一道2022年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽最值試題的解法探究

山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

一、題目呈現(xiàn)

本題在無顯性等量條件下，探求三角函數(shù)的最值問題，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，具有較好的選拔功能.

二、題目解答

課程后的考試平均分高于課程前，分別為（18.8±1.7）分、（12.2±2.1）分，差異具有統(tǒng)計(jì)意義（t=-7.177 5，P＜0.001）（見表3）。所有學(xué)生均認(rèn)為該課程強(qiáng)度合適（100%）、對臨床實(shí)踐有幫助（100%）。

時(shí)取等號，所以f的最小值是20.

三、變式與推廣

1 置換變量

由于本題中變量x,y的地位相同，故交換二者的位置不影響結(jié)論的成立，即有.

2 置換三角函數(shù)

將解析式中的兩個(gè)三角函數(shù)互換，則有：

3 常值推廣

將解析式中兩分式分子中的常數(shù)“9”和“1”一般化，便得如下一般性結(jié)論：

證明：

四、強(qiáng)化練習(xí)

2.(2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測試第10題)已知函數(shù)

設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m，則( ).

參考答案：1.D2.BC3.π