平面幾何教學應重視基本圖形的“鏈+”

印睿妍 印冬建

摘要：平面幾何教學應該重視以基本圖形為中心的延伸變化，即基本圖形的“鏈＋”。基本圖形是與幾何核心概念、重要結論緊密關聯的，基于文字條件的，蘊含豐富數形結論的，在分析和解決復雜幾何問題的過程中得到廣泛應用的幾何圖形。其具有綜合性、生長性、工具性等特征。基本圖形的教學要通過不斷“鏈＋”文符圖條件、重要結論、應用體驗，來豐富內涵、形成內核、促進關聯，使其逐步成為穩定、好用的“簡化了的數學結構”。

關鍵詞：平面幾何教學；基本圖形；“鏈＋”

*本文系江蘇省中小學教學研究第十四期立項課題“初中數學‘鏈＋’課堂的實踐研究”（編號：2021JY1L398）的階段性研究成果。平面幾何是初中數學的重要內容。眾所周知，平面幾何比較難學，尤其表現為很多題目難解，因而，常常直接導致學生數學成績的分化。張景中院士認為，平面幾何難在：邏輯結構是串聯式的，而不是放射型的，沒有一個突出的中心，沒有一個俯瞰全局的制高點，導致推理過程較長（步驟較多），方向不太明確，很容易走錯路；以三角形全等和相似為主要解題工具，需要通過想象構造圖形（主要表現為添加輔助線），缺少一套通用而有力的解題方法，表現為特別靈活的“一題一法”。［1］因此，平面幾何教學在教材要求的基礎知識之上，還要注意適當拓展推理結論，幫助學生多掌握一些推理的“中途點”，從而縮短推理過程，明晰推理方向，減少走錯路的情況。同時，平面幾何的研究對象是平面圖形，其解題的靈活性主要體現在圖形中元素關系的復雜性上，其基礎知識與拓展結論則蘊含在一些基本圖形及其延伸變化中。因此，筆者認為，平面幾何教學應該重視以基本圖形為中心的延伸變化，即基本圖形的“鏈＋”——“鏈＋”是一種教學理念，其基本想法是，基于內容關聯進行延伸與變化，從而構建結構化、序列性的教學資源（學習材料）鏈［2］。

一、 基本圖形的概念與特征

（一） 何為基本圖形？

一線教師在教學過程中經常提到基本圖形，但對何為基本圖形，目前并沒有一個明確的定義。根據教學經驗，并結合一線教師的普遍看法，我們把與幾何核心概念、重要結論緊密關聯的，基于文字條件的，蘊含豐富數形結論的，在分析和解決復雜幾何問題的過程中得到廣泛應用的幾何圖形稱為基本圖形。

例如圖1，線段AD、BC交于點O，連接AB、CD。因為該圖形與數字“8”非常相像，我們將其命名為“8字形”。

“8字形”是由有一對內角互為對頂角的兩個三角形組成的，其中存在常用結論：∠A＋∠B＝∠C＋∠D（下稱“結論1”）。推證結論1，既可以用三角形的內角和定理，也可以用三角形的外角性質。它們都是學生學習“三角形的有關角”時獲得的三角形的基礎知識。在很多數學問題的分析與解答過程中，學生可以從復雜圖形中發現“8字形”并利用結論1獲得思路和解法。

隨著學生對三角形認識的不斷深入，“8字形”的內涵會得到進一步豐富：“鏈＋”條件“CD∥AB，O為AD的中點”，形成“8字形全等三角形”（如圖2）；“鏈＋”條件“CD∥AB”，形成“8字形相似三角形”（如圖3）。這些“8字形”中，不僅存在結論1，還存在三角形全等（相似）、角相等、邊相等（或成比例）等眾多結論。這些結論對學生解決綜合問題很有價值——事實上，圖2、圖3及其結論的歸納總結隱藏在不少與三角形全等（或相似）有關的數學問題中。

（二） 基本圖形有什么特征？

結合上面的概念解釋以及示例分析，不難看出，基本圖形一般具有綜合性、生長性、工具性等特征。

1 綜合性

基本圖形的核心是圖形，但它還包含用文字、符號表述的條件和結論，所以，基本圖形實際上是由圖形、文字和符號組成的“綜合體”。因此，基本圖形在內涵上具有綜合性。同時，對基本圖形的認識也應是綜合的。在實際教學中，學生不僅要認識圖形，還要認識“鏈＋”的文字、符號條件以及基于文符圖等條件推證出的可用文符圖表述的結論。這些結論需要學生綜合運用已有數學“四基”和“四能”進行探索，方可獲得。在此過程中，學生不僅要結合文字、符號去理解圖形，還要結合圖形去剖析文字、符號，最終通過文字、符號有理有據地呈現結論及其推導過程。

