例談函數對稱性在解題中的應用

江蘇省常州市前黃中學國際分校 (213161) 陸 德

題型一 根據函數自身的對稱性

(2)已知m,n∈R，并且m+3n=1，求mem+3ne3n的最小值；

(3)已知函數f(x)=(2x+a)(|x-a|+|x+2a|)(a<0)，若f(1)+f(2)+f(3)+…+f(672)=0，則求滿足f(x)=2019的x的值.

(3)注意到

又因為

(2)降粘型聚羧酸減水劑的降粘性能優于市售普通減水劑，與國外同類產品性能相當，可顯著降低C60混凝土的粘度，且具有較好的分散性能。

評注：此類題目題干中并未明確給出函數單調性、對稱性等相關信息，單調性相對比較隱蔽，透過數據信息、題干結構特征等提煉出函數對稱性信息是解決本類復雜問題的重要突破口.

題型二 根據兩個函數間的對稱性

(2)設函數y=f(x)與y=2x+a的圖象關于直線y=-x對稱，且f(-2)+f(-4)=1,求a的值.

(2)設(x,y)是函數y=f(x)的圖象上任意一點,它關于直線y=-x對稱的點的坐標為(-y,-x),由題意知(-y,-x)在函數y=2x+a的圖象上,所以-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a，所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2.

題型三 根據兩函數間部分點的對稱性

評注：兩函數f(x)，g(x)圖像上存在若干組點關于直線或點對稱問題一般先求出一個函數f(x)圖像對稱后的解析式h(x)，然后建立方程h(x)=g(x)，由此將圖像對稱問題轉化成了方程有解問題.此類問題本質上依然是利用兩個函數間的對稱性，考查了轉化與化歸的能力，其綜合性較強.