認知彈性理論對中學數學教學的啟示

摘 要：認知彈性理論是建構主義理論的一個分支。該理論認為：學習過程是由結構良好知識領域向結構不良知識領域的進階，認知彈性超文本更加有助于個體對復雜性問題的理解與掌握；采用隨機通達教學，在不同時間、不同情境脈絡、不同角度、不同目的下重新訪問同樣的學習材料，可以有效促進結構不良知識的學習。其對中學數學教學的啟示有：采用多種策略完善學生的CPFS結構，在多種背景下重新訪問學習材料，加強結構不良問題訓練。

關鍵詞：中學數學；認知彈性理論；CPFS結構；隨機通達教學；結構不良問題

作為建構主義理論的一個分支，斯皮羅提出的認知彈性理論對學習有獨特的解釋。認知彈性指以多種方式同時重建自己的知識，以便對發生根本變化的情境領域作出適宜的反應。這既是知識表征方式（超越單一概念維度的多維度表征）的功能，又是作用于心理表征的各種加工過程（不僅是對完形的修復，而且是對一整套圖式的加工過程）的功能。［1］斯皮羅將認知彈性解釋為，通過運用先前的知識以超越所給的信息來建構理解。顯然，這帶有建構主義理論的基因。歐內斯特將認知彈性理論稱為弱建構主義，則是因為它明顯帶有信息加工理論的色彩。［2］在新一輪課改的推進中，重新審視認知彈性理論，取其精華用于教學設計，可以得到一些對數學教學的啟示。

一、 認知彈性理論的主要觀點

（一） 學習過程是由結構良好知識領域向結構不良知識領域的進階

斯皮羅把學習分為初級學習和高級學習，學習是由初級學習向高級學習的進階。初級學習對應結構良好知識領域，高級學習對應結構不良知識領域。

結構良好知識領域指學習條件、學習目標均明確的知識領域，其中的問題有明確的解決方法，它的初始狀態、目標狀態和過程操作都是明確的，可以利用一個定義良好的途徑實現連接。結構良好知識領域的學習具有還原傾向，主要是單一地重現舊知的簡單化學習，只要求學生將所學的東西簡單地再生出來。結構不良知識領域的問題則沒有明確的解決方法（途徑），它的初始狀態、目標狀態或過程操作不明確。斯皮羅認為，結構不良知識領域有兩個特征：（1） 知識應用的每一個案例通常都涉及多個用途廣泛的概念結構（多種圖式、觀點、組織原則等）的同時交互作用，每一個概念結構本身又是復雜的；（2） 在名義上同類案例之間，概念應用和交互作用的方式有著實質的不同（即案例之間的不規律性）。［3］

事實上，結構不良知識大量存在于學習材料中，而對這類知識的學習并沒有引起學習理論的高度關注。基于這樣的狀況，斯皮羅主要針對結構不良知識領域，提出認知彈性理論。當下學界熱烈討論的深度學習，本質上與認知彈性理論的主張如出一轍：如果說淺層學習主要指對結構良好知識的學習，那么深度學習則主要指對結構不良知識的學習；從淺層學習到深度學習是進階過程，同樣，從結構良好知識學習到結構不良知識學習也是進階過程。

為什么認知彈性理論對結構不良知識的學習具有指導作用？這與認知彈性理論的一個關鍵概念有密切關系，即認知彈性超文本。認知彈性超文本的核心是理解知識涉及超越呈現的信息，即理解文本需要的不僅僅是文本中的語言和邏輯信息。“理解涉及意義的建構，文本是建構理解先在的藍本，文本中包含的信息必須與文本外的信息合并，重要的是包括學習者原有的知識，這樣才能對文本的意義形成完整而充分的表征。”［4］認知彈性超文本是一種學習媒介，它將知識內容滲透到各種情境中，通過真實多樣的情境，刺激個體的感知能力，以克服知識本身的不可見性、抽象性，同時增加知識的延展性，從而更加有助于個體對復雜性問題的理解與掌握。認知心理學強調在記憶中再現組織化的知識結構或圖式，學習的目標是塑造個體完善的認知結構，但是由于結構不良知識領域概念的復雜性，以及要將知識用于解決結構不良問題，因此必須根據具體情境用到文本之外的信息對知識進行重組，建構新的知識體系去解決問題。在教學中，便需要重新安排順序，對知識進行多元表征，在內容元素之間建立多重鏈接，從而產生特殊的“縱橫交叉形”概念圖——通過這一概念圖，能夠訪問某一使用中的既定概念結構的大量案例。這就是認知彈性理論超文本設計的內核。

