初中數學圖形解題技巧的教學思考

李建偉

摘?要：數學學科中，幾何問題是常見題型中的一種，《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“圖形與幾何”作為單獨板塊呈現，而在教學過程中，如何培養數學圖形解題技巧成為難題.本文對初中數學圖形解題技巧的教學進行了分析，首先對數形結合進行了概述，隨后對初中數學圖形解題技巧和思路進行了分析，最后對提高初中圖形解題技巧教學質量的保障措施進行了探討.

關鍵詞：初中數學；圖形；解題技巧；數形結合

數學本身是一門研究數量關系和空間形式的自然科學，其中包含“數”和“形”兩方面內容.在一定條件下，“數”和“形”可以相互轉化，從而從另一個角度為研究者提供思路，解開原本無法解開的問題.因此，在初中數學課程中，圖形與幾何占比較大，學生可以通過對圖形的學習了解“數”和“形”之間的關系，利用圖形具體性、可視性的特點，激發學生學習活力，解決困難，避免學生在枯燥、繁瑣、抽象的計算中失去耐心，從而喪失對數學的興趣.

1?關于數形結合的概述

1.1?數形結合的本質

數形結合本身就是對“數”和“形”進行結合.“數”指代數，是對數量關系進行研究.而“形”是指幾何，主要是對空間形式進行研究.二者雖然相對獨立，但是不能完全分割，反而應該相互利用，做到數形結合，讓“數”和“形”相輔相成，共同成就.對于數形結合，最簡單的例子就是坐標系的應用.舉例而言，在研究比例時，教師可以舉單價、數量、總價的例子，假設單價為X，數量為Y，總價為Z，采用坐標系教學，當X固定時，在坐標系中Y和Z呈直線上升趨勢，可以得知單價固定時，數量與總價呈正比.同理，當Z固定時，坐標系中X和Y呈下降趨勢，表示X和Y呈反比，可以得知總價固定時，單價和數量呈反比，由此將坐標系作為引入，讓學生從圖形中得到單價、數量、總價之間的關系，從而達到數形結合的目的［1］.

1.2?數形結合的使用原則

數形結合的使用原則主要包含三種：第一，等價性原則.等價性原則是指在使用數形結合的過程中，幾何性質與代數性質應該是等價的.如果無法保持二者的等價性原則，會使解題過程出現漏洞，導致無法得到答案或答案不準確.同時，雖然圖形較為直觀，但由于圖形具備一定局限性，無法對代數進行完整表現.因此，教師需要培養學生的數學能力和數學素質，從而讓學生學會對數式和圖形進行轉換，并確保信息等價轉換.第二，簡單性原則.數形結合是一種解題方式但不是唯一方式，在解題過程中，學生需要對具體例題進行分析，選取合理、方便、快捷的解題方式，而非必須用代數方法解決幾何問題、用幾何方法解決代數問題，尋找便捷、簡單的解題方式才是最好的.第三，雙向性原則.由于幾何與代數二者相輔相成，密不可分，當前學校中的學生多數能夠利用幾何方法解決代數問題，或用代數方法解決幾何問題，但是在實際解題過程中，并非所有題目都能夠讓學生采用單一的解題方式進行解決.有時需要學生進行雙向分析，同時應用代數方法和幾何方法，才能體會靈活應用的感覺，發揮“數”和“形”的雙向性原則［2］.

2?初中數學圖形解題技巧和思路

圖形解題技巧需要學生將數字和圖形巧妙結合，通過代數驗證幾何或者通過幾何驗證代數，從而達到解題目的.下面以點、線段、角、平行線、相交線和三角形為例，進行數形結合解題思路應用分析.

2.1?點、線段、角、平行線、相交線相關題型

點、線段、角、平行線、相交線相關題型是幾何教學中的重要內容，同時也是幾何教學的起點.無論是點、線段、角、平行線還是相交線，都有其內在規律，教師針對幾何進行教學就是將規律一步步推導，通過列舉法或其他方法證明答案，讓學生了解幾何中的內在聯系［3］.而應用數形結合后，教師可以將幾何內容和代數內容相結合，用幾何方式解決代數問題.

例如，在交點教學中，教師可以首先提問“如果有三個車站A、B、C按照順序在一條線路上，該線路不可逆行，有幾種購票方式？”引導學生進入教學情境，隨后列舉AB、AC、BC三種購票方式得到答案.此時，教師可以將思路轉換，提問“在平面內，三條直線相交時最多有幾個交點？”，通過畫圖的方式讓學生了解最多有三個交點.

隨后，教師可以繼續提問四條“直線相交會有多少個交點”，依然通過畫圖的方式讓學生了解四條直線相交最多有六個交點.