2 生長性

基本圖形一定是從包含了基礎條件的幾何圖形逐步演繹而來的。在簡單的幾何圖形中，基于給定的條件和結論已經形成包含“四基”“四能”乃至數學情感的教學資源鏈。通過簡單圖形的“鏈＋”，將原有資源鏈不斷延伸和變化，逐步生長豐富形成基本圖形。雖然基本圖形一“成型”，我們就給出了其名稱，但在后續的幾何學習中，基本圖形依然是不斷生長完善的。在幾何學習的不同時間節點上，圖形可能會產生變式，條件或結論可能會增加或減少。基本圖形的生長完善，可以由一般走向特殊，比如上面提到的“8字形”；也可以由特殊走向一般，比如由“母子等腰直角三角形”（如圖4）得到“母子直角三角形”（如圖5）。但無論是哪一種走勢，學生認識基本圖形都是一個漸進“鏈＋”的過程。不同時間節點，圖形或條件的增減所帶來的結論變化，充分體現了基本圖形的生長性。

3 工具性

從基本圖形的綜合性及其在很多數學問題解答中所發揮的作用中不難發現，基本圖形實際上就是一個數學工具，是學生分析問題和解決問題的工具。面對復雜圖形時，如果學生能迅速從中找到基本圖形，并基于文字、圖形聯想得到相關結論，那么很多問題的求解思路便會在瞬間閃現。這也是很多一線教師在教學中反復強調基本圖形的原因所在。事實上，在很多綜合問題的解答中，掌握了基本圖形并能將其遷移應用，將會大大縮短探索獲取解題思路的進程，快速高效地解決問題。

二、 基本圖形的“鏈＋”教學

在基本圖形的教學中，教師要通過不斷“鏈＋”使其逐步成為穩定、好用的“簡化了的數學結構”［3］，從而促進學生對幾何知識的理解，提升學生應用幾何知識解決問題的能力。

（一） “鏈＋”文符圖條件，豐富圖形內涵

學生認識基本圖形，一定是從最簡單的圖形開始的。比如，在七年級上學期，學生在學習數軸時認識了點，然后在《幾何圖形初步》一章（人教版教材）中認識了線（直線、射線、線段）和角（兩條線）；到了八年級，學生開始認識三角形（三條線）。隨著年級的升高，學生認識的圖形會越來越復雜，附加到圖形上的條件會越來越多，基本圖形就逐步成型了。顯然，與其他數學知識一樣，基本圖形的教學也應遵循“由簡單到復雜，由低級到高級”的原則：從簡單的圖形開始，通過在原圖上“鏈＋”圖形、文字或符號，讓條件和結論不斷豐富，最終形成較為穩定的數學結構。

例如，上面提到的“8字形”及其關聯的條件和結論，貫穿初中幾何教學的始終。不管是八年級會遇到的“8字形全等三角形”，還是九年級會遇到的“8字形相似三角形”，穩定的圖形結構一直存在。學生認識“8字形”可從圖1開始，通過“鏈＋”條件“CD∥AB，O為AD的中點”得到“8字形全等三角形”，通過“鏈＋”條件“CD∥AB”得到“8字形相似三角形”。

再如，基于圖6（AB是線段CD的垂直平分線，E為垂足），逐步“鏈＋”直角三角形、圓等圖形及相關的文本條件，形成圖7，即我們常說的“垂徑定理”基本圖形。

（二） “鏈＋”重要結論，形成應用內核

由于基本圖形的生長是貫穿全學段的，因而，認識基本圖形，應根據教學的不同時間節點，緊扣所學的基礎知識，推證出基于圖形及配套條件的數形結論，形成應用內核。對此，不僅要重視結論本身的呈現，更應重視結論推證過程的呈現，使學生“知其然且知其所以然”。或者說，應在鞏固和應用已學知識的同時，徹底明晰與基本圖形相關的重要結論的“來龍”和“去脈”。如果說推證過程的呈現厘清了結論的“來龍”，那么，推理范式的呈現則給出了探尋基本圖形“去脈”的抓手。有了推理范式，基本圖形就有了內核，學生的探索應用就有了顯性工具，他們便會在反復應用中發現基本圖形的發展與應用方向。

例如上面提到的“母子等腰直角三角形”（圖4），基于已知條件AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，圖中存在著CD＝AD＝BD，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°等結論。這些結論及其推導過程就應成為“母子等腰直角三角形”教學的重點。那么，如何推證CD＝AD＝BD？八年級上學期學習等腰三角形的性質后，可以這樣推證：因為∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝BC，所以∠A＝∠B＝12（180°－∠ACB）＝45°，∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝45°，所以CD＝AD＝BD。八年級下學期學習矩形的性質后，則可以利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”再次推證：因為AC＝BC，CD⊥AB于D，所以AD＝BD；又因為∠ACB＝90°，所以AD＝BD＝CD。

