉及三類函數(shù). 可以先確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，再結(jié)合對應(yīng)結(jié)論來推導(dǎo). 本題分三步進(jìn)行求解：第一步，根據(jù)函數(shù)的解析式分析函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的對稱性；第二步，聯(lián)立函數(shù)方程，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)來求值.

評析 上述解析多函數(shù)求值問題時，主要利用的是函數(shù)的特殊性質(zhì). 同時把握問題的幾何意義，將求值問題轉(zhuǎn)化為求中點(diǎn)坐標(biāo)問題，再通過方程聯(lián)立的方式來求解. 對于函數(shù)對稱性問題，可以先靈活轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系條件，再利用對稱性結(jié)論求解.

3. 強(qiáng)化應(yīng)用

解析 本題為分段函數(shù)求值問題，解析時先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及其對稱性，轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建新函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性來求取值范圍.

由于2

4. 變式拓展

評析 上述求解過程借用函數(shù)的周期性、對稱性作函數(shù)圖象，確定兩函數(shù)的交點(diǎn)以及特點(diǎn)，從而直接推出零點(diǎn)之和. 整體上采用了化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想方法，即先將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)相交問題，然后通過數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)性質(zhì)，挖掘隱含信息，簡化解析過程.

函數(shù)“雙性”探究的建議

周期性和對稱性是函數(shù)的核心性質(zhì)，也是高中函數(shù)探究的重點(diǎn)，上述總結(jié)了周期性問題的解題模板，以及對稱性問題常用的結(jié)論. 在實(shí)際探究中筆者建議：

（1）性質(zhì)探究注意結(jié)合圖象. 無論是函數(shù)的周期性，還是函數(shù)的對稱性，均可以直觀體現(xiàn)在圖象上，探究時可以結(jié)合對應(yīng)的圖象，直觀分析，深刻理解.

（2）性質(zhì)探究注意結(jié)論梳理. 函數(shù)“雙性”中存在一些常用的結(jié)論，總結(jié)歸納，靈活運(yùn)用可以降低思維難度，簡化運(yùn)算過程.

（3）解題探究逐步深入. 解題探究有助于深刻理解函數(shù)“雙性”，靈活運(yùn)用解題模板，拓展學(xué)生思維. 教學(xué)中建議按照由易到難、逐步深入的方式來開展解題策略構(gòu)建，如上述設(shè)計(jì)的“解題示范”“強(qiáng)化應(yīng)用”“變式拓展”等環(huán)節(jié).

（4）解題探究注意思考總結(jié). 解題探究時需要注意思維引導(dǎo)，讓學(xué)生按照總結(jié)的思路和方法分析問題，幫助學(xué)生強(qiáng)化類型問題的求解策略.

作者簡介：王軍（1990—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.