以問引學明晰進位本質 整體建構發展運算能力
——“兩位數加一位數的進位加法”的思考與實踐

安徽省合肥市廬陽區教育體育局教研室 李玲玲

安徽省合肥市六安路小學中鐵國際城校區 吳 安

新課標指出，要使學生感悟數與運算本質上的一致性。而數的認識和數的運算是相互統一的，其數學核心要素聚焦在數位、計數單位、位值制和十進制計數等方面。筆者“三思而后行”，力求探尋運算能力素養落地的實施路徑。

一、一思：內容前后關聯

1.知識前后聯系

已學內容單元內容后續內容10 以 內 加、兩位數加一位數減法（進位） 百以內的連加、連減和加、減2加0 法以內進位?（兩退位位數）減一位數?混合20 以內退位兩位數加兩位數減法（進位） 萬以內的加法100 以內加、兩位數減兩位數和減法減法（退位）

兩位數加一位數進位加法的內容是學生從100以內不進位、不退位運算向進位、退位進階學習的開啟內容。

2.單元內容分析

從單元整體視角分析發現，兩位數加、減一位數的口算是以10個一是1個十為基礎的概念建構課，是學生從數的認識向數的運算認知十進制計數原理的一次重要跨越，是學生理解加、減中進位和退位運算聯系和遷移的重要基石。（如圖1）

圖1

二、二思：學生已有水平

為了更真切地了解學生學習的現實起點，我們分別從能算出結果、掌握算法、理解算理、選擇合理簡潔的運算策略等方面對校區學生進行抽樣檢測。

通過對圖2問題單中計算結果統計發現，能算出結果的學生約占78%，能掌握算法的約占67%，而理解算理的約占31%，能用多種方法計算的約占34%。由此可知，學生已經具備一定的運算能力，只是運算的算理及算法之間的關聯意識薄弱，對十進制計數原理下的進位加法本質感知不深。

圖2

三、三思：教學存在疑難

筆者在訪談教師關于教學情況時發現一些共性問題：

（1）學生的計算沒有太大問題，因此通過小棒操作得出結果的價值不夠突出，操作時有一種無處著手之感。

（2）雖然大部分學生會算，但教師在課堂中還是將教學重點落在學生計算技能的訓練上，學生運算素養不高。

基于以上現實情況，筆者確定這節課的教學重點是理解兩位數加一位數的算理、算法之間的關聯，能比較熟練地進行計算；難點是幫助學生理解十進制計數原理下“滿十進一”的進位加法本質。

筆者通過比較、分析，借助直觀的學具模型——小棒和半抽象學具模型——計數器，以問引學，用操作突破學生關于“10個一是1個十，即個位相加滿十向十位進一”算理的認知壁壘，在先“扶”再“放”的過程中讓學生感受算法多樣化，再逐層對比，引導學生感受數學探究的層次性，嘗試帶領學生觸及進位加法的概念本質。

一、多元表征促理解，顯化進位概念

“數學學習要重視知識的形成過程，過程與結果并行；重視直觀表述，直觀與抽象并重；經歷數學再發現的過程，探索發展學生核心素養的路徑。”基于大多數學生已經能計算出結果的學情，教學需要突破進位加法的認知盲點。為外顯滿十進一的進位計算原理，在實際教學時，應以關鍵問題引領，讓學生借操作的直觀過程理解抽象的進位本質，讓概念建立可視化。

師：24里原來明明只有2個十，怎么得到3個十呢？多出的1個十從哪來的？你是怎樣想的？先用小棒擺一擺或用計數器撥一撥，再和同桌說一說。

生1：我是用小棒擺的，24，先拿2個十和4個1，加6，4+6=10，10+20=30，多的1個十就是4+6=10。

師：和你想的一樣嗎？多的那個十在哪里？（圈畫10個一得到1個十）

生2：我是撥計數器的，先撥24，加6，在個位上再撥6顆珠子，4+6=10，滿十退回，再在十位上撥1顆珠子，這就是多的1個十，合起來是30。

操作的直觀價值在這里凸顯。相較于用小棒或者計數器得出結果或者驗證結果的要求，“24里原來明明是2個十，怎么得到了3個十呢？多出的1個十是從哪來的”對學生來說是一個全新的探究問題，也是需要操作予以解釋的，避免了學生明明已經會算，還被強行要求操作的尷尬，此時問題“多出的1個十是從哪來的”讓原本不易理解的4+6=10、10+20=30的算法中似明非明的“10個一是1個十”的認知盲點以多元表征的方式直觀呈現。從實物小棒到更具抽象的計數器，再到用分解式記錄計算過程，層層遞進，以操作促進算法、算理的融合，將“10個一是1個十”的認知經驗與“滿十進一”的進位本質進行有效關聯和溝通。

