平面向量基本定理突破線性代數教學難點的研究與實踐

漢巍 李蕊彤

[摘要]本文根據當前線性代數教學實踐中出現的學習成績與學習狀況矛盾的現狀，在分析相關矛盾出現的原因及其后果的基礎上提出將向量的線性相關性一節作為解決矛盾現象的突破口，并從定理形式與所處學段中的易忽略性入手得出平面向量基本定理是解決相關教學問題的有效工具；在分析其有效性的基礎上，給出相關教學建議。

[關鍵詞]平面向量基本定理；線性代數；線性相關性

《線性代數》是高等學校經濟管理類、理工類各專業學生必修的一門重要基礎課，是學習自然科學、社會科學、工程技術和企業管理所必備的基礎知識和重要工具。同時，在當前考研大熱的社會背景下，作為研究生入學考試的數學考試科目，無論是數學一、數學二、數學三還是在396經濟類聯考綜合能力中都是必考的一門課程，其重要性不言而喻。

一、線性代數教學中的矛盾狀態及其原因

在《線性代數》的教學實踐中，學生表現出的狀態顯得十分矛盾，其表現有如下方面：

從學生的總體感受及考試成績來看，一方面，學生均認為該門課程的學習難度在所學習的數學類課程中是最簡單的，其平均成績位于各門數學類課程中前一二位，能夠理解課程的內容從而獲得較好的成績；而另一方面，如果關注試卷細節可以發現計算難度偏低但內容較為抽象的計算題和證明題得分率極低，即學生對于考核核心概念及相關關系的內容理解不深甚至于無法理解。

從特定內容來看，后期綜合類題型中有一類代表性題目-矩陣對角化類題目，該類型題目幾乎將線性代數中的所有計算方式方法均進行了考察。從考察基本計算方法的角度而言，題目難度應處于中等偏上的程度，但就答題狀況可見只要題目所給矩陣明確，那么其得分率基本在其分值的一半以上，有近一半的學生可以完整完成相關題目。即從細節看，難度較高的內容，明確的問題，學生可以獲得了較高的成績；而在不給定具體向量而只給出向量關系的，進而對向量的線性關系進行判斷的選擇題解答中，學生的得分率卻無法達到一半。即從特定內容可見，只要給定具體的對象，無論考察知識點的數量多寡，學生均能給予較好的反饋；而一旦涉及抽象問題，學生就無法給出良好的結果。

上述種種看似矛盾的情況，究其原因在于：一方面，線性代數的各類問題均有一種成形的形式化的解題方法，可以在僅掌握前期所學的矩陣、行列式、向量等簡單概念的情況下即可完成相關基礎題型的計算，學生可以不用充分理解知識與知識間的聯系的情況下解決線性代數中具體的問題、甚至是很復雜的問題；而另一方面，線性代數中綜合性計算的做法的底層基礎均建立在向量的線性相關性上，而向量線性相關性這一節內容由于其抽象性的概念及定理表述往往在學生學習過程中形成了學習障礙，又由于其概念和結論的基礎性作用，導致該部分內容在后續學習過程中不斷被使用，進而加重了學生對后續內容的學習困難程度。過高的學習難度使部分學生不再關注課程知識體系的建構，這就導致其無法處理考察核心概念和其之間聯系的抽象性題目；在為了保證期末獲得足夠分數的情況下，學生自然選擇記憶形式化的計算方法，而舍棄解決向量相關性這一知識薄弱環節。在這兩方面的綜合作用下，就造成了上述教學中矛盾的情況。

二、相關矛盾情況所帶來的后果

從學生角度來看這種狀況，其表現出一種錯覺，即學習一門課程可以不關注知識體系的建立和相關解決問題方法的底層理論基礎，只需要記憶形式化的解題過程即可在考試中獲得較高的分數。而較高的分數在學生的眼中意味著這門課程自己已經有了較好的掌握，但是沒有理解相關底層理論基礎和未建立相關知識體系就無法理解一門課程，無法將其應用到其他課程的學習中去和實現知識的遷移應用。任由這種錯覺的蔓延將造成學生對于知識的學習僅關注于表面的形式化解題思路，而不是建立自己對于知識的理解形成自身的知識體系，這樣無法實現對知識的應用，更別說知識應用后的創新，這無疑是一種對于人才的無效培養。