（二） 隨機通達教學是促進結構不良知識學習的有效方式

隨機通達教學，是斯皮羅等人在認知彈性理論指導下提出的適用于結構不良知識領域中高級學習的一種教學方式。［5］簡單地說，這種教學方式是指在不同的時間內、在不同的情境脈絡中、從不同的角度、為了不同的目的重新訪問同樣的學習材料。其基本要義有幾個關鍵點：

其一，在不同的時間內重新訪問學習材料。重新訪問有兩層含義：一是不定期的復習，使知識得到保持；二是進一步加深對知識的理解。在后面知識的學習中再次學習先前知識，學習者會有新的體會和心得，這種逆向遷移現象能使學習者重新認識和深度理解先前知識。

其二，在不同的情境脈絡中重新訪問學習材料。有兩種處理方式：一種是在學習這個材料時為學習者提供不同的情境。因為一個知識的產生背景可以是多樣的，一種特定的情境可能會給認識帶來片面性，而為學習者提供不同的情境脈絡，可以拓寬其學習視野，消除其對知識的片面認識。另一種是在學習這個材料后為學習者提供不同的情境，即在另一個時間重新訪問這個材料時提供與先前不同的背景。事實上，隨著學習內容的不斷擴大，先后學習的知識之間必然會形成內在聯系，能夠涵蓋先前知識的情境自然會延展。事后給學習者提供新的情境，不僅能加強知識保持的固著點，還能反向強化對知識的理解。

其三，從不同的角度重新訪問學習材料。同樣可以在新授學習中或后續學習中實施。從心理學的角度看，其本質上是對知識的多元表征。認識一個事物可以采用不同的方式，選擇不同的角度，從而獲得對這個事物的全面了解，進而促進對事物本質的深刻理解。另一方面，知識的應用也不是唯一的，一個知識往往會在多個領域中有應用，應用的路徑也可能是多維的。由于知識的意義是多元的，不同的主體或同一主體在不同的情境中會對它構建出不同的意義。以不同的方式交叉瀏覽結構不良知識領域，可以使學習者認識到知識應用的多樣性，并且揭示知識的多種關聯性以及對情境的依賴性。［6］

其四，為了不同的目的重新訪問學習材料。初級學習通常是為了認識知識、理解知識，掌握基本的學科技能，解決學科內部的基本問題；而高級學習主要是為了將認識、理解的知識用于解決學科內部和學科外部的結構不良問題，它涉及知識的遷移和知識的創新。不同的目的決定了為學生提供的學習案例大相徑庭，每一次重新訪問學習材料都應當有明確的目的，由目的選擇和制定重新訪問所需的新材料、新背景、新角度、新方法。這是隨機通達教學的基本方略。

在此基礎上，斯皮羅等人對結構不良知識提出了5條基本的教學原則：（1） 多次呈現知識。對復雜的結構不良知識，要在教學活動中多次呈現。（2） 將抽象的概念與不同的案例相結合。要多維度地分解案例，在分解的案例中抽象出它們的聯系。（3） 以一種可行的認知方式提早介紹不同概念成分之間可能存在多方面交互性的復雜主題。（4） 強調知識的相互聯系和網狀結構的性質。在多種情境脈絡中揭示概念之間的相互關系， 以形成對于復雜內容領域的豐富而靈活的理解。（5） 鼓勵知識匯編。把相關的抽象概念和具體案例根據情境或任務來匯編。［7］這5條教學原則本質上是5條教學策略，對基于認識彈性理論的教學設計有直接的指導意義。

