數學試驗在概率教學中的重要作用研究
——以《有限樣本空間與隨機事件》教學為例

康博宇 陳艷華

(1海拉爾區伊敏小學，內蒙古 呼倫貝爾 021000;2牡丹江市教育教學研究院，黑龍江 牡丹江 157000)

概率論是研究隨機現象規律的一門學科，它的主要育人功能是培養學生分析隨機現象的能力，提升學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理以及數學運算等素養。在人教A版教材高中數學必修第二冊第十章第一節隨機事件與概率這一章教材中，編者共計編寫十多個數學小試驗，用這些小試驗增加數學課堂的趣味性與實用性，培養學生動手實踐能力，利用試驗結果分析抽象數學概念，培養學生的數據分析和數學抽象能力。在課堂教學中這些數學小試驗往往不被重視，教師輕描淡寫的講述或者學生閱讀學習一帶而過，教材精心編寫的這些小試驗失去了原有的價值。在多數孩子眼中的數學是抽象的，教師枯燥講授更加使數學教學失去該有的活力。數學試驗是增加學生學習興趣，探索數學知識的基石，數學試驗在概率教學中極其重要的。

一、數學試驗能夠增加學生學習興趣，提高學生動手能力，提升學生合作意識，為終身發展奠定基礎

多數學生認為數學學習是枯燥的，覺得數學學科沒有物理、化學、生物學科那么多實驗，沒有語文學科的詩情畫意，沒有歷史學科事件和人物故事等等，新教材概率統計編寫很多數學小試驗恰好彌補這個不足，用貼近學生生活，簡單易操作的小試驗提高學生的興趣，增加課堂教學參與度，使抽象的概念變得生動活潑、引人探究，培養數學抽象核心素養，提升學生合作意識和動手能力。例如：《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》第一個概念“隨機試驗”。教材這樣說：研究某種隨機現象的規律，首先要觀察它所有可能的基本結果。然后舉出五個例子，如果教師研究教材時不注意就會忽略這五個小例子的價值，我們在設計時，是選擇了三個小例子設計成學生自己動手的小試驗，引起學生興趣后，再抽象出隨機試驗的概念。

(一)試驗準備

試驗1：準備硬幣1枚；試驗2：隨意指出班級的10名學生，讓學生觀察近視的人數；試驗3：帶去若干個已經泡了兩天的黃豆。

(二)課上操作

分別請三位學生到前面做這三個小試驗，其他同學注意觀察，這時候，全體學生的注意力已經非常集中，到前面的三位學生也非常興奮。

試驗1：學生1將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現的情況，請大家猜想結果，學生1先不公布答案，提問幾個同學猜想答案，其他學生會非常興奮關心他們是否猜對了，此時，學生1再說出答案，然后教師提出問題：這個試驗有哪些特點呢？

試驗2：學生2在班級隨機選出10名學生，觀察近視的人數，先讓其他兩位同學猜想結果，然后學生2再給出結果。教師再問：這個試驗有哪些特點呢？

試驗3：學生3在教師帶來泡發的黃豆中隨意拿出10顆，觀察發芽的豆子顆數，先讓其他兩位同學猜想結果，然后學生3再給出結果，可以根據時間再重復幾次這個動作，不用教師再問：這個試驗有哪些特點，學生就會思考同樣的問題，這就是慣性思維，習慣了這樣提出問題后，學生今后就會養成提出問題的思維習慣，這是至關重要的，教學目標并不只是本節課的知識是什么，更長遠的目標是培養學生提出問題、解決問題的思維能力。

(三)試驗結果

這三個小實驗非常簡單易操作，可對于孩子們來說卻異常興奮，他們一邊觀察試驗，一邊努力思考教師提出的問題，然后努力組織語言抽象結果。此時讓學生1、2、3組織其他同學研討隨機試驗的特點并總結，在孩子們合作參與下，很快得出三個特點：(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果。這樣得出的隨機試驗的概念和三個特點學生親身經歷并合作抽象出來的，所以很容易理解，并且此時學生大腦細胞興奮度高，對接下來探究的問題產生期待。

二、數學試驗能夠調動學生的參與度，開發學生創新意識

課堂教學效率取決于學生的參與度，孩子創新意識的開發來自于他們對所研究事物的興趣，正如愛因斯坦所說：“若無某種大膽放肆的猜想，一般是不可能有知識的進展的。”借助試驗，促進學生根據試驗結果進行大膽猜想，得出概念或應用概念，能開發學生思考問題的新思路，大膽猜想勇于探索，無論對錯只要能提出問題、能有自己的見解即可。

(一)試驗準備

試驗4：準備一個紙箱，10個質地和大小完全相同的乒乓球，并分別標號0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；

試驗5：準備幾枚質地相同的一元錢硬幣；

試驗6：準備一枚骰子。

(二)課上操作

試驗4：請抽簽學生4到前面，在裝有10個小球的紙箱中，充分攪拌后摸出一個球，觀察這個球的號碼，先提問其他同學(可根據時間掌握提問人數)猜想這個小球的號碼(此時學生很興奮會非常積極猜想結果)，教師借機問：學生4摸出的小球號碼可能有幾種結果呢？你們能想辦法表示所有可能的結果嗎？學生4組織學生大膽猜想，互動補充，學生可能得出不同的結論，最終得出可以用集合表示所有可能出現的結果{0，1,2,3,4,5,6,7,8,9}，教師適時給出：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點。通過試驗4學生自己得出的樣本點和樣本空間的概念不僅能提高學生參與度，而且學生大膽猜想用集合語言表示樣本空間，為今后用數學方法描述和研究隨機現象奠定了思維基礎，鼓勵學生大膽猜想，勇于發現問題。