可見，面對同樣的基本圖形，在教學的不同時間節點，數形結論的多少與推證的過程是存在著差異的。在教學中，教師應充分尊重學生的認知現狀和發展規律，準確把握教學契機，合理設計與實施基本圖形的教學，讓與圖形相關的重要結論在最好的時機以最佳的姿態出現。

（三） “鏈＋”應用體驗，促進圖形關聯

基本圖形的一個重要特征是工具性，這一特征的顯性表征是縮短學生分析和解決問題的思維過程，讓解題思路迅速貫通，提高解題的速度和成效。所以，基本圖形的教學應在其應用上多花工夫。要努力引導學生發現數學問題中的基本圖形，通過圖中蘊藏的重要結論的提取與應用，高效解決問題。對圖形應用過程的體驗，一方面可以鞏固基本圖形及其相關的數學“四基”“四能”，另一方面還能有效推動數學建模素養的發展。在教學基本圖形的應用時，教師不僅要關注基本圖形本身，還要重視基本圖形的關聯，通過基本圖形的“鏈＋”，形成“圖串”，發揮基本圖形的集聚效應。通過明確多個基本圖形應用的“銜接點”，讓基本圖形之間、基本圖形與其他模型之間形成關聯，并應用到數學問題或現實問題的解答中。

例如下面這道矩形綜合題：

如圖8，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點M是線段BC的中點。點E是線段AD上的動點（點E不與點A、D重合），連接CE，過點E作EF⊥CE，交AB于點F，連接CF，過點B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG、GM。當AG＋GM取最小值時，求線段DE的長。

教學中，教師投影出示題目后，讓學生先讀題思考，約5分鐘后全班交流，分享思路的探索過程——

師圖中有哪些基本圖形？

生（展示下頁圖9）“一線三等角”，（展示下頁圖10）“母子相似直角三角形”，（展示下頁圖11）“兩定夾一動”最短路徑。

師找到解題思路了嗎？

生找到了。

師你是怎樣找到的呢？

生根據“一線三等角”，可得關于未知的線段DE、AF的比例式AFDE＝AEDC。設DE＝x，則AE＝6－x，如果能求出AF的長，便可得到關于x的方程了。

師怎么求AF呢？

生線段AF的長關聯著題中的條件“BG⊥CF于G”和“AG＋GM取最小值”，所以，我們先要確定點G的位置。

師如何確定點G的位置呢？

生因為∠BGC＝90°，所以GM＝12BC＝3。

生（展示圖12）根據“兩定夾一動”最短路徑，可得點G在AM上。

師由此，還能得到哪些有關線段的長？

生AM＝5，AG＝2。

師接下來怎么辦？

生（同步作圖，得到圖13）由“點M是線段BC的中點”聯想到構造三角形的中位線，于是，過點M作MN∥AB，交CF于點N。

師很棒！你又有什么發現？

生新增了“8字形相似三角形”（△GMN和△GAF）、“A字形相似三角形”（△CMN和△CBF）等基本圖形。

師在這些基本圖形中，有哪些有用的結論？

生MN＝12BF，AFMN＝AGGM。

師能求出AF嗎？

生能。因為BF＝4－AF，所以MN＝12BF＝12（4－AF），所以AF12（4－AF）＝23，解得AF＝1。

從上述教學過程不難看出，基本圖形是學生貫通解題思路的重要工具。學生通過基于條件的圖形剖析，發現題目中存在的“一線三等角”、“兩定夾一動”最短路徑、“8字形相似三角形”、“A字形相似三角形”等基本圖形，并通過對這些圖形所含結論的彼此關聯、遞進探求，不斷續接問題解決的思維斷點，逐步貫通解題思路。需要注意的是，并非題目中隱藏的所有基本圖形都能在思路分析中發揮作用。比如，本題中抽象出的“母子相似直角三角形”，雖然在條件“∠CBF＝90°，BG⊥CF于G”上存在很多結論，學生在交流中也有所提及，但是由于與另外幾個基本圖形關聯不大，因而在思路貫通過程中并沒有能發揮出作用。因此，在解題時應用基本圖形是需要進行取舍的。

參考文獻：

［1］ 張景中，曹培生.從數學教育到教育數學（典藏版）［M］.北京：中國少年兒童出版社，2011：1112.

［2］ 印冬建．“鏈＋”：資源漸進生長，學生不斷發展——以人教版“1.2.1有理數”的設計與教學為例［J］．中學數學雜志，2022（4）：4245．

［3］ 印冬建．認識基本圖形：為數學建模素養發展奠基［J］．中國數學教育，2021（19）：2731．