二、 對中學數學教學的啟示

（一） 采用多種策略完善學生的CPFS結構

概念域、概念系、命題域、命題系所形成的結構稱為CPFS結構。［8］數學概念的一個特征是定義不唯一。例如，有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，這是等腰三角形的一個定義；有兩個角相等的三角形叫作等腰三角形，這也是等腰三角形的一個定義。兩個定義的不同之處是它們分別用了不同的概念來界定新概念，前者用了邊的概念，后者用了角的概念，但是，這兩個定義在邏輯上是等價的。換句話說，一個數學概念可能存在一組彼此等價的定義。如果學習者掌握了概念C的一組等價定義，我們就說他形成了概念C的概念域，即建立了概念C的一組等價定義圖式。將其推廣到命題域，如果學習者掌握了命題P的一組等價命題，我們就說他形成了命題P的命題域，即建構了命題P的一組等價命題圖式。而如果學習者頭腦中形成了一組概念，這組概念之間或者有等價關系，或者有某種聯系（數學抽象關系），我們就說學習者形成了概念系。同樣，如果學習者頭腦中形成了一組命題，這組命題之間或者有等價關系，或者有推出關系（由一個命題可以推出另一命題），我們就說學習者形成了命題系。

顯然，學習者一旦形成概念域或命題域，就能從不同的角度認識這個概念或命題。這與認知彈性理論提倡的“從不同的角度重新訪問學習材料”殊途同歸。要使學生建立完善的CPFS結構，教學中應當注重幾個方面：

1． 選擇多個角度揭示概念內涵

概念域是關于一個概念的一組等價定義的圖式，意味著學習者能從多個角度認識同一個概念。由于不同的定義是從不同的側面對概念進行描述的，如果學生只理解了一個定義，就會造成一種片面的認知傾向，難以全面地把握概念內涵。因此，在數學教學中，教師應當多角度地揭示概念內涵，幫助學生構建完整的概念域。

例如，對于函數單調性概念，可以從多個角度揭示內涵：（1） 若對任意的x1、x2∈A，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），則函數f（x）在區間A上是增函數；（2） 若對任意不同的x1、x2∈A，都有f（x1）－f（x2）/x1－x2＞0，則函數f（x）在區間A上是增函數；（3） 若在區間A上不存在兩個值x1、x2，使得f（x1）=f（x2），則連續函數f（x）在區間A上是單調函數；（4） 若在區間A上，函數f（x）圖像上任意兩點的連線都不垂直于y軸，則連續函數f（x）在區間A上是單調函數；（5） 若在區間A上，函數f（x）可導，且f′（x）＞0恒成立，則函數f（x）在區間A上是增函數。學生一旦形成函數單調性概念的概念域，則不僅對函數單調性概念有更深入的認識，而且解決函數單調性的相關問題時會得心應手。

2. 采用結構變式厘清命題關聯

從對象看，變式包括概念變式、命題變式（問題變式）、圖形變式等。變式前與變式后均以結果表征，而結果之間的化歸則表現為一種過程。變式的本質是使學習者在頭腦中建構某一概念的概念域和概念系、某一命題的命題域和命題系。

將公式作恒等變形是一種等價變式。這種變式不僅可以使學生從不同的角度認識命題，形成命題域，而且可以得到新的公式，使之成為解決問題的有力工具。

類似地，在幾何教學中，應該適時引入一些圖形變式問題。

例如，教學三角形中位線的知識后，可以引入一系列關于“中點四邊形”的變式問題：（1） 任意四邊形各邊中點依次連線組成的四邊形是什么四邊形？（2） 矩形各邊中點依次連線組成的四邊形是什么四邊形？（3） 菱形各邊中點依次連線組成的四邊形是什么四邊形？（4） 正方形各邊中點依次連線組成的四邊形是什么四邊形？（5） 等腰梯形各邊中點依次連線組成的四邊形是什么四邊形？（6） 如果各邊中點依次連線組成的四邊形分別是矩形、菱形、正方形，那么原四邊形分別是什么四邊形？由此，可以得到一系列關于“中點四邊形”的命題。