在簡單列舉后，教師可以對直線數量和交點數進行深入分析，經過推導得出，假設有n條直線，那么交點個數最多為n（n-1）2個.此時，由于交點的數量和線的數量之間的關系已經明確，教師可以引導學生再次回到購票問題當中，假設有5個車站，那么購票方式有5×（5-1）2（種）.從幾何和代數兩個方面進行深入研究，讓學生領會數形結合的解題技巧，達到教學的目的.

2.2?三角形相關題型

三角形相關題型是幾何教學中的重點，歷年考題必出類型之一.三角形教學中的重點包含全等三角形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等等.以全等三角形為例，判定兩個三角形全等的方法有四種，即邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊［4］.其

中，無論哪一種方法，都需要有一條邊相等才能判定.三角形全等判定同樣可以通過數形結合的方式進行講解，比如以角邊角的證明方式為例，簡單畫圖，設AB=CD，且AB∥CD，如圖所示.

由于AB∥CD，則∠BAO=∠CDO且∠ABO=∠DCO，又由于AB=CD，滿足角邊角分別對應相等，則可以判定△ABO≌△DCO.轉換為代數則可以在圖中加入數據，假設∠AOB是直角且AO=BO，則可以判定△ABO為等腰直角三角形，由于AB=CD，則△CDO也同樣為等腰直角三角形，設CD為2，則AB同樣為2，CO=DO=AO=BO=1，可證△ABO≌△CDO.因此，熟練應用數形結合，能夠提高做題效率，同時對已有答案進行驗證，確保不會出現差錯.

3?提高初中圖形解題技巧教學質量的保障措施

3.1?通過故事引入，深入教學內容

學生學習過程中，興趣愛好是最好的導師.一個好的課堂，能夠吸引學生的學習興趣，讓學生深入課堂之中，跟隨教師詳細分析知識點、解題方法.而如何激發學生的學習興趣，是當前教師教學中的重要內容之一.情境教學法可以讓學生深入情境當中，在情境里深入探索知識點.在數學課堂中，教師可以為學生設立情境、創設故事，吸引學生的注意力［5］.比如創設一個修剪花園的故事，教師為學生講述：國王要求花匠對花園進行整理，花園形狀必須是圓形，且需要花園內部規劃出一片三角形區域作為小廣場，其中三角形小廣場的邊緣需要修建一個觀景臺，入口處需要有一條直達觀景臺的小路，要求學生畫出圖形.如圖所示，學生會畫出類似圖中的圖形或者其他圖形，教師可以根據圖形設定數值，讓學生根據數值求答案，或根據現有條件求證.就圖而言，教師可以告知學生△ABC為正三角形，且D為BC中點，要求學生簡單求證△ABD≌△ACD.或者，國王將公主關在了D點，并且即將處死，學生必須從A處進入，在最短的時間里找到公主，此時教師給出對應數據，比如圓的半徑、AD⊥BC、△ABC為正三角形及其邊長等條件，要求學生根據現有條件求得AD的長度，做出題目，從而達到教學的目的.

3.2?采用科技手段，增加課堂趣味

隨著當前社會飛速發展，高科技手段日新月異、層出不窮，教師可以利用的工具越來越多，為教師教學提供了充足的便利條件.在過去，學校教室中只有黑板、粉筆、黑板擦等簡陋工具，數學教師通常會攜帶三角板、圓規等教學道具，偶爾會有顯示屏作為教學設備供教師使用.如今，電腦投屏、投影儀、電腦、電視等設備走進千萬家學校，為教師提供了充足且便利的條件，讓教師發揮自身特長.教師需要采取科技手段，方便自身教學的同時激發學生學習興趣，增加課堂趣味［6］.

比如，在進行正、反比例坐標教學時，教師可以利用電腦、投屏投影儀等設備，為同學繪制圖象，吸引學生注意力的同時用不同顏色的畫筆進行標注，使圖形更加清晰明了，方便學生查看，使學生分辨條件時更加輕松.或者在進行勾股定理教學時，教師可以用科技手段構筑直角三角形.原有條件下，教師只能通過改數字的方式讓學生了解邊長3、4、5和邊長6、8、10的三角形具備相似性，無法通過直觀感受讓學生深入體會勾股三角形.如今，教師可以利用科技手段，首先構筑一個邊長分別為3、4、5的直角三角形，對學生進行勾股定理教學，讓學生了解勾股定理的本質.隨后對原有三角形進行縮小或放大，將長度為3的邊擴大到6，學生會直接感受整個三角形都進行放大，從而深入體會勾股三角形的相似性.