從教師角度來看，如果僅滿足于學生學會一些方法獲得足夠交代的成績的層次，那么這個教師就失去了傳道的最基本的要求，也就喪失了一名教師最基本的素質，無疑是一名不稱職的教師。

三、解決相關問題的切入點——平面向量基本定理

改變上述狀況的最直接的辦法當然是在考試中加大對底層知識和知識體系問題的考察。誠然，這樣做是可以倒逼學生關注底層知識的建構，但作為考試而言，基本的計算方法是必須進行考核的；從試卷對于知識的考核的全面性而言，基本計算方法的考核必不可少，且其分值占比也應是占試卷總分一半以上的。因此，加大對底層知識和知識體系問題的考察的方法只是治標不治本，未從根本上解決其本質問題；對于線性代數這門課程而言，解決問題的核心就在于如何將向量的線性相關性一節，以讓學生能夠較為直接理解的方式呈現出來，將其轉化為學生學習的基石。

對于如何呈現該部分內容，中學階段學生學習的平面向量基本定理是一個非常合適的切入點。

（一）平面向量基本定理的內容及與線性代數中向量相關性的關系

在《普通高中課程標準實驗教科書數學必修四》（1）中平面向量基本定理的內容為：

如果是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內的任意向量，有且只有一對實數，使。

這個定理在高中階段的作用僅在于平面向量可以沿著任意制定的方向分解，此定理為向量的坐標提供了理論基礎。

而從線性代數的角度來看，其是一個將線性代數中向量的線性相關性若干概念集于一身的定理。從定理中的各個部分可見，首次作為討論對象的三個共面的向量，由于其共面的屬性，由于平面是二維的，則該三個向量也就均為二維向量。而根據線性代數的理論，向量個數一旦多于向量維數，則該組向量必然是線性相關的，因此三個向量一旦共面，則這三個向量線性相關。而對于定理中的兩個向量不共線的情況，則意味著一個向量不能寫成另一個向量的數乘形式，即一個向量不能被另一個向量線性表示，由線性代數中對于兩個向量線性關系的討論可知，可得這兩個向量線性無關。綜合上述內容，定理的形式即可轉化為向量線性無關，向量線性相關，則向量可由向量線性表示，且表示方式唯一。由此可見，該定理從更直觀的角度給出了線性無關、線性相關，線性無關與線性相關之間的關系，其中不共線、共面的討論更可以為線性無關和線性相關的概念引入提供良好的背景及闡述平臺，定理的形式更是為后續討論基、坐標、維數打下良好的基礎。

（二）平面向量基本定理適合作為切入點的原因

平面向量基本定理從線性代數的角度來看十分重要，但其在《普通高等學校招生全國統一考試大綱及考試說明》（2）中的要求為“了解平面向量基本定理”，在《普通高中課程方案和課程標準》（3）中的要求為“理解平面向量基本定理的“理解平面向量基本定理及其意義”。可見該定理在高中階段的學習要求并不高，尤其是高考大綱中的“了解”就造成該定理在高考的整體環境中往往是一個被忽略的定理，在高考結束僅半年多的學生大多都無法回憶起這個定理。這種被忽視性正成為這個定理適合作為線性代數中作為線性相關性切入點的重要原因，究其原因有如下兩個方面：

1.該定理在高中階段是一種被高強度提及、使用的關鍵定理，雖然在教學中可以十分順利的借用其相關知識導出新概念，但由于原有定理深刻的印象會導致學生在學習過程中新概念的內涵被限制在中學階段的認識中，尤其是線性相關性這類抽象的概念更易造成這樣的情況，這樣就破壞了利用原有概念進行拓展提升的教學初衷。而現有的情況是該定理在學生的知識體系中處于一種相對薄弱的地位，引出、并利用其進行拓展的過程不會受到原有知識內涵的影響，更易建立牢固的知識印象。