3. 梳理知識體系促進結構完善

CPFS結構是個體將外部知識體系轉化為內部表征的結果。若外部知識體系雜亂無章，則要將其轉化為優良的認知結構幾乎是不可能的。知識體系包括概念體系、命題體系、方法體系。無論對哪一類體系，教師都要協助學生梳理知識，幫助學生完善頭腦中的CPFS結構。

例如，關于兩直線平行的判定，可以梳理得到有關命題：（1） 同位角相等，兩直線平行；（2） 內錯角相等，兩直線平行；（3）同旁內角互補，兩直線平行；（4） 平行四邊形的兩組對邊平行；（5） 平行于同一直線的兩條直線平行；（6） 垂直于同一直線的兩條直線平行；（7） 三角形兩邊中點的連線平行于第三邊；（8） 梯形兩腰中點的連線平行于兩底；（9） 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么，這條直線和交線平行；（10） 垂直于同一平面的兩直線平行；（11） 如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么，它們的交線平行；（12） 設l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2。如果k1=k2，b1≠b2，那么l1∥l2；（13） 設l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。如果A1/A2=B1/B2≠C1/C2，那么l1∥l2。進一步分析這一組命題的內在聯系，可以發現：命題（1）與命題（2）、命題（3）等價，命題（1）到命題（5）是強抽象關系，命題（1）到命題（6）是廣義抽象關系，命題（1）與命題（12）、命題（13）等價……因此，將這一組命題的程序性知識網絡內化，所形成的圖式就是命題域和命題系。

（二） 在多種背景下重訪學習材料

很多學生在大學里學習微積分（或數學分析、高等數學）時，都有一種體驗：初學極限概念時，感覺聽不懂，只能帶著這種似懂非懂的感覺往后學習；后來學習定積分時，再次回到極限概念，對極限概念有了新的認識；再后來學習級數概念時，又一次回到極限概念，對極限概念有了本質性的認識。這就是在多種背景下重新訪問學習材料產生的效果。

在多種背景下重新訪問學習材料為什么會加深對知識的理解？從學習心理的角度看，一是后面的知識學習對前面的知識理解產生逆向遷移作用。遷移現象幾乎貫穿整個學習過程，不只是前面的知識學習會對后面的知識學習產生影響（順向遷移），后面的知識學習也可能對前面的知識學習產生影響（逆向遷移）。在中學數學教學中，這種現象很多。比如韋達定理的應用，在初中階段，局限于討論一元二次方程本身的問題；到高中階段，求二次曲線的中點弦、求二次曲線一組平行弦的中點軌跡、求二次曲線的弦長等問題，都與韋達定理相關。這種重新訪問韋達定理的狀況，反過來強化了對韋達定理的理解。二是后面的知識如果與前面的知識產生了內在聯系，事實上就形成了一個知識網絡，這種知識網絡通過內化可以形成個體的認知結構，認知結構可以使原來學習的知識變得更加清晰、穩定，而且更容易實現知識的遷移。

1. 通過一題多解重訪原有知識

一題多解常常需要用到不同的知識，實際上就是重訪原有知識的過程。

例2 證明范得蒙恒等式：C0nCkm+C1nCk-1m+…+CknC0m=Ckn+m。

學習了排列組合的知識后，解決這個問題可以采用組合模式：

方法1：甲班有個n學生，乙班有m個學生，現從這兩個班中選出k［k≤min（n，m）］個學生參加某種課外興趣小組，有多少種不同的選法？一方面，不考慮學生來自哪個班，從n+m個學生選取k個，有Ckn+m種選法。另一方面，考慮學生來自哪個班，在甲班選取0個，在乙班選取k個，有C0nCkm種選法；在甲班選取1個，在乙班選取k-1個，有C1nCk－1m種選法……在甲班選取k個，在乙班選取0個，有CknC0m種選法，因此共有C0nCkm+C1nCk－1m+…+CknC0m種選法。綜上，