二、變式對比析本質，強化進位意義

課堂教學要遵循學生的思維特點和認知規律，需要在新舊知識和可遷移知識間搭建對比支架，讓學生從宏觀上思考，建立數學對象之間的邏輯關系，揭示本質屬性。為更好地讓學生讓學生感受滿十進一，設計適時的對比、辨析可以凸顯進位本質。本節課注重設計對比性問題的探究，引導學生在數據的觀察、比較、發現中激活思維、發展思維、深化思維，在對比過程中強化十進制計數原理下的進位加法意義。

片段一：

在教學完24+6=30后，筆者設計了一組變式練習。

變式練習：

6+24=30 25+5=30 21+9=30 27+3=30

師：仔細觀察這些算式及得數，你有什么發現？

生1：算式都是二十幾加幾，得數都是30。

生2：加數都是2個十，得數都是30，3個十。

師：這里的加數都只有2個十，得數卻都是3個十，怎么多了1個十？

生：個位上相加等于10。

師：個位相加滿十，向十位進一，這就是數學上說的滿十進一的規律。（板書：滿十進一）

片段二：

在探究完24+9=33后，再把今天學習的內容和課前復習的計算進行對比。

師：這是我們剛才解決的兩個問題，結合之前的計算，仔細觀察圖3，比較左右兩邊算式及得數，你又有什么發現？

圖3

生1：都是二十多加幾。

生2：前面的得數都是二十多，后面的是三十和三十多。

生3：之前學的沒有進一個數，這次學的進了一個數。

師：你的意思是從2個十變成3個十嗎？那進的1個十是從哪來的？

生：個位上相加滿十就向十位進一。

經歷前面的操作經驗，第一次湊整的進位對比鋪墊，學生能夠感受到兩位數加一位數的進位其實就是要個位相加滿十，得數從原來的2個十進位相加得3個十；通過對24+9=33的計算，學生能夠感知到雖然口算的方法不一樣，但是都是個位加起來超過十需要向十位進一；再到最后和之前學習的不進位的加法進行對比，學生能夠感受到兩位數加一位數進位與不進位的前后聯系與區別，建構兩位數加一位數的加法認知體系。

三、精編練習促鞏固，提升進位技能

適量、適度、有層次性的練習可以有效鞏固所學；關鍵處提出反思性問題，可以讓學生在學中練、練中思，有效提升學生的學習力和思考力。

如圖4中第1題，為進一步讓學生熟練滿十進一的計算方法，教師提供思考支架，要求會說先算什么、再算什么，思考有沒有不同的方法，讓學生在多種算法中發展口算技能。

圖4

如圖5，第2題以題組形式出現，待完成之后，教師追問：觀察加數及得數，每組算式間有什么聯系？學生在計算之后感受到第一個算式就是下面算式分別先算的部分，得數個位均相同，得數十位在加數的十位上進一，進一步感受兩位數加一位數和之前學習的20以內進位加法之間的聯系與進階。

圖5

如圖6，第3題以發展學生的思維為主，教師提問“35+□可能等于幾十多”引發學生思考。縱觀課堂學習，回歸學習兩位數加一位數內容的本質，感受其進位與不進位之間的區別，即個位相加是否滿十，決定是否需要向十位進一，感受知識的縱向生長，進一步完善學生的認知系統，深刻思維結構。

圖6

四、建構遷移引思考，延伸運算能力

數學思維的深刻應體現其動態的生成，以點連線，用聯結構建知識的立體網絡，教學中教師要適時關注學生知識的結構化生長。

師：上學期，我們學習了10以內的加法和20以內的進位加法，這學期學習了不進位的兩位數加一位數，今天學習的是進位加法，你覺得接下來要學習什么呢？你會用今天學到的方法解決圖7中的問題嗎？

圖7

以啟發性的問題引導學生關注知識的溯源與承接，讓學生在聯想中抓住學習要點，串聯進階脈絡，在類比推理中感知算法都是計數單位的累加，進位加法的算理上孕伏滿十進一的十進制計數原理。

“有效的教學活動是教師的教和學生的學的統一。”為落實核心素養下的教學目標，整體把握教學內容，本節課注重單元整體設計，豐富學習方式，有效實施教師和學生“雙主體”策略，教師主導提出關鍵性的探究問題，在對比中引導思索，在反思中提升技能，在啟發中有效建構，讓學生探究的主體價值充分發揮。利用數形結合的思想，讓學生在多樣的表征形式中充分感知到“10個一是1個十，滿十進一”的十進制計數原理的含義和價值，在發掘進位加法的內核的過程中感受數的認識和數的運算本質上的一致性，培養運算思維的深刻性。