定比點差法在圓錐曲線定值定點問題中的應用

湖北省荊門市龍泉中學 (448000) 范明輝

解析幾何中的圓錐曲線問題一直以來是高考數學中的一座“高地”，難于攻克，不少人都望而生畏，究其原因，不外乎是苦于圓錐曲線問題繁瑣的運算.定比點差法，則可以解決繁復的數學運算，優化解題過程.

一、定比點差法

所謂定比點差法，本質就是充分利用定比分點和圓錐曲線方程中橫、縱坐標表達式的一致性，而采用的一種優化運算過程的變形手段.

1.定比分點

2.調和點列

圖1

二、典例精析

1.定點問題

分析(1)聯立方程即可求解橢圓C的方程；(2)將|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|轉化為向量形式，利用定比分點公式，結合定比點差法，得出點Q的軌跡過定點.

2.定值問題

∴λ+μ=6，又

經過探究可以發現，類似于例1，例2的圓錐曲線定點、定值問題，通過“定比點差法”都可以較為容易的解決，解決的過程是有跡可循的，熟練掌握定比分點公式后可當作“模板”一樣快速完成，并且整個解答過程并沒有復雜的數學運算.由此可見，“定比點差法”在解決圓錐曲線中的定值、定點問題時有著不可忽視的優化作用，值得在日常教學中多加訓練和應用.