C0nCkm+C1nCk－1m+…+CknC0m=Ckn+m。

學習了概率的知識后，解決這個問題可以采用概率模型：

方法2：從裝有n個白球、m個紅球的袋子里隨機摸出k［k≤min（n，m）］個球，設Ar表示摸到r（0≤r≤k）個白球的事件，則P（Ar）=CrnCk－rm/Ckn+m。而A0+A1+…+Ak為必然事件，且Ar互不相容，所以1=P（A0+A1+…+Ak）=P（A0）+P（A1）+…+P（Ar）。

由此可得C0nCkm/Ckn+m+C1nCk－1m/Ckn+m+…+CknC0m/Ckn+m=1，即C0nCkm+C1nCk－1m+…+CknC0m=Ckn+m。

這里通過一道題目建立了排列組合知識與概率知識之間的聯系。因此，可以在學習概率知識時，通過范得蒙恒等式重新訪問排列組合知識。

2. 通過不同情境重訪原有知識

一個知識的產生可能來自不同的情境。開始學習知識A時，教師可能選擇其中的一個或兩個情境。在后面的學習中，學生會逐漸遠離先前學習的知識A。間隔一段時間后，教師再用另外的情境引導學生重新訪問知識A，可以達到深化理解知識A的目的。實際上，通過不同情境重訪原有知識，具有“一解多題”的意味。

例如，對平均值不等式，采用代數方法證明后，可以通過下面兩個情境（問題）“多次訪問”：

（1） 某商店在春節前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價。有三種降價方案：甲方案是第一次打p折銷售，第二次打q折銷售；乙方案是第一次打q折銷售，第二次打p折銷售；丙方案是兩次都打p+q/2折銷售。請問：哪一種方案降價較多？

（2） 今有一臺天平兩臂之長略有差異，其他均精確。有人認為，用它稱量物體的重量，只需將物體放在左、右兩個托盤中各稱一次，再將稱量結果相加后除以2，就能得到物體的真實重量。你認為這種做法對不對？如果不對的話，能否找到用這臺天平稱量物體重量的正確方法？

事實上，這是平均值不等式的兩種現實模型，也可看作對平均值不等式從不同側面的描述。通過這樣的教學，可以加深學生對平均值不等式的理解。

（三） 加強結構不良問題訓練

高文教授指出，認知彈性超文本適用于需進行高級學習的結構不良知識領域。在這一類型的學習中，學習者必須達到兩個基本目標：（1） 掌握概念的復雜性；（2） 具備將已有知識獨立應用至新情境的能力。［9］《普通高中數學課程標準（2017年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》相繼頒布，提出了發展學生數學（學科）核心素養的課程目標。要實現這個目標，數學教學就不能停留在解決結構良好問題的層面（這就會停留在知識與技能培養的層面），必須有結構不良問題的介入。從這一點上看，認知彈性理論具有現代教育意義。

1. 在教學中適當加入探究性問題

按照目標指向分類，探究式教學可以分為目標明確型和目標不明確型兩類。目標明確型是指要探究的目標是明確的（或顯露，或隱含），為探究這個目標，教師制定教學環節和教學策略并在教學過程中引導學生探究。目標明確型與布魯納提倡的“發現法”類似，讓學生去發現教材中已有的一些確定性結論。目標不明確型是指沒有給定探究的目標，只是給出一些滿足的條件，甚至條件也不充分，讓學生自由探究結論，可以得到的結論往往也不是唯一的。顯然，目標不明確型呈現的是開放性問題，因而對學生探究結果的評判也是多元的。

