一道解析幾何高考題的背景思考與推廣

浙江省象山中學 (315700) 楊育池

1 試題呈現

這是2009年高考湖北卷理科數學第20題，不少文章對問題的解法進行過研究，本文只就試題的第二問中λ的值蘊含的背景及幾何意義進行更一般的闡述.

2 背景思考

極點、極線是《高等幾何》中的重要概念，在揭示二次曲線的性質有著強大的威力，二次曲線很多重要的幾何性質均與之有關.下面先簡要介紹關于極點、極線的基本知識與相關結論.

極點與極線的代數定義若二次曲線Γ的方程為Ax2+2Bxy+cy2+2Dx+2Ey+F=0，則稱點(x0,y0)與直線l:Ax0x+B(x0y+xy0)+cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0為二次曲線Γ的一對極點和極線.

如圖1，不在二次曲線Γ上的點A作曲線Γ的兩條割線，依次交曲線Γ于點C,D,E,F，直線CF,DE交于點B，直線CE,DF交于點H，則直線BH為點A關于Γ的極線，點A是直線BH關于Γ的的極線.這是極點、極線的幾何定義.應該特別注意，互相平行的直線交于射影平面上的無窮遠點；若點A在二次曲線Γ上，則Γ在點A處的切線是A關于Γ的極線l.在歐氏距離下，過點A的直線與極線l、曲線Γ的交點具有分割線段成比例的性質.

圖1

圖2

現將本文中的問題置于高等幾何背景下，我們可以發現，點A(a,0)與直線l:x=-a為關于拋物線y2=2px(p>0)的一對極點極線.因此，本題表面上考查三角形面積之間的確定關系，其實質是在二次曲線的極點、極線背景下，將點列經透視變換成相關點列后，考察對應線段之間的比例關系.

3 結論推廣

在設計試題時，將極點設置在曲線的對稱軸上，這樣其對應的極線則是軸的垂線，在坐標運算上較為簡單些.由于結果為定值，促使筆者進一步思考，對所有的二次曲線的一般位置的極點、極線是否存在同樣的數量關系？與極線垂直的直線具有平行性，如果將其垂線推廣為與極線相交的平行直線是否還能成立呢？回答是肯定的，即如下命題.

命題1 直線l是點A關于二次曲線Γ(A?Γ)的極線，過點A的直線交Γ于點M,N，自點M,N作兩平行線交l于點M1,N1，記△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面積分別為S1,S2,S3，則S22= 4S1S3.

圖3

同理，以點A為透視中心，點列N1,T,N,S與點列R,M1,M,S透視對應，點N為TN1的中點.由MM1//NN1，有∠AM1R=∠ATN1，∠AN1N=∠ARM1，于是，

兩式相乘即得S22= 4S1S3.

命題2 直線l為點A關于二次曲線Γ(A?Γ)的極線，過點A的直線交Γ于點M,N，交l于Q，點B為l上異于點Q的動點，分別過M,N作AB的平行線交l于點M1,N1.若△BMM1，△BMN，△BNN1的面積分別為S1,S2,S3，則S22= 4S1S3.

圖4

顯然，以上證明只涉及點A與直線l是關于Γ的一對極點極線，點A在二次曲線Γ的內部還是外部不影響結論.

4 再次推廣

兩個命題初看構形上相異，而結果完全相同，讓人產生一種奇異的美感，但仔細考慮就會發現這兩個結論其實是一致的，其奧妙在于，如圖4中以點S為透視中心，則點列(A,Q,M,N)對應點列(B,Q,M1,N1)，于是，當(A,Q,M,N)調和時，(B,Q,M1,N1)也為調和點列.由于點S為無窮遠點，因此，兩個結論可統一為：若四邊形存在一組對邊平行，另一組對邊中的一邊的兩頂點與其對邊的交點，和這一邊上的第四個點構成調和點列時的性質，完全隱去二次曲線這一圖形約束，則進一步得到一個初等幾何結論.

圖5

注意由點M,M1,N,N1所構成的四邊形對應的圖形有多種，不一定是四邊形MM1NN1.

證明：記直線AN1,MM1交于點P，AM1,NN1交于點T.由MM1//NN1得，

所以兩式相乘有S22= 4S1S3.