2.該定理在中學階段所起的作用更多的是體現在向量作為基底對其余向量進行分解，進而得出向量坐標等方面。而這方面的內容同將其作為切入點的線性相關性所討論的內容并不直接相關，那么學生對該定理的模糊印象可以使其可以較為孤立的被提出，而不受其他方面的影響，更好地將利用該定理的形式展現我們所需要的線性相關性部分的內容。

四、平面向量基本定理應用于線性相關性的教學建議

雖然該定理易被忽視的屬性為我們的教學提供了一定的便利，但該定理的模糊印象也對教學有著一定的影響。如果在學生不加任何準備的條件下直接將其引入并加以使用，多半只會將其看成一個全新的知識而不是已有知識的遷移與延展，從而無法達到設想的效果。因此，對如何將平面向量基本定理應用于線性相關性，筆者有如下建議：

（一）提前展示，學生課后查找并展示自身認識

鑒于學生對該定理的模糊印象，建議教師在講授完向量及其線性組合課后，將對該定理的回顧及與現有知識的結合以作業形式展示，即要求學生查找相關資料、回顧平面向量基本定理、并結合前面學習的內容在新的一節課中進行小組展示；并在布置作業中強調要結合當前所學，以避免展示中出現中學內容的簡單堆砌。這樣可以促進學生提前將該定理納入到知識體系中，并初步將該定理形式化的轉換成線性代數中的內容，以便后續進行延展討論。

（二）適度設問，利用中學知識轉化概念，適時拓展

在新的一節課由學生展示完相關認識后，根據展示內容的深淺通過設問的方式將其中核心的共線、共面等概念提出，并利用中學所學平面向量共線共面的內容與前一節課所學知識對比引出線性無關、線性相關的本節核心概念。

（三）及時回顧，改造定理形式，拓展定理內涵

在引出線性相關與線性無關概念并進行進一步闡釋后，建議將此定理再次進行回顧，除利用共面、共線這樣形象化的內容減弱相關概念的抽象性、緩解學生的學習壓力外，還可以利用相關概念將其形式進行拓展，轉化為線性代數中的相關定理，進而銜接引出線性相關性的其他定理。

（四）回顧定理原有作用，引導學生思考，引出后續學習內容

在課程結尾，建議將學生分享內容中該定理在中學階段的作用部分再次提出，結合當前所學引導學生思考線性代數的內容應該如何繼續進行，進一步拓展該定理的深度，達到首尾呼應的效果。

五、結語

在對線性代數教學實踐中出現的矛盾現象進行對比的情況下，本文分析了相關矛盾現象發生的深層次原因，認為將向量的線性相關性以更易于學生理解的方式呈現出來是解決相關矛盾現象的有效手段。從平面向量定理的定理形式和中學階段該定理的易被忽略性入手論證了該定理是讓向量相關性一節更易于學生理解的有效途徑，并結合筆者的個人實踐給出了相關的教學建議，但由于在設計教學策略相對粗糙，對教學數據的收集相對單一，相關教學效果呈現不夠明顯，這也將是后期進一步進行教學實踐與教學探討中努力的方向。

以上皆為筆者就平面向量基本定理這一工具推進線性代數教學的一些拙見，希望能夠給予廣大教師一些啟發，共同提高線性代數的教學水平。

參考文獻：

[1]人民教育出版社等編著.普通高中課程標準實驗教科書數學必修四[M].北京.人民教育出版社.

[2]教育部考試中心編著.普通高等學校招生全國統一考試大綱及考試說明[M].北京.高等教育出版社.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中課程方案和語文等學科課程標準[S]（2017年版2020年修訂）. http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202006/t20200603_462199.html.2022-5-13.

基金項目：本文系甘肅省教育科學規劃2021年度“十四五”規劃課題，項目名稱：“基于學習過程中心理壓力變化的線性代數教學改革研究”（項目編號：GS[2021]GHB1941）。

作者簡介：

漢巍（1982.6 -），男，漢族，甘肅榆中人，碩士研究生，講師，研究方向：環與模范疇；

李蕊彤（1986.11-），女，漢族，廣東梅縣人，本科，二級教師，研究方向：數學與應用數學。