試驗5：抽出學生5(可以隨機抽取學生)到前面做試驗，拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，在黑板上寫出樣本空間。教師請還有其他想法的學生再來做這個試驗，此時這個試驗就是讓孩子們玩得高興，對寫出樣本空間的結果形式沒有影響，但是孩子們會爭先恐后來做這個簡單的試驗，然后再黑板上寫出不同形式的樣本空間，教師觀察，是否有學生大膽創新，用數字表達樣本點結果，如果有要大力表揚，如果沒有則啟發學生放開想象的翅膀開發不同表達形式的樣本空間，直至得到文字、字母、數字這三種形式的表達樣本空間的方式，學生解決問題的思維得到擴展，這是創新意識的基石，思維擴展，展開想象和聯想，才有創新的可能。

試驗6：抽取學生6到前面做試驗，拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數，在黑板上寫出試驗的樣本空間。因為骰子的點數本身就是數字，所以學生6會直接寫出正確答案。這個試驗的作用是進一步把隨機現象與一個數字聯系起來。

試驗7：抽取學生7到前面做試驗。拋擲兩枚硬幣，觀察他們落地時朝上的面的情況，(為了區別兩枚硬幣，教師準備的是兩枚不同的硬幣。)在黑板上寫出試驗的樣本空間。此時學生7寫出的樣本空間可能會出現很多問題，因為影響樣本點的是由兩個結果組成，此時正是學生大膽猜想，創新思維培養的好時機，教師一定沉住氣，讓有不同想法的學生再做試驗，然后在黑板上寫結果，并且鼓勵學生互相質疑，合作探究大膽爭論，猜想表達樣本空間的方法，這個過程可能需要時間較多，要相信孩子們一定能夠給出一個滿意的結果！你給孩子們插上想象的翅膀，并給予足夠的時間和空間，他們一定能給你驚喜！這個試驗完成后，樣本點的表達已經從一個數字i到一個數組(x,y)了，數學方法與概率進一步聯系，教師此時可以給學生留下思考：如果拋擲三枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，你能寫出試驗的樣本空間嗎？這個問題，估計學生課下會很積極進行試驗，第一時間完成這個任務，這就是數學試驗的魅力！

三、數學試驗能夠提高課堂教學效率，增加課堂容量，減輕學生和教師的負擔

前面七個試驗做完后，在學生頭腦中已經留下深刻的印象，不僅僅本節課后面的概念可以繼續使用，而且10.1“隨機事件與概率”甚至是第十章后續很多問題都可以繼續使用這七個試驗結果進行說明。例如：試驗4樣本空間學生已經完成，教師問：如果摸出的球號碼為奇數，是隨機事件嗎？摸出的球號碼是3的倍數，是隨機事件嗎？你能用集合的形式表示它們嗎？這些集合與樣本空間有什么關系？學生輕松口答這兩個問題，教師順勢指出：就像這樣，一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，例如前面例子第一個事件A={1,3,5,7,9}，第二個事件B={3,6,9}，并把只包含一個樣本點的事件成為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A,B,C,...表示，在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生。此時學生已經把集合與樣本空間建立聯系，子集的出現會使學生產生聯想，教師要給學生質疑的機會，并抓住學生思維閃光點，提升學生對問題產生聯想，提出問題分析問題的能力得到進一步升華。學生會問出這樣的問題：既然樣本空間的自己成為隨機事件，樣本空間Ω由多少，個子集，分別具有什么意義？教師不要急于告訴學生，要繼續給時間讓學生自己去爭論，然后再讓學生結合前面的小試驗進行分析講解。得到Ω為必然事件，空集為不可能事件的概念。接著教師還可以鼓勵學生再結合其他試驗，讓學生自己編寫問題來說明理解隨機事件、必然事件和不可能事件的概念。通過前面的試驗，使概念的得出順其自然而且學生容易理解掌握，大大提高了課堂教學效率，教師輕松教，學生輕松學，并且學生積極性一直可持續到課下，增加學生對數學學習的興趣和期待感！

四、數學試驗的設計使用應簡單易操作，課堂教學應避免設計繁瑣浪費時間的試驗

數學試驗目的是調動學生積極性，通過試驗過程能夠抽象出數學問題，試驗結果為學生分析問題、理解問題、解決問題提供有力依據，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力和數學直觀、數學抽象的核心素養，培養學生創新思維。課堂教學時間有限，如果數學試驗占用大量時間，學生提出問題、分析問題、解決問題的時間就相應減少，數學試驗不能發揮應有的作用，反而降低課堂教學效率就得不償失了，所以數學試驗的設計要盡可能簡單易操作，孩子們喜歡參與，并且能夠通過思考或者研討給出解決問題的方案，鼓勵學生在做中學，在學中做，相互質疑，只有親身經歷才能提出創新問題和創新方法，只靠老師講授給予是不能產生創新思維的。

數學教學應注重學生數學思維的培養，借助一切教學手段比如多媒體教學，開發身邊的教具，自制必要的教具，設計有趣的數學小試驗，設計多樣化的課堂教學模式，充分調動學生參與度，促動學生提出問題的意識，鼓勵學生大膽猜想和質疑及合作探究的行為，培養學生分析問題、解決問題的能力，培養學生核心素養和創新思維，提高靈活應用能力，成長為創新型人才，這些目標達成關鍵在于教師要用心設計好每一節課，要不畏懼麻煩長期堅持做最好的教學設計，為了學生學真正的數學而教數學。