以必要性分析之矛，攻含參恒成立之盾

福建省南安第一中學 (362300) 盧 陽

河南省鄭州市春華學校 (450046) 付思琦

含參恒成立問題因綜合性強，解法靈活而備受命題者青睞.筆者在教學過程中了解到學生對于參數分類依據的尋找不勝其煩，需要有較強的思維與觀察能力.解題時，常從已知條件中推出一些結論，這些結論就是題目的必要條件，若能再論證充分性的成立，則問題得以解決.我們將這個方法稱為必要性探路.本文以2022年高考題為例，賞析利用必要性解題的魅力.

2022年高考Ⅱ卷與全國Ⅰ卷出現了兩道相同背景的含參恒成立問題，對學生造成了較大困擾.兩題背景如下：

第一類：若函數f(x,m)≥0(m為參數)在區間[a,b]上恒成立，且f(a)=0或f(b)=0，則f′(a)≥0或f′(b)≤0.

另外，將f(x,m)≥0改為f(x,m)≤0時，可類比上述等價轉化，不再贅述.

下面用反證法對第一類背景進行證明：

其他情況證明類似，請讀者自行證明.上述過程用到了函數極限的局部保號性，具體可見參考文獻[1].并且只給出了求參數范圍的必要條件，解題時還需要對充分性進行說明.

一、利用必要性求參數范圍

例1 (2022年Ⅱ卷22題第2問)f(x)=xeax-ex,當x>0時，f(x)<-1,求a的取值范圍.

分析：令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,于是g(x)≤g(0)=0對?x≥0恒成立.又g′(x)=eax+axeax-ex，且g′(0)=0，g″(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex，則g″(0)=2a-1，于是必要條件為2a-1≤0.

②當a≤0時，g′(x)=eax+axeax-ex<1+0-1=0,得到g(x)在(0，+∞)上為減函數，所以g(x)

例2 (2022年Ⅰ卷22題第2問)已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x,若f(x)在區間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

圖1

解：①當a≥0時，當x∈(-1,0]時，f′(x)>0成立，所以f(x)在x∈(-1,0]單調遞增，且f(x)=0，故x∈(-1,0]時，f(x)無零點，舍去；

(ⅰ)當x>0時，h′(x)>0，h(x)單調遞增，h′(0)=1+a<0，h(1)=e>0，故?x0∈(0,1)，使得h(x0)=0，當x∈(0,x0)時，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)單調遞增；又f(0)=0，且當x→+∞時,f(x)→+∞，此時在(0,+∞)上有一個零點；

綜上所述，a<-1.

評析：兩題的關鍵都在于對參數進行分類討論.例1利用端點函數值的特殊情況，再結合必要性探路，便可快速得到分類依據，是前面所說的第二類背景；例2難度較大，需要對函數圖像進行大致猜測，考查了學生的邏輯推理與直觀想象能力，突破口依舊是利用“f(0)=0”的特殊性和必要性探路，屬于第一類背景的變式.

除了求參數范圍外，高考和聯賽還時常考查求參數的取值.這類問題依舊面臨著分類依據不易找，討論情況繁而多，解題過程雜而長的特點.如能合理利用必要性縮小討論范圍甚至直接求出參數值，那就能“化繁為簡”.

二、利用必要性求參數值

例3 (2022福建預賽題)如果對任意x,y，不等式4x2+y2+1≥kx(y+1)恒成立，求最大常數k.

解：下面證明4x2+y2+1≥3x(y+1)對任意整數x,y均成立.

綜上，k最大為3.

評析：此題直接去求k的范圍，無論是直接討論還是分離參數，都顯得無從下手.若能枚舉一些特殊值代入不等式中，可得到一些必要條件，從而猜出k的最大值為3，進而把參數范圍的問題轉化為不含參數的證明題，難度大大降低.

解：下面證明a=-π符合題意.令g(x)=xsinx+cosx+πx-π2+1,g′(x)=xcosx+π,g″(x)=cosx-xsinx.

綜上，a=-π符合題意.

評析：此題主要考查運用導數判斷函數的單調性，零點存在定理等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解等能力.若對a進行分類，需要討論①a≥0，②-π