巧設直線方程解過焦點的弦長問題
——以2022年全國Ⅰ卷第16題為例

江蘇省蘇州實驗中學 (215151) 張文海

高考選擇題，填空題中的解析幾何題大多概念性較強，小巧、靈活，思維多于計算.解答題則立意新穎，要求學生綜合運用所學代數、三角、幾何的知識分析問題，解決問題.下面以一道高考題為例，談談如何巧用公式來處理解析幾何中過焦點的弦長問題.

分析：本題主要考查直線與橢圓的位置關系的應用、橢圓的定義以及橢圓中的弦長問題，考查了學生公式選用能力、運算求解能力、幾何觀察能力，解題入口寬，思路多樣化．

思路1聯立方程，利用圓錐曲線弦長公式硬算

圖1

思路2觀察特征，利用焦點弦的坐標公式簡算

因為直線DE過了橢圓的左焦點F1，所以根據圓錐曲線的統一定義可以推導出DE=DF1+EF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2).

思路3調整視角，利用焦點弦極坐標公式巧算

可知△AF1F2為等邊三角形，DE為AF2的中垂線，所以EA=EF2，DA=DF2，故△ADE的周長等于△DF2E的周長4a．根據極坐標可得

故△ADE的周長等于△DF2E的周長4a=13．

思路4調整視角，利用焦點弦的參數方程妙算

在解析幾何中，解決直線與圓錐曲線位置關系問題的基本方法是設出直線方程，與圓錐曲線聯立方程組，利用韋達定理，體現一種“設而不求”的思想.在設直線方程時，我們習慣于用斜截式、點斜式、截距式，但對于過定點的弦長問題，我們不妨考慮圓錐曲線的極坐標方程或者直線的參數方程，可能會簡化我們的運算，提高答題的效率和效益.