例如，正弦定理的探究教學可以這樣設計：

第一步，考慮特殊情形。如圖1，在圓內構造直角三角形ABC，∠C是直角，∠A、∠B、∠C對邊的長分別為a、b、c。探討這個三角形有什么性質。設圓的半徑為R，則c=2R。由銳角三角函數的定義，有sinA=a/c，sinB=b/c，可得2R=c=a/sinA=b/sinB。這是一個很漂亮的結果。根據它的對稱性，可以猜想：對圓內任意的內接三角形，有同樣的結果，即2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。

第二步，探究一般情形。如圖2，過點A作圓的直徑，交圓于點D，連接CD、BD，則∠ACB=∠ADB，∠ABC=∠ADC。于是可得：sin∠ACB=sin∠ADB=c/2R，sin∠ABC=sin∠ADC=b/2R，所以c/sinC=b/sinB=2R。同理，過點B作圓的直徑，可得a/sinA=b/sinB=2R。因此，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。這就是正弦定理。

該設計將教學作為一個探究過程，以從特殊到一般的數學思想方法為主線，將合情推理融入其中，體現了核心素養培養的教學目標。

2. 在教學中適當加入自定義問題

認知彈性超文本是一種學習媒介，它可以克服知識本身的不可見性、抽象性，同時增加知識的延展性，從而更加有助于個體對復雜性問題的理解與掌握。長期以來，學生的學習主要圍繞教材開展，很少接觸教材之外的知識。一旦考試題目中出現了教材上沒有的概念，學生常常不知所措。這種現象是以知識理解為主要目標的教學結果的典型表現，因為學生只會用學過的知識去解決問題，在面對需要自己學習的新知識時表現出心有余而力不足。

自定義問題指題目中出現了教材上沒有出現過的概念，學生需要用學過的知識并借助數學抽象、邏輯推理去理解這個概念，從而解決問題。顯然，解答這類問題與個體的數學核心素養密切相關，特別是與高水平核心素養的關聯程度更高。

例3 （2021年“八省聯考”數學卷第20題）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用（如下頁圖3所示）。刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容。用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫作多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和。例如，正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角都是π/3，所以正四面體在各頂點的曲率為2π－3×π/3＝π，故其總曲率為4π。

（1） 求四棱錐的總曲率。

（2） 若多面體滿足：頂點數-棱數＋面數＝2。證明：這類多面體的總曲率是常數。

此題的簡要解答過程如下：

（1） 因為四棱錐有5個頂點、5個面，其中四個側面是三角形，一個底面是四邊形，所以總曲率為5×2π-4π-2π=4π。

（2） 設多面體有a個頂點、b條棱、c個面，各個面分別是k1，k2，…，kc邊形，則k1+k2+…+kc=2b，故面角和=π（k1-2）+π（k2-2）+…+π（kc-2） =2πb-2πc，又a-b+c=2，所以總曲率=2πa-（2πb-2πc）=2π（a-b+c）=4π。

這道題加入了現實情境，但解題過程與現實情境沒有關系。這道題本質上是一道自定義問題，給出了曲率的定義。解題者需要讀懂曲率的定義，這考查的是數學抽象的二 級水平——讀懂一個陌生的數學定義；從更高層面看，如果學生能抽象出“總曲率=2π×頂點數－所有內角和”的性質，就能很快算出結果，這考查的是數學抽象的三級水平——抽象出一個數學新命題。此外，解答此題需要用到曲率的定義、多邊形內角和定理等多種規則，而且要從特殊到一般地推理，這對邏輯推理要求較高，屬于二級水平；此題沒有給出圖形，解題者需要在頭腦中表征正四面體、四棱錐、多面體的圖形，這對直觀想象要求很高，屬于三級水平。

參考文獻：

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［9］ 高文.認知彈性理論、超文本與隨機通達教學——一種折中的建構主義學習與教學理論［J］.外國教育資料，1998（6）：14.

* 本文系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（中學）系列文章之十八。