3.3?展開小組討論，鼓勵學生參與

小組討論是當前課堂中常用教學方式之一.學生的學習興趣本身分為直接興趣和間接興趣，直接興趣就是學生對學習本身具備興趣，愿意將精力投入到學習當中.而間接興趣即導向性興趣，就是學生完成學習時能夠收獲部分獎勵，將獎勵作為目標進行學習.初中生本身處于愛玩、愛交友的年齡段，展開小組討論能夠培養學生的間接興趣，將同學之間在交流、團隊協作后的收獲、成功后的成就感作為間接興趣的目標，鼓勵學生積極參與，最終達到教學的目的.

比如，在進行平行線判定的教學時，教師可以首先提出問題“如何證明兩條直線平行”，為學生明確學習目標.其次，教師可以通過畫圖的方式，以直角為例，教會學生證明平行四邊形的方法.如圖所示，通過BD⊥AB和BD⊥CD，證明AB∥CD，讓學生對平行線的判定方式有初步了解.

隨后，教師劃分小組，并對學生提出疑問“既然直角可以，銳角是否可以？”，引導學生進行思考，展開小組討論，由小組成員繪制圖形，深入探索平行線的判定條件.如圖所示：

最后，教師要求學生對探索內容進行總結，歸納出證明平行線的條件，教師就探討結果的正確性進行分析，引導學生一步一步了解平行線的性質，達到教學的目的.同時，教師需要對學生在小組教學中的表現進行評價，讓學生收獲成就感并進行反思，達到全方位教學的目的.

3.4?反復進行練習，牢記知識內容

大量的練習能夠讓學生將知識點融會貫通，并加以利用.數學學科與其他學科不同，數學學科只需要按照既定步驟、流程，并沿用公式、性質即可求解，得到正確答案.因此，學生解題只需要滿足三個條件，第一，看懂題目.讀題是數學學科的必備內容之一，數學題目通常會在題干中設下陷阱，讓學生防不勝防.由于在題干中設置陷阱會決定計算方向，誤解題目要求就會導致計算過程遠離題目，最終得到錯誤答案.因此，教師首先需要帶領學生進行讀題方面的練習，讓學生在學習、做題的過程中養成謹慎的性格.第二，熟記公式和定理.對于平面幾何而言，公式和定理是數學中的真理，無論是代數還是幾何解題，都離不開公式的應用.運用公式可以節省解題步驟和時間.比如在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，此定理能夠為學生節省大量解題時間.如果學生不知道該定理，依然可以通過直角三角形的特性進行計算，最終得到短邊∶長邊∶斜邊的比例是1∶3∶2，求出斜邊或短邊長度，從而進行下一步計算.第三，靈活運用公式.單純記憶公式無法解題，學生還需要在解題中對公式和定理進行靈活應用，一方面可以節省解題時間，另一方面可以開拓解題思路.會背和會用一直是兩個概念，二者相輔相成，密不可分，學生只有同時做到才能快速解題.因此，教師需要針對內容對學生進行大量訓練，通過反復刷題、練習的方式讓學生熟練掌握解題技巧，牢記知識內容，從而培養靈活的思維和大腦活躍度，實現全方面發展.

4?結束語

能否使用數形結合解決問題是反映學生數學素養高低的重要表現之一，如果學生僅能夠在幾何中應用代數，或在代數中應用幾何，則學生的數學素養依然需要提高.教師首先需要讓學生了解數形結合的使用原則，并將其融入日常解題當中，其次對學生進行線段、角、平行線、相交線、三角形、平行四邊形、圓等形狀教學，讓學生了解圖形的特性，最后通過故事引入、科技手段、小組討論、重復練習等方式提升教學質量，讓學生在學習中體會變通思維，培養數形結合的解題習慣，最終才能讓學生收獲初中數學的專業性知識，達到教育的目的.

參考文獻：

［1］ 薛月.初中數學圖形解題技巧的教學思考［J］.啟迪與智慧：下，2020（8）：93.

［2］ 馬亞喃.初中數學幾何解題技巧探究［J］.數理天地：初中版，2022（18）：1718.

［3］ 孫明松.初中數學圓的解題技巧研究［J］.數理天地：初中版，2022（5）：8485.

［4］ 陳小春.初中數學數形結合題型的解題技巧［J］.數理化解題研究（初中版），2014（11）：17.

［5］ 黃華強.初中數學解題技巧指導與運用分析［J］.名師在線，2021（21）：5152.

［6］ 熊寧.巧用數形結合，提高初中數學解題效率［J］.讀與寫：上旬，2019（6）：1.